07概率课件第二章随机变量及分布

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1、随机试验的结果随机试验的结果随机变量随机变量数量化数量化微积分等数学工具微积分等数学工具 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数值有关（本身、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）就是一个数）. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；例如，掷一颗骰子面上出现的点数； 七月份郑州的最高温度；七月份郑州的最高温度；每天从郑州下火车的人数；每天从郑州下火车的人数；昆虫的产卵数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，

2、但我们可以引进一个变量来表示它的各关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果种结果.也就是说，把试验结果数值化也就是说，把试验结果数值化. 正如裁判员在运动正如裁判员在运动场上不叫运动员的场上不叫运动员的名字而叫号码一样，名字而叫号码一样，二者建立了一种对二者建立了一种对应关系应关系. 例例1.1.观察一天中进入某商店的顾客人数。观察一天中进入某商店的顾客人数。wk=一天中进入一天中进入商店商店k个顾客个顾客kk=(1,2,)X例例2. 从一批含有次品的产品中任意抽查一从一批含有次品的产品中任意抽查一 个，观察产品情况。个，观察产品情况。 1 产品为正品2 产品为次品01X对于随机试验对于随

3、机试验E， 是其样本空间。如是其样本空间。如果对每一个样本点果对每一个样本点w,都对应着一个实数都对应着一个实数X(w)，则称，则称 上的实值函数上的实值函数X(w)为为随机随机变量变量 ，简记为，简记为X。 w RX(w)X 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示随机变量的分类随机变量的分类 通常分为两类：通常分为两类： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随

4、机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实，实际中常遇到的际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个区间一个区间.设设 X 是一个随机变量，称是一个随机变量，称),(),()(xxXPxF为为 X 的分布函数的分布函数. F(x) 也可记为也可记为 FX(x).xX x. 问：问： 在上在上 式中，式中，X, x 皆为变量皆为变量. 二者有什二者有什么区别？么区别？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是随机变量是随机变量

5、, x是参变量是参变量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的概率.xxXPxF),()(已知已知X的分布函数为的分布函数为 F(x)，下列各下列各事件概率用事件概率用F(x) 如何表示？如何表示？1-F(x)F(x2)-F(x1)P(Xx)P(x1Xx2)P(x1Xx2)P(x1Xx2)F(x)-F(x-0)F(x-0)F(x2-0)-F(x1)F(x2)-F(x1-0),( )( )abF aF b若则0( )1,(),lim( )()0,lim( )()1xxF xxF xFF xF 且F(x+0)=F(x)1.单调不减单调不减2.非负有界非负有界3.右连续右连续bx

6、bFxFxFxFxFxF求为分布函数。例),()(53)(,)(),(),(32121例例4. 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为, 0, 0, 0,)(xxbeaxFx求常数求常数a, b及概率及概率P(|X|2).()lim( )11xFF xa 解：根据分布函数的性质有：解：根据分布函数的性质有：(00)(0)0=0b=-1FFab2(2)( 22)(20)( 2)1P XPXFFe 2.2Xx1 x2 xkPkp1 p2 pk定义定义:设设xk(k=1,2,)是离散型随机变量是离散型随机变量X所所取的一切可能值取的一切可能值, pk是是X取值取值xk的概率的概率,称称,.2

7、 , 1,)(kpxXPkk为离散型随机变量为离散型随机变量X的的概率分布概率分布或或分布律分布律。分布列分布列pk (k=1,2,) 满足满足:. 1)2(,.;2 , 1, 0) 1 (1kkkpkp 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个这个随机变量取值的概率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为101) 0(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例例1且且311iiXP)(解解: 依据概率函数的性

