更新过程硕士

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1、更新过程及理论更新过程及理论关键词：更新函数，关键词：更新函数， 极限定理，极限定理， 更新报酬过程，更新报酬过程， 再生过程再生过程( ) 00,A( ),0N tttN t t以表示在时间间隔内出现得质点数(事件 发生次数）是一状态取非负整数、时间连续的随机过程，称为计数过程。定义：定义：泊松过程泊松过程称计数过程称计数过程N(t),t0为具有参数为具有参数00的泊松过程，若它满足下列条件：的泊松过程，若它满足下列条件： N(0)=0N(0)=0； N(t)N(t)是独立增量过程；是独立增量过程；1.1. 在任一长度为在任一长度为t t的区间中，事件的区间中，事件A A发生的次数服从参数发

2、生的次数服从参数0的泊松分布，的泊松分布，即对任意即对任意s,t0，有，有()N()N( ),0,1,!nttPtssnenn回顾 泊松过程1 引言与基本定义引言与基本定义 定理一：强度为的泊松流(泊松过程)的点间间距是相互独立的随机变量，且服从同一指数分布。 10 1,2, 0,1 0,1,2,0 0iiiitiXiXSSiSiietXftX it记称为相继出现的第个质点和第 个质点的点间间距。的概率密度为： 即服从同一个指数分布。定理二：如果对于计数过程任意相继出现的两个质点的点间间距Xn是相互独立，且服从同一个指数分布： 00 0tetf tt则计数过程构成强度为的泊松过程0,iijjS

3、Xn服从分布。. 110),(nnnXttNn时间，个事件（质点）之间的个和第记这个过程的第是一个计数过程，而以令12, ( ),0XXN t t 定义1：如果非负随机变量列是独立同分布的，那么计数过程称为更新过程。FF理解：一个更新过程，其直到第一个事件发生的时间具有某个分布 ，第一个和第二个事件之间的时间独立于的一个事件的时间，且具有相同分布 ,以此类推，当一个事件发生时，我们说发生了更新。自然延伸自然延伸更新过程更新过程( )( ),0N ttN t t 举个例子：假设有无穷多个灯泡，它们的寿命是独立同分布的。当一个灯泡失效后，立刻换上新的。若表示直到时间 为止失效的灯泡个数，则是一个更

4、新过程。1XnX1S2X2S1nSnS0nniiSX(0)(0)1, 10nnFFP XE Xn以记到达间隔分布，假设，令是相继更新之间的平均时间，显然。( )tN t对于 的某个（有限的结论）值，必一：定有限。, 0nnSnnnS 证明：由强大数定律，以概率1当时因为，当时，必趋向于无穷。.ntnSt因此，对于有限值 ，至多只有有限个 ，使( )sup :,( )nN tn StN t因为，所以必有限。结论得证。 ( ) ( )lim( )ttN tNN t 结论或当时，二：11()(), 0nnnnnNP NP XnPXP X 证明：因为使更新总数有限的唯一方法是有一个来到间隔无穷大，所以

5、 对某个2 2 N(t)的分布的分布( )nN tnStnntt更新过程中，即时间t之前的更新次数大于等于 当且仅当第 次更新发生在时间 或 之前.1 ( ) ( ) ( )1nnP N tnP N tnP N tnP StP St因此 1inniniXFSXFnF随机变量独立，且具有相同分布 ，由此推出与 的 次卷积 同分布，得到1( )( )( )nnP N tnF tFt说明：更新过程由到达间隔分布确定。1( )( )( )( )nnm tN tm tE N tF t进而可以计算的均值,1( )1 n0,t0 nnnN tII证明：若第 次更新发生在内其中其它11111( )1( )nn

6、nnnnnnnnE N tEIE IP IP StF t因此，( ) m tt 结论一对于一切：，01,00nnP XP X证明：因为由概率的连续性可知存在一个，使得。12,10( )sup :nnnnnXnXXXN tn XXXt定义一个关连的更新过程如下：，若，若且令。0,1,2,1 ntnnP X易知此更新只能在时刻处发生，且这些时刻的更新次数是独立的几何随机变量，其均值为( /1)( ) ntE N tP X 于是( )( ) nnXXN tN t且因，意味着，结论得证。0 ( )( )() ( ) tm tF tm tx f x dx更新函数的积分方程：结论二：10( ) ( )(

7、)| ( ) m tE N tE N tXx f x dx证明：对首次更新时间取条件，可得11() ( )|0 E N txxtE N tXxxt由于更新过程概率地在一次更新发生后重新开始，可得若若000( )( )(1() ( )(1() ( ) ( )() ( )tttm tm tE N txf x dxm txF tm txf xf x ddxx的表达式转称为更化为：新方程。1(0,1)例：若到达间隔分布遵循上的均匀分布，利用更新方程求更新函数表达式。00( )()( ) ()ttm ttm tx dx tm y dyytx 解：=令( )1( )m tm t 两端求导：( )1( )(

