工程管理专业 气井稳定试井分析方法及应用

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1、摘 要了解天然气的物理化学性质，以便合理的准确性分析气井的动态，预测气井的产能，进一步了解气层的特性打下了基础。文章介绍了流体通过多孔介质流动时的基本方程，以及在各种边界条件和各种气藏形状下的特解叙述了气井的流动和压力测试的基本理论，推导了流体通过多孔介质流动的基本方程式，对于不同边界条件和地层几何形状提供了有意义的解叙述了产能试井的基本理论对几种产能试井给出了分析试井数据的不同方法，还详细地介绍了，在产能试井中必须考虑的一些重大问题，如达到气井稳定流动所需的时间和试井时确定稳定产量的要求还针对测试的产量或井底压力不稳定的情形，将其考虑为变产量稳定试井，从理论上推导出快速求取气井产能方程的新方

2、法，并将该方法应用于分析实际产能测试资料，使原来无法解释的测试资料得到了解释，获得了气井的产能方程和无阻流量关键词：天然气藏；稳定渗流；气井试井；产能评价52第1章 天然气的物理化学性质1.1 天然气的组成天然气是指自然生成，在一定压力下蕴藏于地下岩层孔隙或裂缝中的混合气体，其主要成分为甲烷及少量乙烷、丙烷、丁烷、戊烷、正丁烷、异丁烷及以上烃类气体，并可能含有氮、氢、二氧化碳、硫化氢及水蒸气等非烃类气体及少量氦、氩等惰性气体。无硫化氢时为无色无臭易燃易爆气体，比空气轻。通常将含甲烷高于90%的称为干气，含甲烷低于90%的称为湿气。天然气系古生物遗骸长期沉积地下，经慢慢转化及变质裂解而产生之气态

3、碳氢化合物，具可燃性，多在油田开采原油时伴随而出。1.2 天然气的分子量、相对密度、密度和比容天然气的分子量在数值上等于在标准状态下1摩尔天然气的质量。由于天然气的分子量随组成的不同而变化，没有一个恒定的数值，因此又称为“平均分子量”。通常，多将上述数值简称为天然气的分子量。1.2.1 天然气的分子量 （1-1）式中 天然气分子量；天然气组分的摩尔组成；组分i的分子量。1.2.2 天然气密度天然气密度定义为单位体积天然气的质量。在理想条件下，可用下式表示为 （1-2）式中 气体密度，；气体质量，；气体体积，；绝对压力，； 绝对温度，；气体分子量，；R气体常数，。对于理想气体混合物，用混合气体的

4、视相对分子质量代替单组气体分体的相对分子质量，得到混合气体的密度方程为： （1-3）1.2.3 天然气相对密度天然气相对密度定义为：在相同温度、压力下，天然气的密度与空气密度之比。天然气相对密度是一无因次量，常用符号表示，则 （1-4）式中 天然气密度；空气密度；因为空气的分子量为28.96，故有。1.2.4 天然气的比容天然气的比容定义为天然气单位质量所占据的体积。在理想条件下，可写成 （1-5）式中 比容，。1.3 天然气各种系数的确定1.3.1 天然气的偏差系数天然气偏差系数又称压缩因子，是指在相同温度、压力下，真实气体所占体积与相同量理想气体所占体积的比值。天然气的偏差系数随气体组分的

5、不同及压力和温度的变化而变化。换言之，某压力和温度时，摩尔气体的实际体积除以在相同压力和温度时摩尔气体的理想体积之商，即为该天然气的偏差系数。 （1-6）式中 对比压力，；对比温度，。1.3.2 天然气的等温压缩系数天然气的等温压缩系数（一般简称为压缩系数或弹性系数）是指：在等温条件下，天然气随压力变化的体积变化率，数学表达式为 （1-7）气体体积与压力的关系可按真实气体状态方程表示为 （1-8） （1-9）将式（1-8）和式（1-9）代入式（1-7），则可得 （1-10）在实际应用中，一般不直接用（1-10）计算值，而表示为拟对比压力和拟对比温度的函数，用代替，即： （1-11）1.3.3

6、体积系数和膨胀系数天然气的体积系数是指天然气在地层条件下所占体积与其在地面条件下的体积之比。 （1-12）式中 天然气体积系数；天然气在标准状况下的体积；同数量天然气在地下的体积。天然气体积系数的倒数称为天然气的膨胀系数，用符号表示为： （1-13）一般规定在地面标准状况下，气体体积可按理想气体状态方程来表述： （1-14）在油藏压力为、温度为条件下，则同样数量的天然气所占的体积可按真实气体状态方程求出，即： （1-15） （1-16）其中，的单位是，即可视为无因次量。因此，在标准条件下。天然气体积系数，实质上表示了天然气在气藏条件下所占的体积与同等数量的气体在标准状况下所占的体积之比。因此描