8、质依据概率函数的性质:kkXP1)(P(X =k)0, 1!0aekakk a0从中解得从中解得欲使上述函数为概率函数欲使上述函数为概率函数应有应有 ea0kkke! 这里用到了常见的这里用到了常见的幂级数展开式幂级数展开式例例2. 设随机变量设随机变量X的概率函数为：的概率函数为：,!)(kakXPkk =0,1,2, ,试确定常数试确定常数a .0aiaiXPiaiXPXii数分别求上述各式中的常）（的概率分布为：设离散型随机变量例, 2 , 1,)32()2(; 3 , 2 , 1,)32(13的分布律。作是相互独立的），求信号灯的工信号灯的组数（设各组它已通过的表示汽车首次停下时，以的

9、概率禁止汽车通过。灯以，每组信号路上需经过四组信号灯地的道：设一汽车在开往目的例XpX4例例5. 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求，求他两次独立投篮投中次数他两次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布.解：解： X可取可取0、1、2为值为值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1例例6. 某射手连续向一目标射击，直到命中为某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是止，已知他每发

10、命中的概率是p，求所需射击，求所需射击发数发数X 的概率函数的概率函数.解解: 显然，显然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 为计算为计算 P(X =k )， k = 1,2, ，Ak = 第第k发命中发命中，k =1, 2, ，设设于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(可见可见这就是求所需射击发数这就是求所需射击发数X的概率函数的概率函数. P(X=1)=P(A1)=p, Ak = 第第k发命中发命中，k =1, 2, ，设设于是于是pp )1 ()()

11、2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 ( 若随机变量若随机变量X的概率函数如上式，则的概率函数如上式，则称称X具有几何分布具有几何分布. 不难验证不难验证:1)1 (11kkpp, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(例例7.210121328aaaaXPk(1) 求常数求常数a;(2) P(X1), P(-2X0), P(X2).xxkkpxXPxF)()(11121223110,( ),1ikiikxxpxxxppxxxF xpxxxi 分布函数分布函数当当 x0 时，时， X x = ， 故故 F(x) =0例例9212613110X，求，求 F(x).当当 0

12、 x 1 时，时， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:当当 1 x 2 时，时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) = + =316121当当 x 2 时，时， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例例9212613110X，求，求 F(x).F(x) = P(X x)解解:故故注意右连续注意右连续下面我们从图形上来看一下下面我们从图形上来看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF212121103100 xxxxxF,/,/,)(概率函数图概率函数图31120 x)(xXP612

13、113121120 x)(xXP612161OOO1)(xF分布函数图分布函数图画画 分布函分布函数图数图212613110X 不难看出，不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，的图形是阶梯状的图形，在在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).3121120 x612161OOO1)(xF1. 它的图形是一条右连续的阶梯型曲线它的图形是一条右连续的阶梯型曲线2. 在随机变量的每一个可能取值点在随机变量的每一个可能取值点 x=xk(k=1,2,),该图形都有一个跳跃，该图形都有一个跳跃， 跳跃高度为跳跃高度为pk分布

14、函数特点分布函数特点的概率分布。求的分布函数为：设随机变量例XxxxxxFX,313219152119910)(10例11.袋中装有5件产品,其中有2件次品,其余为正品,现任取2件,那么取到的次品数X的分布列及分布函数.)2523()2321(),31(XPXPXP及并求几种常见的离散型随机变量的分布几种常见的离散型随机变量的分布0-1分布分布若随机变量若随机变量X只可能取只可能取0和和1两个值，其概两个值，其概率分布为率分布为 P(X=1)= p，P(X=0)=1-p (0p0,则称则称X服从参数为服从参数为的的泊松泊松分布分布，记作，记作XP().设随机变量设随机变量XnB(n,pn)，其

15、中，其中pn是与是与n有关有关的数，又设的数，又设=npn 是常数，则有是常数，则有lim()lim(1),0,1,2,!kkn knnnnnnkP XkC ppekk泊松定理泊松定理定理的条件定理的条件=npn意味着当意味着当 n很大时，很大时，pn 必定很小必定很小. 因此，泊松定理表明，当因此，泊松定理表明，当n很很大，大，p 很小时有以下近似式：很小时有以下近似式：!)1 (keppCkknkkn例例15 为保证设备正常工作，需要配备适量为保证设备正常工作，需要配备适量的维修人员的维修人员 . 设共有设共有300台设备，每台的工台设备，每台的工作相互独立，发生故障的概率都是作相互独立，