8、 )( ) ln ( )h tm th th th ttC 令，易得：或 ( ) ( )1tth tKem tKe得：或 (0)0,1,( )1tmKm te由可得得到3 3 若干极限定理若干极限定理( )( )( )limttN tN tN tt 前面已得当时，感兴趣的是趋于无穷的速度，即了解的情况。( )( ) 1( )( )1,N tN tN tN tSSSttSt先引入两个记号：和其中表示时刻 之前或在时刻 最后一次更新的时刻；表示时刻 之后第一次更新的时刻；( )1 tN tt 以概率1：，1时，题当命( )( ) 1( )( ) 1 (1)( )( )( )N tN tN tN t

9、StSSStN tN tN t 证明：由于 ， 可见( )( )1( )( )/( )( )( )N tN tiiN tSN tXN tN tSN t由于/ 是N(t)个独立同分布随机变量的平均值，由强大数定律推出当时，/( )( ), ( )N ttN ttSN t 又因为时，得到时( )1( )1( )1 ( )( )1( )N tN tSSN ttN tN tN t 且同样推理，可得当1/( )t N tt 由（）式，介于两个变量之间，当时，都收敛于 ，结论得证。11/11/注：（） 称为更新过程的速率，即以概率 ，长时间后更新 发生的速率将等于( )12 m ttt基本更新（ ）（）

10、当定理时230 60例 ：贝弗利有一台使用单个电池的收音机，一旦电池失效，贝弗利立刻换上新电池。如果电池寿命（小时）在区间（ ，）上均匀分布，那么贝弗利以什么速率更换电池？( )( )11lim45tNtttNt解：以记到时刻 为止失效的电池个数，由命题1更换电池速率为45从长远来看，贝弗利必须每小时更换一次电池。3例 ：假设例2中，贝弗利手头没有任何多余电池，而每次失效时，他必须去购买新电池，如果他买到新电池需要用的时间在(0,1)均匀分布，则他以什么速率更换电池？1212EUEUUU解：两次更换之间的平均时间由给出，其中在(30,60)均匀分布，在(0,1)均匀分布.因此， 45+0.5=

11、45.591从长远来看，贝弗利应该以2/91的速率放新电池，即每小时更换两次电池。( ) 1 ( ) 1N tE Sm t命题2：( ) 1( ) 110( ) ( )| ( ) N tN tg tE Sg tE SXx f x dx证明：令，对首次更新时间取条件，得到( ) 11() | N txg txxtE SXxxxt由于更新过程概率地在一次更新发生后重新开始，若若000 ( )() ( ) +( ) ( )() ( ) ttg tg tx f x dxxf x dxg tg tx f x dx代入可得或1110( )( )/,( ) 11() 1 ( )tg tg tg tg txf

12、 x dx 实际上，令可得110( )( )() ( )tg tF tg tx f x dx整理得到 ( ) 11( )1( ),N tE Sg tm t即满足更新方程，由唯一性，等于结论得证。0( )( )() ( )tm tF tm tx f x dx与更新方程对比：2/223( )/1lim2/xytN ttPxedyt命题3：更新过程的中心极限定理23231/2222/( )/( )/1tttttrrtrtttttrtx tN ttPxP N trP SttSrSrtrxPPxtrrr 证明：令，则2)0,1trtttSrtrr由中心极限定理，当(于是时，收敛于均值为 方差为的正态随机

13、变量。1/21xtxxt 又因为时，2/223( )/12/yxN ttPxedyt可见，22/2/21122xyyxedyedy又因为 结论得证。232( )/tN ttt说明：对于较大的 ，是渐进正态的，均值为,方差为，其中 和分别是到达间隔分布的均值与方差。例3：两台机器相继地处理无穷多个零活。在机器1上处理一个零活的时间是参数为n=4和 2的伽玛随机变量，而在机器2上处理一个零活的时间在0和4之间均匀的分布。求到时间t=100为止，两台机器一起至少可以处理90个零活的概率的近似值。12( ),0( ),0N t tN t t解：和分别代表两台机器到时刻t可以处理的零活数，则是两个相互独

14、立的更新过程。机器1的更新过程的到达间隔分布为参数为n=4和 2的伽玛随机变量，故均值为2,方差为1。机器2的更新过程的到达间隔在0和4之间均匀分布，故均值为2，方差为16/12。12(100)(100)NN因此，近似地是均值为100，方差为175/6的正态随机变量.1212(100)(100) 10089.5 100(100)(100)89.5175/6175/610.510.51(1.944)0.9741175/6175/6NNP NNP 以 记标准正态分布函数，有12(100)(100)NN由中心极限定理，近似地是均值为50，方差为100/8的正态随机变量，近似地是均值为50，方差为10

