勾股定理综合难题附答案(超好打印版)精编版

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1、练习题1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少 ?2 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm 的正方形 . 现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 ?答案 AB=5BBCAA DCBCACB3、一只蚂蚁从棱长为1 的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_。4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm，?长 BC?为 10cm当小红折叠时，顶点D 落在 BC 边上的

2、点 F 处（折痕为 AE ）想一想，此时 EC 有多长？ ?5如图，将一个边长分别为4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，AD使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（）A 3B4C 5D 5EBF C6已知：如图，在 ABC 中， C=90°， B=30°，AB 的垂直平分线交 BC于 D，垂足为 E，D=4cm求AC 的长FADBCECD7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为8、如图，在矩形 ABCD 中， AB 6, 将矩形 ABCD 折叠，使点

3、B 与点 D 重合， C 落在 C 处，若 AE：BE 1：2，则折AEB痕EF的长为。19、如图，已知：点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对角线 DB 上，则 EBCE_10、如图， AD 是 ABC 的中线， ADC 45o，把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，若BC 2，则 BC _ABCFAEDC题5图BDC11如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC 6cm，BC8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（）AA.2cmB.3 cmC.4 cmD

4、.5 cmEBCD图 112、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边 AC 沿 CAB 的角平分线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？CDBA13、如图，在 ABC 中， B= 90， AB=BC=6 ，把EABC 进行折叠，使点 A 与点 D 重合， BD:DC=1:2 ，折痕为 EF，A点 E在 AB 上，点 F 在AC 上，求 EC的长。F14已知，如图长方形 ABCD 中， AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，E使 点B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 ABE 的面积为（）B DCA 、6cm2

5、B、 8cm2C、10cm2D、12cm2AEDBFC第11题图15如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB 3，AD 9，求 BE 的长2DACB16、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD 的面积。17、如图，已知：在ABC 中， ACB 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等18如图 8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 (不与 A 、D 重合 )，在 AD 上适当移动三角板顶点P：能否使你的三

6、角板两直角边分别通过点B 与点 C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由图 821能 .设 AP x 米，由于 BP2 16+x2，CP216+(10 x)2，而在 RtPBC 中，有 BP2+ CP2BC2，即 16+x2+16+(10x)2100，所以 x2 10x+160，即 (x 5)29，所以 x5± 3，所以 x8， x 2，即 AP8

7、 或 2，能 .仿照可求得 AP4.19.如图 ABC 中， ACB90 , AC12, BC5, ANAC , BMBC则MN= 420、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（）（A ） d2S 2d（B） d 2S d（C） 2 d 2S 2d（D） 2 d 2S d3解:设两直角边分别为 a,b ,斜边为 c ,则 cS1 ab2b2c2.2d ,2. 由勾股定理 ,得 a所以 a2a22ab b2c24d 24S .b4S所以 a b2 d 2S .所以 abc2d 2S 2d .故选（ C）在ABC 中, AB AC1 BC 边上有 2006 个不同的点

8、 P1, P2 ,L P2006,21,mAP2BP PC i1,2, L 2006,则 m1m2L m2006 =_.记 iiii22如图所示，在Rt ABC 中 ,BAC90 , ACAB,DAE45 ,且 BD 3 ,CE4,求 DE 的长.23、如图，在 ABC 中， AB=AC=6 ， P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值。ABCP、如图在RtABC中,C 90 ,AC 4,BC 3，在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三24角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示：4要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明

9、拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）25如图， A 、B 两个村子在河 CD 的同侧， A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水， 铺设水管的费用为20000 元 /千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。26已知：如图， ABC 中， C = 90 ，°点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OE AC， OF AB ，点 D、E、F 分别是垂足，且 BC = 8cm，

10、 CA= 6cm，则点 O 到三边 AB ，AC 和 BC 的距离分别等于cmACDEOABFBC第26题图P中，为第 28题图×。27（8 分）如图，在 ABCAB=ACPBC上任意一点，请说明：AB2AP2=PBPC、如图，已知：C 90 ，AMCM，MPAB 于 P求证： BP 2AP 2BC 228BPCAM529（本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 .他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河北牧童A东B 小屋30. （本题满分 6 分）如图所示，

11、某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.2.6m4m31在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?32在平静的湖面上， 有一支红莲， 高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米 ?33长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角， 作业时调整

12、为 60°角 (如图所示 )，则梯子的顶端沿墙面升高了 _m34已知：如图， ABC 中， C90°，D 为 AB 的中点， E、 F 分别在 AC 、BC 上，且 DE DF求证： AE 2 BF2 EF261CB35已知：如图，在正方形ABCD 中， F 为 DC 的中点， E 为 CB 的四等分点且CE 4，求证： AF FE36已知 ABC 中，a2 b2c2 10a 24b26c338，试判定 ABC 的形状，并说明你的理由37已知 a、b、c 是 ABC 的三边，且 a2c2 b2c2a4 b4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3