7、述了当其气体质量不变时，由于从地下到地面的压力、温度的改变所引起的体积膨胀大小。气藏中随着气体的不断采出，气藏压力在不断降低，而地下气藏的温度可视为常数。此时，可将视为仅是气藏压力的函数。1.4 天然气的粘度、含水量和溶解度1.4.1 粘度的定义粘度是流体抵抗剪切作用能力的一种量度。牛顿流体的动力粘度定义为： （1-17）式中 剪切应力； 在施加剪应力的方向上的流体速度；在与垂直的方向上的速度梯度。对纯流体，粘度是温度、压力和分子类型的函数；对于混合物，除了温度、压力外，还与混合物的组成有关。对于非牛顿流体，粘度同时是局部速度梯度的函数。上面所定义的粘度称为绝对粘度，也称为动力粘度。此外，流体

8、的粘度还可以用运动粘度来表示。运动粘度定义为绝对粘度与同温度、同压力下该流体密度的比值 。 （1-18）式中 运动粘度，； 绝对（动力）粘度，； 流体密度，。1.4.2 天然气中的含水量大多数气田属气水两相系统。天然气在地下长期与水接触的过程中，一部分天然气溶解在水中，同时一部分水蒸气进入天然气中。因此，从井内采出的天然气中，或多或少都含有水蒸气。1.4.3 天然气的溶解度天然气的溶解度定义为：在一定压力下，单位体积石油或水中所溶解的天然气量。天然气的溶解度通常用溶解系数与压力表示 （1-19）式中 天然气在油或水中的溶解度，；天然气溶解系数，在一定温度下，压力每增加一单位值，单位体积石油或水

9、中溶解的气量；压力，。第2章 天然气的稳定渗流天然气是重要的能源及化工原料，它是由各种碳氢化合物及其他成分组成的混合物。组要含有甲烷、乙烷及正丙烷等烃类，其中甲烷含量最高，除了碳氢化合物外还含有少量其他成分。如：一氧化碳、二氧化碳及硫化氢等。不同的气藏，天然气的成分及其含量不同。天然气的主要特点是压缩性大，气体的体积随温度和压力的变化而变化。一般以20及760为标准条件。2.1 天然气渗流的基本微分方程气体和液体的相态不同，但都是流体。只是气体比液体的压缩性大。因此，研究气体渗流规律时根据这一特点引入一些新的变量，依照液体渗流规律的研究方法的气体渗流方程。2.1.1 基本微分方程关于求解流体流

10、动问题的第一步，是了解它们在数学上的表达式。通过如下叙述的一组五个基本方程的应用，对问题进行求解。（1）结构方程式，它叙述了流体动态的流变性质。它是作用于流体上的剪切力和因之而产生的剪切速率之间的关系。对于任一给定的温度和压力，用结构方程确定牛顿流体2的粘滞性。目前发展的情况是，它合并于运动方程之中。（2）动量方程式，它是牛顿的第二运动定律对流体系统的应用。在本质上这是作用在系统上的力平衡。（3）连续方程式，它是质量守恒定律的一个表达式。（4）状态方程式，它把流体的密度同温度与压力联系在一起。（5）能量方程式，它是能量守恒定律的一个表达式。它考虑到能量变化的不同类型，以及在非等温流动系统中最关

11、心的问题。在气藏流体的流动中，这些能量的影响可以忽略不计。由实验和理论研究得到的动量方程、连续方程和状态方程，在下面将进行进一步的论述。首先是推倒动量方程，其次是连续方程。这两个方程再加上状态方程，就可以用压力代替密度。这样就得到流体通过多孔介质流动的基本偏微分方程式。在普通坐标上，该方程式可以表示为直角的、圆柱的或球形坐标的形式，并用适当的方法求解。1、动量方程式该方程组，是由作用于所研究区域内的任一微分单元上的动量平衡推导出来的。然后，将方程组简化为在流体单位体积上的力平衡，即质量加速度=压力+粘滞力+重力在地层中气体或液体的稳定流动，可能是层流，也可能是湍流或两者的综合。（1）低流量（层

12、流影响）对于常数流量下水通过多孔介质的一维稳定流动，达西1856年通过实验发现，对于给定的多孔介质压差与流量成正比。进而，对于不同的流体，做了多孔介质中的线性水平流动的试验，并给出了如下的达西定律形式： （2-1）式中 流量；总的横截面积；在方向的压力梯度；渗透率。式（2-1）可表示为： （2-2）由式（2-1）是可以给出广义的一维达西定律形式。对于任何方向的流动为： （2-3）式中 速度矢量；渗透率张量；梯度算子；重力矢量，；重力加速度。在笛卡尔直角坐标系中，速度的三个分量可表示为： （2-4） （2-5） （2-6）在写（2-3）式的表达式时，假定是以垂直向下方向为正，而张量的形式为：介质