16、发生故障的概率都是0.01.若若在通常的情况下，一台设备的故障可由一在通常的情况下，一台设备的故障可由一人来处理人来处理 . 问至少应配备多少维修人员，问至少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于的概率小于0.01?我们先对题目进行分析：我们先对题目进行分析： 300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01. 一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.

17、01? 设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同时发生故障的台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01 . 可看作可看作n=300的贝努里概型的贝努里概型.XB(n,p)，n=300, p=0.01可见，可见， 300台设备，独立工作，出故障概率都是台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 . 一台设备故障一人来处理一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设问至少配备多少维修人员，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?设设X为为300台设备同时发生故障的台数，台设备同

18、时发生故障的台数，XB(n,p)，n=300, p=0.01设需配备设需配备N个维修人员，个维修人员，所求的是满足所求的是满足P(XN) N) N) kkNkkCNXp3000300)99. 0()01. 0(1)(1Nkkke03!31n大大,p小小,np=3,用用 =np=3的泊松近似的泊松近似下面给出正式求解过程：下面给出正式求解过程：即至少需配备即至少需配备8个维修人员个维修人员.查书末的泊松分布表得查书末的泊松分布表得即即N 8我们求满足我们求满足Nkkke0399. 0!3的最小的的最小的N.,9962. 0!3803kkke例例. 若一年中某类保险者里面每个人死亡的若一年中某类保

19、险者里面每个人死亡的 概率为概率为0.002,现有现有2000个这类人参加人个这类人参加人 寿保险。参加者交纳寿保险。参加者交纳24元保险金，而死元保险金，而死 亡时保险公司付给其家属亡时保险公司付给其家属5000元赔偿元赔偿 费。计算费。计算“保险公司亏本保险公司亏本”和和“保险公保险公司司 盈利不少于盈利不少于10000元元”的概率。的概率。解：解：X:一年内死亡的人数一年内死亡的人数XB(2000,0.002)亏本亏本5000X48000X9盈利不少于盈利不少于10000元元48000-5000X10000X77090)()7()(1)9(1)9(kkkXPXPkXPXPXP用泊松定理近

20、似计算！用泊松定理近似计算！=0.0081=0.9489例例17.设生三胞胎的概率为设生三胞胎的概率为0.0001 ，求在，求在 10000次生育中恰有次生育中恰有2次三胞胎的概率。次三胞胎的概率。解：解：X:生三胞胎的次数生三胞胎的次数XB(10000,0.0001)99982210000)0001. 01 ()0001. 0()2(CXP1839. 0! 2)2(2eXP1 np其中 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布. 我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有

21、事件件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等例18.有一汽车站有大量汽车通过,设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故数X不小于2的概率.几何几何分布分布在独立试验序列中，若一次贝努利试验在独立试验序列中，若一次贝努利试验中某事件中某事件A发生的概率为发生的概率为P(A)=p，只要事，只要事件件A不发生不发生, 试验就不断地重复下去，直试验就不断地重复下去，直到事件到事件A发生，试验才停止。设随机变量发生，试验才停止。设随机变量X为直到事件为直到事件A发生为止所需的试验次数，发生为止

22、所需的试验次数，X的概率分布为的概率分布为,.,2 , 1,)1 ()(1kppkXPk则称则称X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布，记作，记作XG(p).例例19. 某射手连续向一目标射击，直到命某射手连续向一目标射击，直到命 中为止，已知他每发命中的概率是中为止，已知他每发命中的概率是 0.4，求：，求： (1) 所需射击发数所需射击发数X 的概率分布的概率分布. (2) (2)至少需要至少需要n n次才能射中目标的概率。次才能射中目标的概率。 XG(0.4)超几何超几何分布分布设设N个元素分为两类个元素分为两类,有有M个属于第一个属于第一类类,N-M个属于第二类个属于第二类.现在

