电网络分析理论第四章网络的代数方程回路割集及例题（3）

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1、43 电路代数方程的矩阵形式(回路、割集法) 一、线性电路代数方程的矩阵形式一、线性电路代数方程的矩阵形式ssbbIUYUYI 0AI nTUAU 0AIUAYUAAYssbnTbsbsnTbUAYAIUAAYTbnAAYY sbsnUAYAIJnnnJUY2、回路电流方程的矩阵形式ssbbUIZIZUlTfIBI 0UBf0UBIZBIBZBffsbflTfbfsbfsflTfbfIZBUBIBZBTfbflBZBZ sbfsflIZBUBE回路电压源列向量lllEIZ3、割集电压方程的矩阵形式 sbfsftTfbfUYQIQUQYQ定义TfbftQYQY sbfsftUYQIQJtttJU

2、YssbbIUYUYI fQ I0TfnUQ UTfbftfsfbsQ Y Q UQ IQ Y U0 二、非线性电阻电路方程的矩阵形式 非线性电阻电路的方程的基本形式: sHxxf)( ) F x0(1)0IA)UU(FAss KVLnTUAU ssnTIA)UUA(FA ssI)UU(FI 0AI (2) 回路电流方程的矩阵形式为TenAUFAG sfslTffUB)IIB(FB 相应的增量回路电阻矩阵为TfeflBIFBR (3) 割集sfstTffIQ)UUQ(FQ 相应的增量割集电导矩阵为TfeftQUFQG 相应的增量节点电导矩阵为4-4 混合分析法 基本思想：基本思想： 以树支电压

3、和连支电流为电路解变量建立方程进行分析计算 。seIII seUUU 0UBf0IQf由 ，sfefIQIQsfefUBUBkIskIskUkUekU/YkkZekI将上两式展开，利用sfeteltlIQII1QsfeteltlUBUUB1TltQBsfetellIQIIQsfetTlelUBUQU(a)ellsfetIQIQIetTlsfelUQUBU4-4 混合分析法（续）支路支路VAR的混合形式的混合形式为 ellletlteleltletttetIHUHUIHUHIttHtlHltHllHsfsfeletllTlltltlttUBIQIUHQHQHH电路的混合方程电路的混合方程为 (b

4、)规则：VCCS 的控制支路和受控支路均应选作树支CCCS 的控制支路应为连支,受控支路为树支 VCVS 的控制支路应为树支,受控支路为连支CCVS的两条支路均应选作连支理想变压器和负阻抗变换器的两条支路分属连支和树支回转器的两条支路均为连支或均为树支电阻、电感、电容可以选作树支,也可以选作连支开路线只能选作树支开路线只能选作树支, ,短路线只能选作连支短路线只能选作连支46 稀疏表格法(Spare Tableau Approach ) 列写稀疏表格方程的一般步骤：列写稀疏表格方程的一般步骤：0Ai b0AI b（变换域）0uAunTb（时域）（时域）0UAUnTb（变换域） 对于线性网络sn

5、bnTV00IUUNM001AA00TWVT称为表格矩阵 0Ai)(tb0uAu)()(ttnTb0iuh),(bb 例题例题 添加支路法 电导GbkIbkI0qpbkUUU0bkbkGUIGbkUbkIpq电导送值表表中b、n和k分别为网络的支路数、节点数和支路编号。 RHSp1 q1 n+k 111 b+n+k1G bkIbkUpUbkU47 改进节点法 基本思想基本思想： 节点电压附加变量（流控型支路的电流和输出电流） KCL 可表示为112323IAAAI0I1 1223 3A IA IA I0112233TTnTUAUAU0UA112233TnTnTnUA UUA UUA U第一组元

6、件的支路方程为 111IYU0222 22P UQ IW33sII矩阵形式的改进节点电压方程为矩阵形式的改进节点电压方程为 122nnnUJYBIWCD是把电流作为附加未知量的支路移去后所得子网络的节点导纳矩阵1nYB、C、D分别是电流未知量关系矩阵。其中B为常数矩阵 HXS非线性电阻电路的改进节点方程 方法：方法：将网络中的元件分成三组；支路电压向量和支路电流向量及关联矩阵也作相应的划分,即0332211321321IAIAIAIIIAAAAI0321321nTTTnTUAAAUUUUAU或者111()IF U2222(,) F U IW33sII112233TnTnTnUA UUA UUA