13、假定是各向异性的，因此，在三个坐标方向上的渗透率是不相同的。假若介质是各向同性的，则在所有点有：假若整个介质的渗透率与位置无关，则介质称为是均质的。反之，该系统是非均质的。我们把势定义为： （2-7）式中 密度，为压力的函数；垂直向下的距离；任意的参考压力。利用势表示的达西定律为： （2-8）从在均质介质中流体的流动可以发现，渗透率与流动的流体无关，只是介质的一个属性。但是，在气体流动的情况下，当介质的孔隙大小与气体分子的平均自由路程的大小相同时，在流体与固体的接触面上会产生滑脱，从而气体的渗透率将不再是常数。在这种条件下，低压下的滑脱变得显著，此时渗透率被表示为： （2-9）式中 在无限大压

14、力下介质对气体的渗透率（它的数值应当等于介质对液体的渗透率）；取决于气体与多孔介质系统的常数。（2）高流量（惯性和湍流影响）随着流动速度的增加，产生了偏差达西定律的现象。许多研究工作者把它归因于湍流影响或惯性影响。一般公认的解释是，随着速度的增加，惯性影响引起最初的偏离，湍流影响着更高速度下的流动。从单纯的层流过渡到完全的湍流，包括一个很宽的流量范围。对于水平的稳定流动，该流量范围可有一个如下的二项式表示： （2-10）（2-10）式包括了层流、惯性流和湍流()的影响。对于稳定流动，它是一个一般的动量平衡方程式。该式可以重新整理为下式： （2-11）式中的是层流惯性湍流( )修正系数。当时（2

15、-11）式等价于达西定律。在各向异性的介质中，、或方向上的也是各不相同的。当重力影响可以忽略时，通过这样介质的流动可表示为： （2-12）式中由此看出，（2-12）式将既表示层流影响，又表示惯性湍流（）影响。对于稳定流动，它将被称为广义的层流惯性湍流（）的动量平衡方程式。2、连续方程式质量守恒定律，也叫做连续性方程式，该方程对于任一给定的系统有质量存储量=质量流入量-质量流出量通过一个有代表性的多孔介质单元体积，利用质量守恒定律得到了连续性方程式，其广义坐标记法的形式为： （2-13）式中 介质的孔隙度；的散度。算子的定义，在表1-1中给出了直角、圆柱和球形坐标中的具体形式。（2-13）式的左

16、边项，表示了在多孔介质中质量的存储量，它在稳定流条件下等于0。右边项表示了离开和进入有代表性单元体积的流体质量差。（2-13）式的一维形式，可由表2-1做适当的代换后得到。假若流动是在方向上的层流，则连续性方程式的形式为： （2-14）类似地，在径向柱状坐标中，假若流动仅考虑为方向的径向流，则连续性方程式表示为： （2-15）表2-1 在不同坐标系中算子的定义（是一个任意标量，是一个任意矢量）三维情况一维情况直角坐标柱状坐标球形坐标3、状态方程式关系到流体密度随压力和温度变化的方程式为状态方程式。该方程式需把由密度表示的连续方程式（2-13）式，和由压力表示的动量方程式（2-12）式结合起来。

17、这样一个状态方程式是必不可少的。（1）液体上述的状态方程式，对于预测液体的密度是很麻烦的，并指出它的使用是不正确的。对于常温度下固定的液体质量，液体的压缩系数定义为单位压力变化下的液体体积的变化量，即： （2-16）式中 液体的压缩系数；液体的体积；温度。由密度表示，（2-16）式可表示为： （2-17）对于常温下的液体，可以考虑为常数，而（2-17）式可以在和之间积分： （2-18）式中 在某一参考压力下的密度。该式是在等温条件下液体的压力与密度的关系式，它可用于任何常压缩系数的流体。（2）气体为了工程的计算，对于真实气体状态方程式的最实用形式： （2-19）对于等温条件： （2-20）联立

18、（2-17）式、（2-19）式和（2-20）式得 （2-21）偏差系数是一个修正系数，它定义为真实气体对理想气体的偏差。不能把它同压缩系数混淆。是任一给定物质的等温压缩系数。对于理想气体而言，是一个常数()，而。对于真实气体，随压力变化。而，只是在的压力范围内成立。在某些条件下，如，气体可以处理为小压缩系数和常压缩系数的流体，而在常温下它的压力和密度的关系，利用（2-18）式表示就足够了。实际上这是液体的状态方程式。Houpeur(1959)指出，对于气体状态方程式，靠近选择更为合适。4、流动方程式把连续性方程（2-13）和动量平衡方程（2-12）联立得到： （2-22）这是与密度、孔隙度、粘

19、度、渗透率、湍流系数、时间、距离和压力都有关系的流动方程的一般形式。若把适当的状态方程代入上述方程，就可以得到一个偏微分方程式。它可以描述一个利用孔隙度、粘度、渗透率、流动的修正系数、时间、距离和压力表示系统中流体的流动。该方程式是非线性的，在没有做进一步简化之前，它只能用数值法求解。对于弱压缩性流体和高压缩性流体的流动方程的简化形式，在下面给出。在常温下的液体（或在高压下的气体），可以处理为小压缩性流体。对于这样的流体，假定为常数是合理的，而（2-18）式是可以利用的。把它代入（2-22）式得： （2-23)该式可整理为下式： （2-24）通常气体是一种高压缩性的流体，而（2-19）式是可以