23、从中不重复抽现在从中不重复抽取取n个个,其中包含的第一类元素的个数其中包含的第一类元素的个数X的的分布律为分布律为,.,1 , 0,)(lkCCCkXPnNknMNkM其中其中nN,MN,l=minn,M,n,N,M均为正均为正整数整数,则称则称X服从参数为服从参数为N,M,n的的超几何分超几何分布布，记作，记作XH(N,M,n).例例20. 某班有学生某班有学生20名，其中有名，其中有5名女生，名女生， 今从班上任选今从班上任选4名学生去参观展览，名学生去参观展览， 求被选到的女同学人数求被选到的女同学人数X的分布律。的分布律。XH(20,5,4)2.3设随机变量设随机变量 X的分布函数为的

24、分布函数为F(x) ,如果存在如果存在非负函数非负函数f(x) , 使得对任意的实数使得对任意的实数x,都有都有xdttfxXPxF)()()(则称则称X为为连续型随机变量连续型随机变量, f(x)称为称为X的概率的概率密度函数密度函数,简称为简称为概率密度概率密度或或分布密度分布密度。; 0)() 1 (xf; 1)()2(dxxf f (x)xo;)()()()() 3(badxxfaFbFbXaPo f (x)xa b连续型连续型r.v取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：, 0)( aXPa为任一指定值为任一指定值这是因为这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx xa

25、axdxxf )(lim00需要指出的是需要指出的是:由此得由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP对连续型对连续型 r.v X,有有)(bXaP; 0)()4( xXP)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP 由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX称称A为几乎不可能事件，为几乎不可能事件，B为几乎必然事件为几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S. )()(,)(,)()5(000 xfxFxxfxF有连续

26、在若是连续函数xxxXxPxxFxxFxFxfxx)(lim)()(lim)()(00000000 xxfxxXxP)()(000密度函数密度函数 f (x)在某点处在某点处x0的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率.在某点密度曲线的高度反映了在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度概率集中在该点附近的程度.例1.若X的概率密度为)31 (,020)(2xPAxAxxf及求其余例例2. 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为其他 0,43,22, 30)(xxxkxxf求系数求系数k及分布函数及分布函数F(x),并计算并计算P(1X3.5).例例3

27、. 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为, 0, 20, 1)(其他xkxxf求系数求系数k及分布函数及分布函数F(x),并计算并计算P(0.5X0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为的的指指数分布数分布,记作记作XE. 0, 0, 0,1)(xxexFx例例7.某电子元件的使用寿命某电子元件的使用寿命X是一个连续是一个连续 型随机变量，其概率密度为型随机变量，其概率密度为. 0, 0, 0,10001)(1000 xxexfx一台电子仪器内装有一台电子仪器内装有5个这种类型的元件，个这种类型的元件，任一元件坏仪器即停止工作，求任一元件坏仪器即停止工作，求 仪器能

28、正常使用仪器能正常使用1000小时以上的概率。小时以上的概率。例例8.某电子元件的使用寿命某电子元件的使用寿命X是一个连续是一个连续 型随机变量，其概率密度为型随机变量，其概率密度为. 0, 0, 0,)(100 xxCexfx(1) 确定常数确定常数C;(2)寿命超过寿命超过100小时的概率；小时的概率；(3)已知该元件已正常使用已知该元件已正常使用200小时，求小时，求 它至少还能正常使用它至少还能正常使用100小时的概率。小时的概率。若随机变量若随机变量X对任意的对任意的s0,t0有有),()|(tXPsXtsXP则称则称X的分布具有的分布具有无记忆性无记忆性.指数分布具有无记忆性指数分