7、 U改进节点电压方程为改进节点电压方程为 snTIAIAUAFA3322111)(22222),(WIUAFT用添加支路法形成线性网络改进节点电压方程的方法 （各类元件对网络方程的贡献 ）含传输线电路的改进节点方程 方法：方法：0321321nTTTnTUAAAUUUUAU4-9 端口分析法 （1)先将贮能元件、高阶元件、非线性元件等抽出跨接在端口上，这样就形成了一个电阻性多口网络； （2）将压控元件用电压源予以替代，流控元件用电流源予以替代。用电压源替代的端口称为电压端口，用电流源替代的端口称为电流端口；（3）以电压端口的电压和电流端口的电流为自变量，写出多口网络的混合参数方程；（4）结合端

8、口元件的赋定关系，消去电压端口的电流和电流端口的电压，可得一组以电压端口电压和电流端口电流为变量的网络方程 。一、线性电阻网络 将线性电阻抽出跨接在端口上111112212212222()1ocsc URHH RIIHH RIn口网络的混合参数矩阵方程为 11111212221222ocsc UUHHIIIHHU外部网络的方程为 11 1 UR I222 UR I消去端口电压 Rsusi1unu1ini1RnR二、非线性电阻网络（晶体管网络） 第k个晶体管Tk的特性方程 /()(1)mTmuUmmsmf uIe212121222()()kkkkkkkifuifuT式中 ( )( )11krkk

9、fT1TTp1i2i21pi2pi21pi2p qiDq1D1u2u21pu2pu21pu2p qu将晶体管和二极管抽出后的网络 外部非线性网络的方程 122212,Tppp qu uuuuu网络的端口电流列向量 网络的端口电压列向量 111pT0TT0112222212122( )( ),(),(),(),()Tppppp qp qf uf ufufufuF u( ) iTF u122212, ,Tppp qi iiiii设设(2pq)口线性多口网络的方程PuQic( )QTF uPuc 短路电导参数矩阵存在时，P=G，Q=1； ( )TF uGuc统一形式统一形式( )AF uBuc压控非

10、线性电阻电路的方程压控非线性电阻电路的方程THE END规范分段线性化网络的端口法规范分段线性化网络的端口法设设网络由线性二端电阻、直流独立源、线性多口电阻、规范分段线性化压控电阻和流控电阻组成。 NiinyinuinNi0yinu0Nyin(a)(b)(c)NR1i1u1R2i2u2Rlilu1il+1ul+1il+2ul+2il+nul+nRl+1Rl+nRl+2左边l个压控电阻赋定关系为lkEuCubaikmkmkkmkkkk, 2 , 11右边(nl)个流控电阻赋定关系为 nllkJiCibaukmkmkkmkkkk, 2, 11(nl)口线性网络 的一般表示描述: N1212, ,T

11、lllninu uu iii ixPxQys1212, ,Tlllnini ii uuu uys代表 内直流电源贡献的常数(n1)维列向量，P和Q为(n1)阶常数矩阵。N1ny ye1212, ,0Tlllni ii uuu y的动态范围maxmin,消去y可得具有格型结构格型结构( Lattice Strueture )的规范分的规范分段线性化方程段线性化方程 1, , , mmn B QB P CQCas Qa rQeTHE ENDinu10,0,0,0,0,0,1Tne1mmmBxCxar例题辑 例例 电路如图 所示，图中元件的下标代表支路的编号，取支路2、4、5为树支。在下列两种情况下

12、写出关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵、支路阻抗矩阵、支路导纳矩阵、支路电压源列向量和支路电流源列向量（1） （2）045M045M1su6si1R6R2C3C4L5L45M解解 电路的有向图如图所示，实线为树支，虚线为连支110100001110010011A111010010110001011B110100101001100111Q123456 支路电压源列向量为TssU000001UTssI600000I045M,1,1,654321RLjLjCjCjRdiagbZ1,1,1,1654321RLjLjCjCjRdiagbY（1）(2)045 M123445455600000100000

13、1000000000000000000bRj Cj Cj Lj Mj Mj LRZ444455545455UjL IjMIUjMIjL I 1235454546100000000000000000000000100000bRj Cj CLMMLRY返回(back)24445jL LM 4544ML L0 sI1U1gU2I2rI2R3R4R1R1234例例 电路及其有向图分别如图所示 电路中没有独立电压源，故支路电压源列向量TssI000IsU04244UrIR I3331URIgU3313UIgUR 331 113 13 3RIgR IgR R IR I44241IUrIR242442244

14、11UrUrUURRR RR JumpsI1U1gU2I2rI2R3R4R1R1234将上述4个矩阵分别代入支路阻抗矩阵公式和支路导纳矩阵公式1)()(eeebgZ1ZrY1Z1)()(eeebrY1YgZ1Y返回(back),4321RRRRdiageZ1,1,1,14321RRRRdiageY00000000000000000rr000000000000000gg4331210000000000RrRRgRRRbZ44232110001000100001RRRrRgRRbY返回(back)例例 在图电路中V2)0(3u0)0(4uA3)0(5i试写出该电路对应的运算电路的节点电压方程的矩阵