20、应用的。将代入（2-22）式得： （2-25）对于等温条件，上式可简化为： （2-26）（1）综合的假定前面给出的广义形式的流动方程式，只能用数值法求解。但是，利用一些简化的假定，就能使这个方程式线性化，并对某些边界条件可以得到解析解。这些简化的假定，适用于即将进行的理论推导，现归纳如下：a在推导（2-16）式、（2-17）式、（2-18）式、（2-21）式、（2-24）式和（2-26）式中，普遍假定是等温条件；b在推导（2-12）式过程中，假定忽略重力的影响；c在本文中，假定流体是单相的，已内含在达西定律中，更进一步的假定如下；d介质是均质的，各向同性的和不可压缩的，孔隙度为常数；e流动是层

21、流的，即。对于液体来说，层流的假定是很合适的，但在一些条件下，对于气体就不那么合适了。（2）利用压力表示的液体流动方程式除了（a），（b），（c），（d）和（e）的假设外，对于弱可压缩流（液体或高压气体）还将作如下假定：f渗透率与压力无关；g流体粘度为常数，并与压力无关；h流体的压缩系数很小且为常数；i压力梯度是小的。假定根据条件（h）和（i）可忽略项。当这样做时，（2-24）式右边的第二项变为0。当假定（a）到（i）应用于（2-24）式，对于弱可压缩性流体的流动方程式变为： （2-27）（3）利用压力表示的气体流动方程式将气体作为高压缩流体处理，并应用（a）到（f）的假定，（2-26）式可以

22、写为： （2-28）该式的左边可以展开为： （2-29）把（2-21）式代入（2-29）式得： （2-30）（2-28）式和（2-30）式可以联立，并经整理后得： （2-31）两个不同的方法，包含不同的假定，可以跟在该步骤之后，进一步简化（2-31）式。在这里已做的假定，除（a），（b），（c），（d）和（e）之外，还有以下两种情况：情况1：i条假设压力梯度很小。这意味着，而（2-31）式简化为： （2-32）对于弱可压缩流体的流动，该式与（2-27）式相同。情况2：j条假定等于常数。在这个条件下，（2-31）式又可简化为（2-32）式。（4）利用压力平方表示的气体流动方程式（2-28）式可以

23、展开为几个不同的项，尤其是，注意：和（2-28）和（2-30）式可以联立，并经整理后得 （2-33）为了进一步简化这个方程式，除（a），（b），（c），（d），（e）和（f）假定外，还可做如下一组三个不同的假定：情况1：k条假定的乘积为常数。于是（2-33）式简化为： （2-34）情况2：i条假定压力梯度很小。这意味着。而（2-33）式又简化为（2-34）式。情况3：j条假定为理想气体，以及。气体的粘度为常数，且与压力无关。在这些条件下，（2-28）式简化为： （2-35）注意到，对于理想气体，上面的方程式同样可以由（2-34）式直接推导出来。（5）利用拟压力表示更严格的气体流动方程式在引入拟

24、压力（有时也称为“真实气体势”）的概念之后，在上面提到的那些近似假定就可以避免，并且对于气体流动可以采用更为严格的方法处理。使用可以提供和随压力的变化，而只有（a），（b），（c），（d）和（e）以及（f）假定是需要的（假若已知随压力的变化，（f）的假定可以不要）。假若，拟压力定义为： （2-36）其中是某一特定的参考压力，于是 （2-37）和 （2-38）把（2-30）式改写为： （2-39）并把（2-36）、（2-37）、（2-38）和（2-39）式代入（2-28）式得： （2-40）除了压力和压力平方变量被拟压力代换外，（2-40）式看起来与（2-36）和（2-34）式很相似。但是，必须

25、注意到（2-40）式的推导，没有使用（g），（i），（j），（k）或（l）的任何假定。如前所述，假若渗透率随压力的变化已经知道，适应的一个变换的拟压力定义为： （2-41）使用这个假定，可以得到一个类似于（2-40）式的公式：在计算中，不仅要知道气体的性质和，而且还需要知道作为压力的函数的地层参数。同计算对比，计算在实际上是不方便的，计算仅需要知道气体性质就够了。尽管如此，这一点是清楚的，当需要时，随压力的变化可以包括在拟压力的处理中。2.1.2 一般流动方程式对于“压力”、“压力平方”和“拟压力”的方程式，可以合并为如下的一个一般的形式： （2-42）式中的和对不同的情况解释如下： 压力情况

