1.3.2函数奇偶性的知识点及例题解析

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1、函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数 f(x),如果对于函数定义域内任意一个X,都有f ( x) f (x),那么函数f (x)就叫做偶函数。一般地，对于函数 f(x),如果对于函数定义域内任意一个x,都有f ( x) f (x),那么函数f (x)就叫做奇函数。理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个整体”性质，单调性是一个局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶

2、函数.3、奇偶函数的图象：奇函数图象关于原点成中心对称的函数,偶函数 图象关于y轴对称的函数。4、函数奇偶性的性质：具有奇偶性的函数， 其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0) =0。奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间a,b(0 wa<b)上单调递增(减)，则f(x)在区间b, a上也是单调递增 (减)；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间a,b (0Wa<b)上单调

3、递增(减)，则f(x)在区间b, a上单调递减(增)任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。若函数g(x) , f(x) , fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x) , y=f(u)者B是 奇函数时，y=fg(x) 是奇函数；u=g(x) , y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x) 是偶函数。复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：f x、定义法：对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f x f x或 1f x或f x f x 0 函数f (x)是偶函数；f x对于函数f(x)的定义域内任

4、意一个 x,都有f x f x或 1或f xf x f x 0 函数f (x)是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：、判断定义域是否关于原点对称；、比较f ( x)与f (x)的关系。、扣定义，下结论。、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。，、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：奇函数+奇函数二奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；奇函数X奇函数 =偶函数；奇函数X偶函数 二奇函数。若f(x)为偶函数，则f( x) f(x) f(|x|)。、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性:分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数, 若定义

5、域关于原点对称，再看 f ( x)与f (x)的关系.【例1】 判断下列函数的奇偶性：一 -2一、.f (x) x 2 x 1 ;(2) . f (x)解：f(x)函数的定义域是(,),22f (x) x2 2 x| 1 , f( x) ( x)2_2:f (x) x 2 x 1为偶函数。(法2图象法)：画出函数 f(x) x2 2 x由函数f(x) x2 2 x 1的图象可知，f (x) x2 2 x 1为偶函数。_22 x 1 x21的图象如下：说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、 填空题可用图象法判断函数的奇偶性。一 ，x 3.一(2).解：由0 ,得 xC (8, - 3

6、U (3 , +川.x 3【例2】判断下列函数的奇偶性:f(x).4 x2解:上 4(1).由 32x3(2).f(x)0xo12x2x 0 且 x 6:定义域为2V0或0Vx攵，则f(x) 4 xx 3 34 x2定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.精品资料f(x)；.f(x)-为奇函数.3说明：对于给出函数解析式较复杂时， 要在函数的定义域不变情况下， 先将函数解析式变形化简, x(2).由 2 x然后再进行判断。又f(x),解得01 x0x2 10，:函数定义域为x R x 0, x 1 ,10, ： f( x) 0,. f( x)f (x)且 f ( x)f(x),所以f(x)1

7、x011-27-27x1x10既是奇函数又是偶函数【例3】判断下列函数的奇偶性:x(1 x),(x 0)f(x) 0, (x 0)解析x(1 x), (x函数的定义域为0)R,当 x 0时，x 0, f ( x) ( x)(1 x)当 x 0 时，x 0, f ( x) 0f (x)；当x 0时,x 0, f ( x)(x) 1 ( x)x(1 x) f (x);x(1 x) f (x).综上可知，对于任意的实数 x,都有f( x)f(x),所以函数f(x)为奇函数说明：分段函数判断奇偶性，必分 性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法段来判断，只有各 段为同一结果时函数才有奇偶2、抽象函数判断其

8、奇偶性:【例4】已知函数f (x)(xR且x 0),对任意的非零实数x1, x2，恒有f(x1 x2) f(x1) f(x2)，判断函数 f (x)(x R且 x 0)的奇偶性解：函数的定义域为(，0)U(0,),令 x1 x2 1 ,得 f (1) 0,令 x1 x21 ,则2f ( 1) f (1), f( 1) 0,取、1,x2 x ,得 f( x) f( 1) f(x), f( x) f (x),故函数f(x)(x R且x 0)为偶函数。3、函数奇偶性的应用：(1) .求字母的值：ax2 1【例5】已知函数f(x) ax1(a,b,c Z)是奇函数，又f (1) 2, f (2) 3,

9、求 bx ca , b,c的值.解：由 f( x) f(x)得 bx c (bx c), ： c 0。4a 14a 1又 f(1) 2 得a 1 2b ,而 f(2) 3 得4a- 3,.a 3,2ba 1解得 1 a 2。又 a Z,：a 0或 a 1 .1若a 0,则b 1 Z ,应舍去；若a 1,则b 1 Zb=1CZ2a 1, b 1, c 0。说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想 (建立方程或 不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，+与时，f (x)= x 1 ,求如 f(- 1)= f(1),得 c =00(2) .解不等式：【例6】若f(x)是偶函数，当xC

10、 0f(x1)V0的解集。分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法.解：画图可知f(x)v0的解集为x11VXV1,：f(x1)V0,即一Ivx-lvl,.解集为 x I 0Vxv 2.(3)函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知 f( x)= x5+ax3-bx-8,且 f( -2)=10 ,求 f(2).解：法一：. f( -2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a- 2b=- 50f(2)=2 5+23a- 2b- 8=8a- 2b+24=- 50+24=- 26法二：令g(

11、x)=f( x)+8易证g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f( -2)+8=-f(2) -8 f(2)= -f( -2)-16=-10-16=-26.C8. f( x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f( x)=x2-x,求当x>0时，f( x) 的解析式，并画出函数图象.解：二.奇函数图象关于原点对称， .x>0 时，f(x) f ( x) ( x)2 ( x) x2 x,又 f(0)=0 9.设定义在-3, 3上的偶函数f( x)在0 , 3上是单调递增，当 f(a-1)vf( a) 时，求a的取值范围.解：-. f( a-1) <f( a),偶函数f( x)在0 , 3上是单调递增必有 | a-1| , | a| e 0 , f(| a-1|) <f(| a|)3-2d +1 < 0<a <32/. -2<a<4Welcome ToDownload !欢迎您的下载，资料仅供参考！