29、布具有无记忆性泊松分布具有无记忆性泊松分布具有无记忆性指数分布和泊松分布有着特殊的联系指数分布和泊松分布有着特殊的联系例例9. 某机场在任何长为某机场在任何长为t的时间内飞机来到的时间内飞机来到 的数目的数目X服从参数为服从参数为t的泊松分布，的泊松分布， 求跑道的求跑道的“等待时间等待时间”即相继两架飞即相继两架飞机机 到来的时间间隔到来的时间间隔Y的概率分布。的概率分布。 几种正态正态分布分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中和和都是常数都是常数, 0，则称，则称X服从参数服从参数为为和和2的的正态分布正态分布.记作记作XN(,2)xexfx,21)(222)(xdte

30、xFxt,21)(222)(关于关于x= 对称对称21)()(max fxf在在x= 处有拐点处有拐点以以x轴为渐近线轴为渐近线决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. .XN(, 2)xdtexFxt,21)(222)( 我们遇到过的年降雨量问题，我们我们遇到过的年降雨量问题，我们用上海用上海99年年降雨量的数据画出了频率年年降雨量的数据画出了频率直方图。直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学男大学生的身高下面是我们用某大学男大学生的身高的数据

31、画出的频率直方图。的数据画出的频率直方图。红线是拟红线是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学男大学生的身高可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。应服从正态分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特面反映了服从正态分布的随机变量的特点。点。 除了我们在前面遇到过的年降雨量和除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外身高外, ,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标

32、，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布等，都服从或近似服从正态分布. .dtexxt2221)(=0, =1时时的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 标准正态标准正态分布分布任何一个一般的正态分布都可以通过线性任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换

33、转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布. .)()(xxF)(1)(xx正态正态分布分布的概率计算的概率计算 )|(|xXP1)(2 x1.若若 XN(0,1)(bXaP)()(ab0)(105 . 00)()(xxxxxxXP2.若若XN(, 2)()(xxXP正态正态分布分布的概率计算的概率计算)(bXaP)()(ab例例10. 设设XN(0,1),求求:) 1(XP)21(XP)5 . 1(XP)2(XP1587. 0) 1 (1) 1(1XP8185. 01) 1 ()2() 1()2() 1()2(XPXP8664. 01)5 . 1 (2)5 . 1()5 . 1 ()5 . 1

34、()5 . 1()5 . 15 . 1(XPXPXP0456. 0)2(12)2(2XP例例11. 设设XN(2,4),求求:) 1(XP)3(XP3085. 0)5 . 0(1)5 . 0()221(6853. 01)5 . 2()5 . 0()5 . 2()5 . 0(223223)33(XP例例12. 设设XN(, 2),求求:)(kXP)(kXkP)()(kXPkXP1)(2)()(kkk6826. 0)(XP9544. 0)2(XP9973. 0)3(XP3原则原则。，试求概率为无实根的且二次方程：随机变量例2104),0)(,(1322XyyNX例例14. 设测量某一目标的距离时发

35、生的误差设测量某一目标的距离时发生的误差 X(米米)的概率密度为的概率密度为)( ,2401)(3200)20(2xexfx求三次测量中至少有一次误差的绝对值求三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过不超过30米的概率。米的概率。判断正误判断正误设设XN(3,4),求求)104(XP)104(XP)4()10(FF)4(1 )10(FF1)4()10(FF1)434()4310(1)25. 0()75. 1 (15987. 09599. 05586. 0分位点分位点设设XN(0,1),对于给定的对于给定的01,存在存在u满足满足udxxuXP)()(即即1)(1)(uXPu则称则称u为为X关于关