26、 压力平方情况 拟压力 压力和压力平方情况，使用了在算术平均压力下计算的平均气体性质，或在标准压力下进行计算。对于采气和注气的拟压力情况，使用在原始条件下估计的气体性质。如所希望的那样，（2-42）式可以用直角的，柱状的，或球形的坐标表示。显然，一维表达式和所规定的坐标系有关。例如，在柱状坐标中，方向上的一维流动，就可以表示为直角坐标中，方向上的两维流动。1、直线流动通常在地层中存在有天然裂缝或在井底附近因水力压裂产生的裂缝。在这种情况下，向裂缝的流动为直线流动，也就是说，流线是平行的，而流动的横截面积是常数，见图2-1（a）所示。此种流动也可由（2-43）式表示。该方程式在直角坐标系中是一维

27、的，如式（2-42）的形式。 （2-43）2、径向柱状流动在石油工程中，地层常被理想化地看成为圆形和等厚的，并且井将穿过整个厚度。流动仅考虑为发生在径向的方向，即每个平面上的流线会集于中心点，越靠近中心点，流动的截面积越小。这些流动指向一根共同的轴线并称之为线汇。这种流动模型被称为径向柱状流动。但在石油文献中通常简称为径向流。在图3-1（b）中绘出了这种流动，而在柱形坐标系中，应用的流动方程式是（3-42）式的一维形式，并由下式表示： （2-44）3、径向球形流动对于厚层地层（很大），井并不把整个生产层打开，有时为测量垂向渗透率，在球形坐标系中，（2-42）式的一维形式是有兴趣的。这叫做径向球

28、形流动方程式，并由下式表示： （2-45）径向球形流动意味着，流动是从各个方向流向一个共同的中心点，即一个点汇（或点源）。图2-1（c）绘出了这种流动，而这种流动通常简称为球形流动。2.1.3 一般流动方程式的无因次形式把(2-42)式和有关的边界条件，表示成如下的无因次形式更为方便： （2-46）其中的下标表示无因次量，而对于不同的流动模式，无因次项的定义在表2-2中。表示成这种形式达到了以下三个主要的目标：（1）利用表2-2中、和的适当定义，“压力”、“压力平方”和“拟压力”三种情况都可由（2-46）式表示。因此，仅需一个方程式的解就可用于三种情况。（2）使得所求的解依赖的变量数目为最少。

29、例如，只需要用、和就可以代替原来问题中所具有的变量，和。显然，变量的数目是大大地减少了。（3）（2-46）式等价于热传导场中的标准方程式对该问题已经得到了在不同相关边界条件下的解。这解皆可以直接用于通过多孔介质的流体流动问题。在表2-2中出现的系数是地层流体的体积系数，其定义为：表2-2 用、和表示的无因次量的定义无因次变量流动几何形状气体气体气体液体直线径向-柱状径向-球形直线径向-柱状径向-球形直线径向-柱状径向-球形 在表2-2中最后一列表明，使用“压力”作为自变量处理气体流动，类似于液体流动。两者的无因次项是相同的，但是，对于气体要由代替。两种情况的值是不同的。不同的原因在于，原油的流

30、量是以每天多少桶表示；而气体的流量是以每天多少百万标准立方英尺表示，同样，对于气体的包括和的数值，而和为已知的常数。1、径向柱状流动方程式的无因次形式为了说明来自表2-2无因次项的定义，一维径向柱状流动方程式（2-44）式，对于“压力”被解释为，将与边界和原始条件一起考虑。对于无限大地层一口常数产量的井。控制流动的方程式为： （2-47）该式具有以下的边界和初始条件：a.内边界条件：在井底处的流量为常数（对生产井为正值），由达西定律表示为： （2-48）即 （2-49）而用标准条件时为： (2-50)b.外边界条件：在整个时间内，在外边界（半径为无限大）处的压力和原始压力相同，即当时，对于整个

31、时间， c.初始条件：初始时，在地层内各处的地层压力为常数，即：当时，对于所有处， 在这种情况下，影响（2-47）式解的自变量是，和。令： 无因次半径 于是，（2-50）式变为： （2-51）令： 无因次产量于是，（2-51）式变为： （2-52）令： 无因次压差于是，（2-52）式变为： （2-53）并且（2-47）式变为： （2-54）令： 无因次时间因此，径向柱状流动方程式（2-47）式，现在可以表示为如下的无因次形式： （2-55）该式所用的边界和初始条件如下： ，对于 （2-56），当，对于所有，在，对于所有（2-55）式是（2-47）式无因次形式的解。该方程式现在只包括，和。对于其

32、他流动系数，在表2-2中规定的无因次项，利用，或表示，可以得到与本节相类似的形式。2.2流动方程式的直接解析解到目前为止，对所导出的流动方程式仅能在少数流动几何形状和某些初始及边界条件下获得解析解。在气井的试井中，特别有意义的是，径向柱状流动方程式解的应用。因此，对该方程式比直线流或径向球状流动方程式要做更多的处理。通常，规定井的产量为常数，并具有下面外边界条件之一：（1）无限大地层；（2）无流量通过外边界的有限圆形地层；（3）外边界定压的有限圆形地层。对于具有规则直线边界地层的求解，例如矩形、多边形等等，井处在中心或不在中心，从无限大地层的情况可以得到它的解。求解的方法是把空间的“叠加原理”

