常见的数学问题在解题中的应用

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1、 常见的数学问题常见的数学问题 在解题中的应用在解题中的应用 思想方法提炼思想方法提炼 感悟、渗透、应用感悟、渗透、应用 思想方法提炼思想方法提炼 数学思想和方法是初中数学的基础知识，数学学习中数学思想和方法是初中数学的基础知识，数学学习中要提高我们分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意要提高我们分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识解决问题，这些都离不开数学思想和数学方法；识解决问题，这些都离不开数学思想和数学方法； 在平时的学习中可能已经学到了很多的思想与方法，但在平时的学习中可能已经学到了很多的思想与方法，但有时未明确提出它们的具体名称，故以下将它们进行小结有时未明确提出它们的具体

2、名称，故以下将它们进行小结、归纳一下，以便能更好地去理解并掌握、归纳一下，以便能更好地去理解并掌握. .4.4.能熟练运用待定系数法、换元法、配方法、图象法等能熟练运用待定系数法、换元法、配方法、图象法等 数学方法解决问题数学方法解决问题. .3.3.掌握并能运用方程思想、不等式思想、函数思想、掌握并能运用方程思想、不等式思想、函数思想、 统计思想、整体代换思想、转化思想、数形结合思统计思想、整体代换思想、转化思想、数形结合思 想、想、 分类讨论思想等数学思想方法进行分析问题分类讨论思想等数学思想方法进行分析问题 与解决问题与解决问题. .1.1.理解分析法，会用分析法探求出解题、证明思路，理

3、解分析法，会用分析法探求出解题、证明思路， 以寻求最佳的解题方法以寻求最佳的解题方法. .2.2.理解归纳法、类比法的推理方法，会运用演绎法，理解归纳法、类比法的推理方法，会运用演绎法， 综合法书写解题、证题的过程综合法书写解题、证题的过程. . 感悟、渗透、应用感悟、渗透、应用一、方程与不等式思想一、方程与不等式思想 【例【例1 1】(2003(2003年年江西江西) )已知关于已知关于x x的方程的方程x x王王2-m=2x2-m=2x有两个有两个 不相等的实数根，求不相等的实数根，求m m的取值范围的取值范围. .【解析】利用根的判别式【解析】利用根的判别式和解不等式的知识可求和解不等式

4、的知识可求. .xx2 2-2x-m=0-2x-m=0解：解：=(-2)=(-2)2 2-4-41 1(-m)=4+4m(-m)=4+4m0 0mm-1-1即当即当m m-1-1时，原方程有两个不等的实根时，原方程有两个不等的实根. .【例【例2 2】(2003(2003年年河南省河南省) )若单项式若单项式2a2am m+2nb+2nbn n-2m+2-2m+2与与a a5 5b b7 7 是同类项，则是同类项，则n nm m的值是的值是( )( ) A.-3 B.-1 A.-3 B.-1 C.1/3 D.3 C.1/3 D.3C C【分析】据同类项的定义，运用方程的思想即可求得【分析】据同

5、类项的定义，运用方程的思想即可求得. .31n3n1m72m2n5n2mm 解：解： ，故选择，故选择C.C.二、函数思想：二、函数思想：【例【例3 3】(2004(2004年年南京市南京市) )某地举办乒乓球比赛的费用某地举办乒乓球比赛的费用y y( (元元) )包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用费用b(b(元元) )，另一部分与参加比赛的人数，另一部分与参加比赛的人数x(x(人人) )成正比例。成正比例。当当x=20 x=20时，时，y=1600,y=1600,当当x=30 x=30时时,y=2000.,y=2000.(1)(1)求

6、求y y与与x x之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)(2)如果有如果有5050名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？摊，那么每名运动员需要支付多少元？ 解：解：（1）设）设y=kx+b. 根据题意根据题意,得得 解得解得k=40,b=800 y与与x之间的函数关系式是之间的函数关系式是:y=40 x+800. . ., ,2000bk301600bk20(2)每名运动员需要支付每名运动员需要支付56元。元。二、函数思想：二、函数思想：【例【例4 4】(2003(2003年年哈尔滨市哈尔滨市) )若正比例函数若正比例

7、函数y=(1-2m)xy=(1-2m)x的图的图象经过点象经过点A(xA(x1 1，y y1 1) )和点和点(x(x2 2，y y2 2) )，当，当x x1 1x x2 2时，时，y y1 1y y2 2，则则m m的取值范围是的取值范围是 ( )( ) A.m A.m0 B.m0 B.m0 0 C.m C.m 1/2 D.m1/2 D.m1/21/2【分析】根据正比例函数的图象及其性质知，只有当一次【分析】根据正比例函数的图象及其性质知，只有当一次 项系数小于零时，才有项系数小于零时，才有y y随随x x增大而减小的性质增大而减小的性质. . 解：解：1-2m1-2m0m0m1/2 1/