15、0/6的正态随机变量。4 4 更新酬劳过程更新酬劳过程5 5 再生过程再生过程交替更新过程交替更新过程1122ZYZY考虑一个系统，它有两个状态：和最初是开，并且保持一个时间 ，而后关闭并且关闭持续时间是 ；之后再打开，持续时间为；又开关关闭，持续时间为 ；。再打开，等等。(,)1nnnnnnZ YnZYZY假设随机向量，独立同分布。因此，序列和序列两者都是独立同分布，但允许和是相依的。换言之，每次过程打开时，一切从重新开始；但它关闭时，关闭时间允许关闭时间依赖于前一段打开时间。( )nnnnHZGYFZYP tPt设 是的分布， 是 的分布，而 是的分布，令时刻 系统开着lim ( )ntn

16、nnnE ZP tE ZEE ZYFY 定理三：若，且 不是格点的，则定理3非常重要，因为很多问题都可以以交错更新过程来模式。5,.11,2iPi1011001i例 ：（保险问题）某个保险公司对参保人的收费率交替在r和r之间，一个新的参保人开始在每单位时间的收费率为r 当一个收费率为r的参保人在最近的s个单位时间没有理赔，那么他的收费率变成单位时间r 收费率保持在r直到作了一次理赔，这是理赔率回转到r假定一个参保人永远活着，而且按速率为 的泊松过程要求理赔，求：（）参保人以速率r付费的时间的比例 ，(2)单位时间所付的长程平均金额。10解：如果当参保人按速率r付费时，说系统处于“开”，而当参保

17、人按速率r付费时，说系统处于“关”，那么这个开关系统是一个交错更新过程，以每作一次理赔开始一个新的循环。如果X是相继的理赔之间的时间，那么在这个循环中处于开的时间是s和X中小的一个（注意到Xs，则关的时间是0)-01min(, )(1)sxssXEEX sx edxsee由于 是速率为 的指数分布，从而导出循环中开的时间 =1011,1ssE XEPePPeE X 因为=1/ ，得到循环中开的时间001 1110()sr PrPrrr e单位时间所付的长程平均金额:( ) 1( )6( )( )0, ( ) ( )-( )( )N tN tY ttA ttY tStA tt SY ttA tt

18、例 ：（更新过程的寿命与年龄）考虑一个更新过程，以记以 直到下一次更新的时间，而以记内最后一次更新之后的时间，即，称为时刻 的，是剩余寿时刻命的年龄。 (1) lim ( ) lim ( )ttP Y txP A tx求：与 txtx解： 将一个开关的循环对应于一个更新区间，且若在 时的年龄小于或等于 就说 时系统“开着”，换言之，在一个更新区间的前时间内开着，其余时间关着。检验悖论检验悖论003lim ( )lim min(, )/min(, )/( )/ttxP A txPtEX xE XPX xy dy E XF y dy E X若更新分布不是格点的，则由定理 ，得在时刻 系统开着=0l

19、im ( )min( ,)/( )/xtP Y txEx XE XF y dy E X类似的，( ) 1( ) 1( ) 1( )( ) 1( ) 12( )( ) 1( )lim N tN tN tN tN tN ttXtXA tY tSSP XxF xP Xx （ ）定义表示包含 的更新区间的长度，即求证：，并求：( )( ) 1( ) 1( )( )( ) 1( )0 t = 0 0 |( )N tN tN tN tN tN tN tSP XxP Xx SP SP Xx Sy dFy证明： 对于在时刻 之前（或t）最后一次更新时刻取条件，可得|( ) 1( )( )11110 0| (

20、)NtNtNtP Xx SP SP XxXt P XtP XxF x计 算|( ) 1 ( )NtP XxFx显 然 由 第 一 等 式 ， 易 得 xtxxt说明：对任何 ，含点 的更新区间之长大于 较之于一个普通的更新区间之长大于 更加有可能发生。（包含点t的更新区间大于普通的更新区间）设备更新问题：在时间 正在使用的设备有比普通设备更长的寿命。tF而与实际检验假设时刻 使用设备总寿命应当是相矛盾，因此称之为检验悖论。 xx解： 仍以一个开关的循环对应于一个更新区间，且若整个循环时间大于 就说整个循环是开的，否则开着的时间就是零，即此系统在整个循环中或全开着（当更新区间大于 ）或全关着。(

21、 ) 1 = N tP XxPtxPt现在，包含的更新区间长度=在时刻 开着( ) 103lim/|( )/( )/N ttxP XxEE XE X Xx dF xE XydF y若更新分布不是格点的，则由定理 ，得循环中的开时( ) 10lim ( )/xN ttP XxydF y或等价的 检验悖再一次说明了论的结果。( ) 1( ) 10022000limlim( )/( )/( )/N tN txttyE XP Xx dxydF y dxydxdF yy dF yE XE X 计算包含某个特殊点的更新区间的平均长度：22( )1() ,limNttE XE XE XE X 因 为可 得6 6 半半Markov过程过程Thanks