33、用于“镜象法”的形式。对于不规则边界的地层，只能由下面两种方法求解。一是选择合理的直线边界做近似拟合，从而利用镜象法来处理问题。另一种是利用有限差分技术的数值法求解。对于气井的试井，气井产量为常数的条件更为有用。该情况下面称为常数产量情况。然而，一个变产量保持定压生产的井，也可以利用在以后所提出的叠加原理。2.2.1无限大地层和常数产量的径向柱状流动如前所述，在气井试井中，最为感兴趣的是径向柱状流动。对于这种情况，使用3.1节中的无因次变量形式，如在前一节中所做的那样，经过某些简化假定，可以导出流动方程式。这样，（3-55）式重写如下： （2-57）现在求解的问题是，从一个无限大地层中，气体以

34、常数产量向井底做径向柱状流动。该情况的边界和初始条件为：1、 井的产量为常数，由(2-53)式： 对于 （2-58）一个简化的假定，可以得到几乎是等价的结果。这只要用一个线汇代替半径为的井即可，于是边界条件变为： 对于 （2-59）2、在整个时间内，外边界处的压力等于原始地层压力，即：，（当时，对于所有时间）3、 在初始条件地层中各处的压力是相同的，即：，（在，对于所有时间）Boltzman (波尔兹曼)变换用于（2-22）式，简化为一个常微分方程式。然后由分离变量和积分求解，并用到上面的三个条件，其结果为： （2-60）或 （2-61）式中的为指数积分函数，定义为： （2-62）式中的是一个

35、虚拟积分变量。而指数积分值可由数学函数表求得。但用级数展开，可以得到如下的方便形式： （2-63）在计算中所需项的多少取决于的量级和精确度的要求。当值小于0.01时，指数积分函数可近似等于 对于 （2-64）当时，指数积分函数近似等于0。在图2-2上给出了函数的图形。因此，对于，即时，（2-60）式可变为： 对于 （2-65）或 对于 （2-66）,和按所要求适当地代入表2-2，可以做到代替无因次变量和。此方程给出了整个油藏的无因次压力、无因次半径、无因次时间的关系。通常，最有意义的是井的位置，在这里。在这位置对径向柱状流动方程式（2-57）的解，已经给出了一个特定t的名称，。表示无因次项，它

36、就是在井处的值(排除惯性湍流和井壁阻力影响)。随边界条件变化，但是对于无限大地层的常数产量情况，由下式表示： （2-67） （2-68）利用对数近似，由（2-66）式得 对于 （2-69）2.3 流动方程式的进一步解析解2.3.1 叠加原理当描述流动的微分方程和边界条件都是线性时，数学上的叠加原理就能用来把复杂的解简化成一系列相对简单的单个解。这个原理的基本内容是：假若是一个齐次、线性、偏微分方程的解，且,.等等是已知的特解，那么： （2-70）式中的,.等等是满足边界条件的常数。当边界条件与时间无关时（例如定产），叠加原理表明了一个边界条件的出现不会改变由其他边界条件或初始条件所产生的响应，

37、即各个响应之间不会发生相互干扰。因而，总的影响就是每个单独影响之总和。当边界条件与时间有关时(例如变产量)，叠加原理的一个推广，通常称为杜哈美原理可以被使用。叠加原理可以从解答基本问题的角度来考虑，那就是任一位置、任一时刻的压力动态，被考虑成是在该点上对解有影响的单个历史的相加。叠加原理在压力测试资料分析中的特殊应用是重要的。1、时间叠加上面说明的叠加原理，使我们可以利用常数产量的解去分析变产量的问题。例如，假定以常数产量生产了时间，然后又以常数产量生产了时间。在第一个时间间隔内，用表示的井底生产压差为：注意：由或代换也许更为适当。而括号意味着是一个函数。这个解可以一直应用到时间，此后解由两部

38、分组成：（1）自时间开始，是由于初始产量引起的结果；（2）自时间以后，是由于产量变化引起的结果。因此，对于有： （2-71）对于有： （2-72）同样的道理可以适用于改变产量的任意次数，甚至也包括一些关井情况（产量为零）。从基本解的简单叠加，就可以得到压力的动态。这些基本解都要在一个新的产量开始时进行运算。这些基本解是建立在产量变化基础上的。在图2-4中描述了叠加原理。在小于的任一时间，应该得到在产量下时间的井底压力。在和之间的某一时间，应当由在产量下时间得到的压力，加上在产量下时间得到的压力。在大于的任一时间，应是在产量下时刻的压力，加上在产量下时间得到的压力，再加上在产量下时间得到的压力。