8、2 故选择故选择D.D.D【例【例5 5】(2003(2003哈尔滨市哈尔滨市) )如图所示，是在同一直角坐标如图所示，是在同一直角坐标系内，二次函数系内，二次函数y=axy=ax2 2+(a+c)x+c+(a+c)x+c与一次函数与一次函数y=ax+cy=ax+c的大致的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是图象，有且只有一个是正确的，正确的是 ( )( )D【例【例6 6】(2003(2003年年昆明市昆明市) )某公司到果园基地购买某种优某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问抗击质水果，慰问抗击“非典非典”一线的医务工作者，果园基地一线的医务工作者，果园基地对购买量在对购买量在3000

9、3000千克以上千克以上( (含含30003000千克千克) )的有两种销售方案，的有两种销售方案，甲方案：每千克甲方案：每千克9 9元，由基地送货上门；乙方案：每千克元，由基地送货上门；乙方案：每千克8 8元，由顾客自己租车运回；已知该公司租车从基地到公司元，由顾客自己租车运回；已知该公司租车从基地到公司的运输费为的运输费为50005000元元. .(1)(1)分别写出该公司两种购买方案的付款分别写出该公司两种购买方案的付款y(y(元元) )与所购买的与所购买的水果量水果量x(x(千克千克) )之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x x的取值的取值范围；范围；(2)(

10、2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少? ?并说明理由并说明理由. .【分析】运用函数思想、不等式思想及图象法等综合解题【分析】运用函数思想、不等式思想及图象法等综合解题. . 解：解：(1)y(1)y甲甲=9x(x3000)=9x(x3000) y y乙乙=8x+5000(x3000)=8x+5000(x3000) (2)(2)方法一：当方法一：当y y甲甲=y=y乙乙时，即时，即9x=8x+50009x=8x+5000解得解得x=5000 x=5000 x=5000 x=5000千克时，两种付费方案一样千克时，两种付费方案一样. .

11、当当y y甲甲y y乙乙时，有时，有 解得解得3000 x3000 x5000500030003000千克千克xx50005000千克时，选择甲方案付款最少千克时，选择甲方案付款最少当当y y甲甲y y乙乙时，即时，即9x9x8x+50008x+5000解得解得x x5000.5000.xx50005000千克时，选择乙方案付款最少千克时，选择乙方案付款最少. .方法二：图象法，作出它们的函数图象方法二：图象法，作出它们的函数图象( (如图如图) )由函数图象可得，当购买量大于或等于由函数图象可得，当购买量大于或等于30003000千克且小于千克且小于50005000千克时，选择甲方案付款最少

12、；当购买最等于千克时，选择甲方案付款最少；当购买最等于50005000千千克时，两种方案付款一样；克时，两种方案付款一样；当购买最大于当购买最大于50005000千克时，选择乙方案付款最少千克时，选择乙方案付款最少. .【例【例7 7】(2003(2003年年山东省烟台市山东省烟台市) )设设a a、b b、c c都是实数，且都是实数，且满足满足(2-a)(2-a)2 2+ + +c+8c+8=0=0，axax2 2+bx+c=0+bx+c=0，求代数式，求代数式x x2 2+x+1+x+1的值的值. .cba2 【分析】由非负性知识求出【分析】由非负性知识求出a a、b b、c c的值，再代

13、入到的值，再代入到axax2 2+ +bx+c=0bx+c=0中，最后运用整体代换求值中，最后运用整体代换求值. .解：解：2-a=02-a=0且且a a2 2+b+b+c=0c=0且且c+8=0c+8=0a=2b=4c=-8a=2b=4c=-82x2x2 2+4x-8=0+4x-8=0即即x x2 2+2x-4=0+2x-4=0 x=-1x=-1 即即x+1=x+1=而而x x2 2+x+1=(x+1)+x+1=(x+1)2 2-x=(-x=( ) )2 2-(-1-(-1 )=6 )=625255三、整体代换思想：三、整体代换思想：【例【例8 8】(20042004年年河北省河北省)若若x

14、1,x2x1,x2是一元二次方程是一元二次方程 x2-3x+1=0 x2-3x+1=0的两个根，则的两个根，则x12+x22x12+x22的值为的值为 ( )( ) A.5/4 B.9/4 A.5/4 B.9/4 C.11/4 D.7 C.11/4 D.74521249xx2xxxx21xx2323xx2122122212121 ) )( (A A解：由韦达定理知：解：由韦达定理知：四、数形结合思想四、数形结合思想 【例【例9 9】(2004(2004年年甘肃省甘肃省) )如图所示，已知如图所示，已知a a 0,0,则函数则函数 的图像大致是的图像大致是 ( )( )xayaxy21 , ,A