15、形式。图中11R25. 02RF23CF14CH45LH36LA)(5)(ttisisu3i5R1C3R2C4i6123153264(a)(b)作出电路的有向图和运算电路分别如图( b )和( c )所示。关联矩阵为解解101010110100011001A5/s2/s11/41/s1234s3sU1(s)3/s5/s1/2s由图( c )可得支路电压源列向量为(c)Tsss000200)（UTsssss530005)（I支路导纳矩阵为31,41,2 , 4 , 1 )(ssssdiagsbY把以上各矩阵代入)()()()()(ssssssbsnTbUAYAIUAAY即得运算形式的节点电压方程

16、的矩阵形式ssssUsUsUssssssssssssnnn5842)()()(314313112724141411321电路及其有向图(实线代表树支)如图所示。用相量形式写出回路电流方程回路电流方程的矩阵形式。例例2R3R2jL4U(s)jL5IsR1jM13542解解相应的基本回路矩阵为1011001101fB支路阻抗矩阵为54321000000000000000000LjMjMjLjRRRbZ支路电压源列向量支路电源源列向量把上述各矩阵代入TssU0000UTssI0000IsbfsflTfbfIZBUBIBZBssIRUIILjRRMjRMjRLjRR22153233431)()(例所选

17、基本回路正好对应网孔，因此，回路电流方程即为网孔电流方程。例例 电路及其有向图(实线代表树支)如图3所示。试写出该电路割集电压方程的矩阵形式。1j10/00V4/300A15461j1Sj2S23C1C2C3100011010101001101fQ解解 基本割集矩阵为支路电压源列向量支路电流源列向量支路导纳矩阵为将以上各矩阵代入割集电压方程的矩阵形式，得 Ts000000100UTs000030400Ij2, j1, j0.5,- 1, 1, , 1diagbY065430410102211122125 . 02UUUjjj稀疏表格法例题例例 在图示电阻网络中,双口电阻元件的伏安关系为2121

18、1532iuui0),(0),(2121221211iiuuhiiuuhsinVEt1u1i4i2uRN3u2i3i解解 将节点和连接在一起，可画出图示的网络有向图。相连点选为参考点00011010014321iiii000001101001214321nnuuuuuutEiiiiRuuuusin0000000000001000311000010000150002432143214123把以上诸式合成一个总的矩阵方程即为表格方程tEiiiiuuuuuuRnnsin000000000000010000000001000000100015000031000200000010000100000100

19、1000000010100000000101011000000000010000004321432121(2) 支路方程为 0),(21211iiuuh0),(21212iiuuh033 RiutEusin4返回(back) 线性电阻电路sbbvNiMusbbjjVINUM)()(0101()( )()( )( )bbsisssssMM UNN IVV)0()0(00LCiiNuMVisbbsssssVVINUM)()()()()(返回(back)0101()()bbsjjMM UNN IV 如图所示的接在节点p和q之间的电导支路,当其电流不作为输出时,它对 MNA方程的贡献可用下式表示: q

20、pUUGGGGqpGIGpq送值表 pUqU RHSPG-G q-GG 如果G有一端为参考点,比如节点q为参考点,则电导G只对自导纳Ypp有贡献,即 行列UPRHSpG 当电导G支路的电流作为输出时, 电导G对MNA方程的贡献为 GqpGIUU1GG11Iqp相应的送值表为 行列UpUqIGRHSp1Q1BRG-G-1表中BR表示支路元件的赋定关系 RHS-right hand side 独立电流源只对方程右端项有贡献。 送值表为 行列UpUqRHSp-IsqIsIs其它元件的送值表 电压源行列UiUjIKRHSi1j-1BR1-1EEIEij阻抗支路行列UiUjIRRHSi1j-1BR1-1

21、-RIRijR 受控源CCCS行列UiUjUkUlI1RHSi1J-1KbL-bBR1-1ijklI1I2I1受控源VCCS行列UiUjUkUlRHSijkgm-gml-gmgmijklU1I2gmU1受控源VCVS行列UiUjUkUlI2RHSijk1l-1BR-mm1-1ijklU1I2U受控源CCVS行列UiUjUkUlI1I2RHSi1j-1k1l-1BR11-1BR21-1-gijklI1I2rI变压器行列UiUjUkUlI2i-K2jK2k1l-1BR-K1K11-1ijkl-K2I2I2K1U互感行列UiUjUkUlI1I2i1j-1k1l-1BR11-1-sL1-sMBR21-1-sM-sL2ijklL1I2LMI1U2U1返回(back)