39、2、空间叠加当不止一口井同时从一个地层中生产时，比如说是两口井，井的产量为，井的产量为。在地层内任一点的压力是两口井的共同影响。于是在地层内点的压力是由井形成的解加上由井形成的解而得到。为了求得地层内任一处的压力动态，要求这些解的每一个是相互独立的，也就是说，偏微分方程式的通解并不仅只能求解井底条件。还能求解其它的点，因此， （2-73）式中 点到井的距离；点到井的距离；。这是用于确定地层特性（例如井间的孔隙度等）的“干扰”试井的基础。在这样的试井中，点实际上是一口观察井，而其他生产井的干扰是在点测量的。3、镜象法在无限大地层中有两口井以相同的产量生产，在两口井之间一半的地方存在一个无流动边界

40、。假若一口井是生产井，而另一口井是注水井，则两口井之间一半的地方将是一条定压边界。这样就提出了边界的影响可以被模拟为由一口适当的“镜象井”代替。镜象法实际上是当井处于边界附近时，叠加原理的一个特别有效的应用。采用这种方法，边界可以被一个奇的或偶的象井所代替。奇或偶依赖于边界条件而定，并且在模拟边界条件时，实际井和象井的解需要叠加。在解决非圆形地层和位于断层附近井的流动方程时，可以证明使用镜象法的叠加是十分有效的。4、时间与空间的同时叠加空间和时间的解可以同时叠加，例如干扰试井中的观察井，能够保持它前段时间持续的压力影响，比如说关井后的压力恢复。另一个例子是，在边界附近有一口井，以变产量生产，在

41、任何一种情况下，由位置和生产历史引起的单个影响，在空间和时间两个方面可以同时叠加，则可给出在观察井点所产生的压力动态。考虑有A，B两口井处在同一地层中的情况，井以产量生产到时间，然后产量变为。井以产量生产到时间，然后产量变为。在时间内地层任一点的压力由下式给出：5、叠加分解有些时候唯一可测量的影响就是叠加影响。例如当一口井从时刻起关井，在时刻测量井底压力恢复。实际上关闭的压力是两部分叠加之和。一个是在时间由产量引起的压降，而另一个是在时间由产量改变为引起的压复。假若这两部分之一已经知道，那么另一部分就可以从测量影响的已知部分经叠加分解而得到。该方法的一个重要应用是能够利用压降方法去分析压力恢复

42、问题。2.3.2 屏障附近的井假设一口井，处于距无流动屏障距离为的位置，并以常数产量生产。该系统可以这样处理，虚拟一口与真实井相同的井，从而起到代替屏障的作用。该井处于距真实井距离为的位置，见图2-5因此，真实井的压力历史，将是无限大作用井在井点的压力历史，加上在点上无限大作用井在点的影响，即： （2-74） 对于整个实际的时间，由于圆括号内的自变量通常小于0.01因此第一个函数项可以由（2-69）式近似表示。由于在自变量中有（此数一般很大）的存在，故第二个函数项就不能用（2-69）式近似，故得 （2-75)第3章 天然气藏气井的稳定试井3.1 基本方程式为了得到适用于产能试井的方程，在本章中

43、进一步发展了第三章中有关的理论研究。近似程度各异的两种不同的处理方法被用来解释这种试井。这两种方法被称为“简单分析”和“流动分析”。3.1.1 简单分析关系式一般表达为： （3-1）式中 标准条件下产量；关井到完全稳定时得到的平均气藏压力；井底流动压力；描述稳定产能直线部分的系数；描述稳定产能直线斜率倒数的指数。应注意的是，上面方程中的是由常产量得到的稳定井底流动压力。如果压力没有稳定，值将随着生产时间减小，但最终变为稳定时的固定常数。如图3-1所示，与在双对数坐标上是一条斜率为的直线。该图被用来求得任意井底压力下的气井产能，其中包括井底压力为零时的绝对无阻流量。对于一个有限的产量范围内，和可

44、以考虑为常数，并且要求这种形式的产能关系只用于试井期间所采用的产量范围。外推超出试井的产量可能导致错误的结果。3.1.2 流动分析1、压力平方方法由于其近似性质，方程（3-1）的使用受到了限制。图3-1中的直线只是近似地适用于试井产量的有限范围。如果绘在双对数坐标上，真正的关系是一条曲线。当值很小时，其初始斜率；而当值很大时，其最终斜率。一般都使用二项式流动方程，又时称为湍流方程。实际上它是第三章中的层流惯性湍流（）流动方程，通过进一步推导给出： （3-2）式中 由于层流和井筒影响造成的压力平方降；由于惯性湍流影响造成的压力平方降。方程（3-2）适用于所有的值。方程（3-1）仅是方程（3-2）