13、cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?39、a、b 为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a2b2、 a2+b2 的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为 (a b) 2 c 2 2ab ,则这个三角形是 ( )（A ） 等边三角形（ B） 钝角三角形（C） 直角三角形（D） 锐角三角形 .41.（ 12 分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方CAD第24题图向 100km 的 B 处有一台风中心， 沿 BC 方向

14、以 20km/h 的速度向 D 移动，已B知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形7区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？（14分） ABC中，BCa ， ACb ， ABc ，若 C=90°，如图（ 1），根据勾股定理，则42.a 2b2c 2，若 ABC 不是直角三角形， 如图（2）和图（3），请你类比勾股定理， 试猜想 a 2b2与 c 2的关系，并证明你的结论 . 解：若 ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2>c2若

15、ABC 是钝角三角形， C 为钝角，则有 a2+b2<c2当 ABC 是锐角三角形时，证明：过点 A 作 AD CB，垂足为 D。设 CD 为 x，则有 DB=a x根据勾股定理得b2 x2 c2 (a x)222222222即b x caa b c 2ax2axx a>0，x>0 2ax>0 a2+b2>c2 当 ABC 是钝角三角形时，43（10 分）如图， A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 10 7 千米 / 时的速度向北偏西 60°的 BF 方向移动，距台风中心 200?千米范围内是受台风影响的区域（ 1）

16、A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（ 2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）A h17cmB h8cmC15cmh16cmD7cmh16cm45 如图，已知：，于 P.求证：.846【变式 2】已知：如图， B=D=90°， A=60°， AB=4 ，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂

17、，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 ?（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC ， D 是斜边 BC 的中点， E、F 分别是 AB 、 AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12， CF=5求线段 EF 的长。50 如图，在等腰 ABC 中， ACB=90°， D、E 为斜边 AB 上的点，且 DCE=45°。求证： DE2=AD 2+BE2。CCAFBBCBADEADED51 如图，在 A BC 中， AB=13,BC=14,A C=

18、15 ，则 BC 边上的高 A D=。52 如图，长方形 ABCD 中， AB=8 ，BC=4，将长方形沿 AC 折叠，点 D 落在点 E 处，则重叠部分 AFC 的面积是。9DCAAAFBEBDCBDC53 在 ABC 中， AB=15 ,AC=20,BC 边上的高 A D=12，试求 BC 边的长 .54 在 A BC 中， D 是 BC 所在直线上一点，若 AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17 ，求 ABC 的面积。55. 若 ABC 三边 a、b、c 满足 a2b2c2338=10a+24b+26c，ABC 是直角三角形吗？为什么？56. 在 ABC 中，BC=1997，AC=1

19、998，AB 2=1997+1998，则 ABC 是否为直角三角形？为什么？注意 BC、 AC、 AB 的大小关系。 AB BCAC 。AB2+BC2=1997+19972+1998=1997×（ 1+1997）+1998=1997×1998+1998=19982= AC2。57. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1 处，如图，已知长方形长 6cm，宽 5 cm，高 3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形的表面向上爬，它要从 A 点爬到 C1 点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你

20、能帮蜘蛛求出最短距离吗？1058.木箱的长、宽、高分别为 40dm、30dm 和 50dm，有一 70dm 的木棒，能放进去吗？请说明理由。59. 已知 ABC 的三边 a、b、c，且 a+b=17，ab=60， c=13, ABC 是否是直角三角形？你能说明理由吗？160. 如图， E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，延长 AB 到 F，使 BF= 4 AB ，那么 FE 与 FA 相等吗？为什么？61. 如图， A=60°, B= D=90°。若 BC=4，CD=6，求 AB 的长。62如图， xoy=60°， M 是 xoy 内的一点，它到ox 的距

21、离 MA 为 2。它到 oy 的距离为 11。求 OM 的长。11带答案版的用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。图（ 1）中，所以。方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。图（ 2）中，所以。方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（ 3） 1 和（ 3） 2 所示的两个形状相同的正方形。在（ 3） 1中，甲的面积 =（大正方形面积）（ 4 个直角三角形面积） ,在（ 3） 2中，乙和丙的面积和 =（大正方形面积）（ 4 个直角三角形面积） ,所以，甲的面积 =乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（ 4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯

22、形。12，所以。练习题1 如图，圆柱的高为 10 cm，底面半径为 2 cm.，在下底面的 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处，需要爬行的最短路程是多少 ?2 如图，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm 的正方形 . 现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 ?答案 AB=5BBCAA DCBCCBA3、一只蚂蚁从棱长为1 的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到 D 点，那么它所行的最短路线的长是_。4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽 AB 为 8cm，?长 BC?为 10cm当小红折叠时，顶点D