15、【例【例1010】(2003(2003年年山西省山西省) )二次函数二次函数y=xy=x王王2+bx+c2+bx+c的图象的图象如图所示，则函数值如图所示，则函数值y y0 0时，对应时，对应x x的取值范围是的取值范围是【解析】由顶点坐标公式得【解析】由顶点坐标公式得令令y=0y=0则则x x2 2+2x-3=0+2x-3=0 x=-3x=-3或或x=1x=1xx取值范围为：取值范围为： -3-3x x1 1 3c2b44bc412b2【例【例1111】(2003(2003年年山西省山西省) )如图如图Z2-5Z2-5所示，所示，ABAB是是OO为直为直径，径，PBPB切切OO于点于点B B

16、，PAPA交于交于OO于点于点C C，PFPF分别交分别交ABAB、BCBC于于E E、D D，交，交OO于于F F、G G，且，且BEBE、BDBD恰好是关于恰好是关于x x的方程的方程x x2 2- -6x+(m6x+(m2 2+4m+13)=0(+4m+13)=0(其中其中m m为实数为实数) )的两根的两根. .(1)(1)求证：求证：BE=BDBE=BD；(2)(2)若若GEGEEF=63EF=63，求，求A A的度数的度数. . 【解析】【解析】(1)BE(1)BE、BDBD是关于是关于x x的的方程方程x x2 2-6x+(m-6x+(m2 2+4m+13)=0+4m+13)=0

17、的两根的两根=-4(m+2)=-4(m+2)2 200-4(m+2)-4(m+2)2 20 0m=-2m=-2故原方程为：故原方程为：x x2 2-6x+9-6x+90 0 xx1 1=x=x2 2=3BE=BD=3=3BE=BD=3(2)(2)由相交弦定理得由相交弦定理得AEAEBE=GEBE=GEFE=63FE=63AE=23AE=23又又PBPB切切OO于点于点B B，ABAB为为OO直径直径ABP=ACB=90ABP=ACB=90又又BE=BD=31=2BE=BD=31=21=A+41=A+4，2=3+52=3+5又又5=A3=45=A3=4易证易证PBCPBCPAB PAB PBDP

18、BDPAEPAE sin A= sin A=A=60A=60PAPBABBC PAPBAEBD AEBDABBC 23323AEBDABBC 五、转化思想五、转化思想 【例【例1212】(2003(2003年年广东省广东省) )已知：已知：x x1 1，x x2 2为方程为方程x x2 2+px+q=0+px+q=0的两根，且的两根，且x x1 1+x+x2 2=6=6，x x1 1+x+x2 22 2=20=20，求，求p p和和q q的值的值【分析】将【分析】将x x2 21 1+x+x2 22 2转化为两根之和与两根之积的形式，再转化为两根之和与两根之积的形式，再利用整体代换知识代入计算

19、即可得利用整体代换知识代入计算即可得. .解：解：xx1 1+x+x2 2=-px=-px1 1x x2 2=q=q-p=6-p=6且且x x2 21 1+x+x2 22 2=(x=(x1 1+x+x2 2) )2 2-2x-2x1 1x x2 2=(-p)=(-p)2 2-2q=20-2q=20q=8q=8【例【例1313】已知：】已知：x x2 2-4x+1=0-4x+1=0，求，求x-1/xx-1/x的值的值【分析】先将方程两边同除以【分析】先将方程两边同除以x x，转化为，转化为x+1/xx+1/x的形式，的形式，再利用变形知识得再利用变形知识得(x-1/x)(x-1/x)2 2=(x

20、+1/x)=(x+1/x)2 2-4-4即可求值即可求值. .解：解：x-4+1/x=0 x+1/x=4x-4+1/x=0 x+1/x=4而而(x-1/x)(x-1/x)2 2=(x+1/x)=(x+1/x)2 2-4=4-4=42 2-4=12-4=12六、分类讨论思想六、分类讨论思想 【例【例1414】(2002(2002年年重庆市重庆市) )已知：二次函数已知：二次函数y=-4xy=-4x2 2-2mx+m-2mx+m2 2与反比例函数与反比例函数y= y= 的图象在第二象限内的一个交点的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是的横坐标是-2-2，则，则m m的值是的值是x4m2 【分析】二

21、次函数和反比例函数的图象在第二象限内有交【分析】二次函数和反比例函数的图象在第二象限内有交点，故两解析式联立的方程组有解，消去点，故两解析式联立的方程组有解，消去y y，将，将-2-2代入代入x x，即可求出即可求出m m的值的值. .解：解：-4x-4x2 2-2mx+m-2mx+m2 2= = 且且x=-2x=-2mm2 2+5m-14=0 m+5m-14=0 m1 1=-7m=-7m2 2=2=2当当m=-7m=-7时，反比例函数时，反比例函数y=- y=- 的图象在第二、四象限内，的图象在第二、四象限内，符合题意符合题意. .当当m=2m=2时，反比例函数时，反比例函数y= y= 的图象在第一、三象限内，的图象在第一、三象限内，不合题意，故不合题意，故m2.m2.综上所述，得综上所述，得m=-7.m=-7.x4m2 x10 x8