45、在的有限范围内的一种近似。在推导方程（3-2）时，对井和气藏都假设为一种理想情况。在解释试井结果时，了解这种假设的适应性和范围是重要的。有时一些异常结果可以用与理想情况的偏差来解释。因此把第三章中明确规定的那些假设概述如下：（1）整个气藏都处于等温条件下；（2）忽略了重力影响；（3）流动的流体是单相的；（4）介质是均质的和各向同性的，并且孔隙度是常数；（5）渗透率与压力无关；（6）流体粘度和偏差系数是常数，偏差系数和压力梯度都是很小；（7）径向柱面流动模型是适用的。2、压力方法因为这个方法很少用来分析产能试井，由类似于压力平方方法那样的步骤，可以看出： （3-3）式中 由于层流和井的影响造成的

46、压力降；由于惯性湍流流动影响造成的压力降。方程（3-3）的应用也由于列在压力平方方法中的那些假设而受到限制。3、拟压力方法上面提到的假设（6）可以引起严重的误差，特别是在压力梯度较大的致密气藏中的气体流动。第三章已经指出，如果不用压力平方方法或压力方法，而使用拟压力方法，那么就不需要假设（6），并且得到的方程在整个压力范围内比方程(3-2)或方程(3-3)都更为严格。 （3-4）式中 对应于的拟压力；对应于的拟压力；由于层流和井的条件造成的拟压力降；由于惯性湍流流动影响造成的拟压力降。在气藏温度下对于一种特定气体，作出一条与的关系曲线。然后利用这条曲线把换算到，并且反过来也一样。这样就可以使用

47、来代替或作为工作变量。一旦作出了曲线，这个方法就变得象方法那样容易。当反映常产量所造成的稳定压力时，它不再随着生产时间增加，而固定为一个不变的稳定值。与的关系曲线在直角坐标中将给出一条向上凹，通过原点的曲线。这条曲线的初始斜率为1，它对应于层流；而在产量很高时，斜率增加到2，这反映了湍流。因此，当外推很多时，将发现从这条曲线上与从简化分析的直线上得到的值有较大的差别。为了得到一条与图3-1相一致的曲线，舍弃直角坐标图而采用方程（3-4）的双对数曲线。如图3-2所示，作出与的关系图可以得到一条直线。选择了这种特定的方法后，纵坐标就表示由于层流影响所造成的拟压力降。这样和简化分析的概念就一致了。对

48、于特定的值，求解二次方程（3-4），可以得到任一井底压力下井的产能： （3-5）象简化分析中和一样，流动分析中和同样取决于气体和气藏的性质，只是粘度和偏差系数除外。在到的换算中考虑了这两个变量，因此将不会影响产能关系式中的常数和。由此可见，稳定的产能方程(3-4)或者它的图解表示法比方程（3-1），（3-2）或（3-3）更适用于气藏的整个开采期。3.2 稳定流常数的确定在井上进行产能试井，其中就是要确定稳定流量的常数值。根据产能数据，由几种方法适用于计算简化分析的和以及流动分析的和。3.2.1 简化分析与的双对数坐标关系曲线在整个试井产量范围内应是一条直线。这条稳定产能直线的斜率是，根据这个斜

49、率可以算出。然后按下式求得方程（3-1）中的系数： （3-6）3.2.2 流动分析1、图解法这个方法利用了Willis制作的“通用曲线1-10”，这些通用曲线表示在图3-3中。在讨论通用曲线方法的使用之前，应清楚地了解它拟制的细节。当时，方程（3-4）可以写为： （3-7）图3-3是与的双对数坐标曲线。这幅图中的直线由下列方程表示： （3-8）和 （3-9）如果对于同样的值，再划上方程（3-8）和（3-9）的关系图，得到的图就是通用曲线。为了区别于数据图，以后称图3-3为产能图。为了确定和，在与图3-3同样大小的对数坐标中绘上实际数据。把这条稳定的产能数据图放到通用曲线上面，并且保持两幅图的坐

50、标轴互相平行。当数据涂上的点与通用曲线拟合最佳时，就确定了它的位置。现在稳定产能图就是通用曲线的一条轨迹。产能图上直线与方程（3-8）给出的直线相交，在产能图上直接读这个交点的就是值。方程（3-9）给出的直线与产能图上直线相交，在产能图上直接读这个交点的就是值。如果要读值的点不是与产能图上直线的交点，则可以代之读等于10或100，然后必须分别除以10或100，以给出正确的值。同样，当等于10或100时，也可以读得，然后必须分别除以或。这个方法的优点是能够迅速地分析产能数据，但是仅当得到的数据可靠时才能使用。上面的步骤可以应用于常规试井中取得的数据，用以给出一条稳定的产能曲线。但是，对等时试井数据将给出一条不稳定的产能曲线。为了得到稳定的产能曲线，应该记住值与生产时间是无关的，并且对稳定的和不稳定的产能关系式都必须是一样的。因此，移动通用曲线，使它通过稳定流点，并保持从不稳定产能曲线得到的值不变。图3-3中通用曲线也可以用于方法。使用方法和上面叙述的一样，只是现在拟合的是方程（3-2），而不是方程（3-4）。3.3 涉及到稳定流动的试井在上