23、落在 BC 边上的点 F 处（折痕为 AE ）想一想，此时 EC 有多长？ ?5如图，将一个边长分别为4、8 的长方形纸片 ABCD 折叠，AD使 C 点与 A 点重合，则 EB 的长是（）A 3B4C 5D 5EBF C6已知：如图，在 ABC 中， C=90°， B=30°， AB 的垂直平分线交 BC于 D，垂足为 E，D=4cm求AC 的长FADBC E137、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使其落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为CDAEB8、如图，在矩形 ABCD 中， AB6,

24、将矩形 ABCD 折叠，使点 B 与点 D 重合， C 落在 C 处，若 AE：BE1：2，则折痕 EF 的长为。9、如图，已知：点 E 是正方形 ABCD 的 BC 边上的点，现将 DCE 沿折痕 DE 向上翻折，使 DC 落在对角线 DB 上，则 EBCE_10、如图， AD 是 ABC 的中线， ADC 45o，把 ADC 沿 AD 对折，点 C 落在 C的位置，若BC 2，则 BC _ABCFAEDC题5图BDC11如图 1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC 6cm，BC8cm，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（）AA.2cmB

25、.3 cmC.4 cmD.5 cmEBCD图 112、有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm,BC=8cm, 现将直角边 AC 沿 CAB 的角平分线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？CD、如图，在90BEAABC 中， B=， AB=BC=6 ，把13ABC 进行折叠，使点 A 与点 D 重合， BD:DC=1:2 ，折痕为 EF，A14FEBDC点 E在 AB 上，点 F 在AC 上，求 EC的长。14已知，如图长方形ABCD 中， AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF，则 ABE 的面积为

26、（）A 、6cm2B、 8cm2C、10cm2D、12cm2AEDBFC第11题图15如图，将矩形ABCD 沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合，已知 AB 3，AD 9，求 BE 的长DACB16、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD 的面积。17、如图，已知：在ABC 中， ACB 90 ，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等18如图 8，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上 (不与 A 、D 重合 )，在 AD 上适当移动三角板顶点

27、P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点 C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由图 821能 .设 AP x 米，由于 BP2 16+x2，CP216+(10 x)2，而在 RtPBC 中，有 BP2+ CP2BC2，即 16+x2+16+(10x)2100，所以 x2 10x+160，即 (x 5)29，所以 x5± 3，所以 x8， x

28、2，即 AP8 或 2，能 .仿照可求得 AP4.1519.如图 ABC 中， ACB90 , AC12, BC5, ANAC , BMBC则MN= 420、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为 d ，则这个三角形周长为（）（A ） d2S 2d（B） d 2S d（C） 2 d 2S 2d（D） 2 d 2S d解:设两直角边分别为 a,b ,斜边为 c ,则 cS1 ab2b2c22d ,2. 由勾股定理 ,得 a.所以 a2a2b2c24d 24S .b2ab4S所以 ab 2d 2S .所以 abc 2d 2S2d .故选（ C）在ABC 中, AB AC 1,BC 边上有 200

29、6 个不同的点 P1 , P2,L P2006,21mAP2BPPC i1,2, L 2006,则 m1m2L m2006 =_.记 iiii解:如图 ,作 ADBC于D,因为 AB AC1,则 BDCD .由勾股定理 ,得 AB 2AD 2BD 2, AP2AD 2PD2所以.AB2AP2BD 2PD 2BDPDBDPDBP PC所以 AP2BP PCAB 212.因此 m1m2 L m20061220062006 .如图所示，在 RtABC中,BAC 90 , AC AB, DAE 45,且 BD3,2216CE4,求 DE 的长.解:如右图：因为 ABC 为等腰直角三角形 ,所以ABDC

30、 45.所以把AEC 绕点 A 旋转到AFB ,则 AFBAEC .所以 BFEC 4, AFAE,ABFC45连结 DF.所以 DBF 为直角三角形 .由勾股定理 ,得 DF 2BF 2BD 2423252.所以 DF5 .因为 DAE 45 ,所以DAFDABEAC 45 .所以 ADEADF SAS .所以 DEDF5 .23、如图，在 ABC 中， AB=AC=6 ， P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识试求 PC·PB+PA2 的值。ABCP24、如图在 RtABC 中 ,C90 , AC4, BC3 ，在 RtABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一

31、个等腰三角形。如图所示：要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用 0.5mn 的黑色签字笔画出正确的图形）17解：要在 Rt ABC 的外部接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。1025如图， A 、B 两个村子在河 CD 的同侧， A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边 CD 上建一水厂向 A、B 两村输送自来水， 铺设水管的费