36、于的的上侧分位点上侧分位点.例例15. 公共汽车车门的高度是按男子与车公共汽车车门的高度是按男子与车 门顶头碰头机会在门顶头碰头机会在0.01以下来设计以下来设计 的的. .设男子身高设男子身高XN( (170, ,36),),问车问车 门高度应如何确定门高度应如何确定? ? 01. 061701)(hhXP99. 001. 016170h33. 2617001. 0uh18498.13170h分位点分位点设设XN(0,1),对于给定的对于给定的01,存在存在u/2满足满足)(2/uXP则称则称 u/2为为X关于关于的的双侧分位点双侧分位点.伽玛分布伽玛分布2.4一、问题的提出一、问题的提出

37、在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.42d求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.已知已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）为电阻）的分布等的分布等.t0t0 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的

38、分布？的分布？下面进行讨论下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的上都是重要的.随机变量随机变量X的分布的分布随机变量随机变量Y的分布的分布?Y=g(X)二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时，时， Y 取对应值取对应值 5，7，13，例例1设设X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数.3013502075.Y而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生取其对应值是两个同时发生的事件的事件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.故故

39、如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的概率函数为的概率函数为Xnnpppxxx2121则则 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(如：如： X1 . 016 . 03 . 001则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为：406010.Y 函数的函数的例例2. 已知已知X的分布列为的分布列为a.求求Y=3X-1的分布列；的分布列；X-2 -10 123Pk0.10.15 0.30.20.10.15b.求求Z=X2的分布列的分布列.如果如果yk=g(xk)中有一些是相同的

40、，把它们中有一些是相同的，把它们作适当并项即可作适当并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的分布列为的分布列为Yy1 y2 yn Pkp1 p2 pn Xx1 x2 xn Pkp1 p2 pn 若若yk=g(xk)的值互不相等的值互不相等, Y=g(X)的分布列为的分布列为kiyxgikpyYP)()(三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布例例3设设 X XYN求),(2 的概率密度的概率密度.三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解：设解：设Y的分布函数为的分布函数为 FY(y)，例例4设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求

41、 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函数的密度函数21)28()()(yfdyydFyfXYY0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 时，时， 0)( xfX即即 8 y 0 时时,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，)()(yF

42、yFXX若若exxfX2221 )(则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：0, 00,21)(221yyyfeyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过的过程中，关键的一步是设法程中，关键的一步是设法从从 g(X) y 中解出中解出X,从而得到与从而得到与 g(X) y 等价的等价的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 28y用用 代替代替 X2 y yXy 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从的分布，从而求出相应的概率而求出相应的

43、概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为fX(x),又设又设y=g(x)严格单调且可导严格单调且可导,则则Y=g(X)是一个连续型随是一个连续型随机变量机变量,其概率密度为其概率密度为定理定理),(, 0),(, )()()(11yyygdydygfyfXY其中其中,(, )是是y=g(x)的值域的值域.公式法公式法例例6. 设设XN(, 2),求求:;) 1 (的概率密度XY;)2(的概率密度baXY例例7 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率

44、密度., 0)(yFY当当 y 0时时, 当当 y 1时时, 1)(yFY10 y x0当当时时故故解：注意到解：注意到,)()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） ydxxarcsin022ydxxarcsin22解：当解：当0y1时时, 例例8 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度.当当0y1, G(y)=1;对对y0 , G(y)=0;10 y由于由于对对0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y)=P(X (y)1F1F=F( (y)= y1, 11

45、0,0, 0)(yyyyyG即即Y的分布函数是的分布函数是其它, 010, 1)(yyg求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见, Y 服从服从0，1上的均匀分布上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用本例的结论在计算机模拟中有重要的应用. 例例10 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解： 在区间在区间(0,1)上上,函数函数lnx0, 02xy于是于是 y在区间在区间(0,1)上单调下降，有反函数上单调下降，有反函数2/)(yeyhx由前述定理得由前述定理得其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf注意取注意取绝对值绝对值其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，代入代入 的表达式中的表达式中)(yfY其它,)(/00212yeyfyY得得即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布.), 0(),2,2, 0,sin11UVUAAV若的概率密度。试求为一随机变量，且其中。设电压例