32、用为20000 元 /千米，请你在 CD 选择水厂位置 O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。26已知：如图， ABC 中， C = 90 ，°点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点，ODBC，OE AC， OF AB ，点 D、E、F 分别是垂足，且 BC = 8cm， CA= 6cm，则点 O 到三边 AB ，AC 和 BC 的距离分别等于cmACDEOABFBPC第26题图中，为第 28题图×。27（8 分）如图，在 ABCAB=ACPBC上任意一点，请说明：AB2AP2=PBPC、如图，已知：C 90 ，AMCM，MPAB 于 P求证： BP 2AP

33、 2BC 22818BPCAM29（本题满分 6 分）如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家 .他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河北牧童A东B 小屋30. （本题满分 6 分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4 米，宽 2.8 米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.2.6m4m31在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 米处的池塘的 A 处；另一只爬到树顶 D 后直接跃到

34、A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?32在平静的湖面上， 有一支红莲， 高出水面 1 米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2 米，求这里的水深是多少米?33长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角， 作业时调整为 60°角 (如图所示 )，则梯子的顶端19沿墙面升高了 _m34已知：如图， ABC 中， C90°，D 为 AB 的中点， E、 F 分别在 AC 、BC 上，且 DE DF求证： AE 2 BF2 EF21 CB35已知：如图，在正方形ABCD 中， F 为 DC 的中点， E

35、 为 CB 的四等分点且CE 4，求证： AF FE36已知 ABC 中，a2 b2c2 10a 24b26c338，试判定 ABC 的形状，并说明你的理由37已知 a、b、c 是 ABC 的三边，且 a2c2 b2c2a4 b4，试判断三角形的形状38如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点 B，那么所用细线最短需要多长 ?39、a、b 为任意正数，且a>b，求证：边长为2ab、 a2b2、 a2+b2 的三角形是直角三角形40.

36、 三角形的三边长为 (a b) 2c 22ab ,则这个三角形是 ( )（A ） 等边三角形（ B） 钝角三角形（C） 直角三角形（D） 锐角三角形 .41.（ 12 分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方CAD20第24题图B向 100km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以 20km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险， 正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？（14分） ABC中，BCa ，

37、 ACb ， ABc ，若 C=90°，如图（ 1），根据勾股定理，则42.a 2b2c 2，若 ABC 不是直角三角形， 如图（2）和图（3），请你类比勾股定理， 试猜想 a 2b2与 c 2的关系，并证明你的结论 . 解：若 ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2>c2若 ABC 是钝角三角形， C 为钝角，则有 a2+b2<c2当 ABC 是锐角三角形时，证明：过点 A 作 AD CB，垂足为 D。设 CD 为 x，则有 DB=a x根据勾股定理得b2 x2 c2 (a x)2即22222222bx ca2axxa b c 2ax a>0，x>0 2ax

38、>0 a2+b2>c2 当 ABC 是钝角三角形时，43（10 分）如图， A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 107千米 /时的速度向北偏西60°的 BF 方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域（ 1） A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（ 2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为15cm，高 8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则 h 的取值范围是（）A h17cmB h8cmC15cmh16cmD7c

39、mh16cm45 如图，已知：，于 P.求证：.21思路点拨 : 图中已有两个直角三角形， 但是还没有以 BP 为边的直角三角形 . 因此，我们考虑构造一个以 BP 为一边的直角三角形 . 所以连结 BM. 这样，实际上就得到了4 个直角三角形 . 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结 BM ，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.又（已知），.在中，根据勾股定理有，.46【变式 2】已知：如图， B=D=90°， A=60°， AB=4 ，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或

40、延长 AB 、 DC 交于 F，或延长 AD 、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD 、BC 交于 E。 A= 60°， B=90°， E=30°。 AE=2AB=8 ，CE=2CD=4，BE222 22，=。=AE-AB =8 -4=48 BE=DE2 = CE2-CD2=42-22=12， DE=。S 四边形 ABCD =SABE -S CDE=AB ·BE-CD·DE=47【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车

41、能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH 如图所示，点 D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H解： OC1 米(大门宽度一半 )，OD22 0.8 米 （卡车宽度一半）在 RtOCD 中，由勾股定理得：CD .米，C . . .（米） .（米）因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门48、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN 30°，点 A 处有一所中学， AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方

42、向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A ，实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m, 小于 100m 则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。（ 2）要求出学校受影响的时间， 实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。 因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析：作 AB MN ，垂足为 B。在 RtABP 中， ABP 90°， APB 30°， AP160， AB AP

43、 80。 （在直角三角形中， 30°所对的直角边等于斜边的一半）点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么 AC 100(m)，由勾股定理得：BC2 1002-8023600, BC60。同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么， AD 100(m)，BD 60(m), CD 120(m)。拖拉机行驶的速度为: 18km/h 5m/st 120m÷5m/s24s。答：拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。（一）转化的思想方法我们在求