《数学高考一轮复习课件：导数在研究函数中的应用与生活中的优问题举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学高考一轮复习课件：导数在研究函数中的应用与生活中的优问题举例（72页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究一、函数的单调性与导数一、函数的单调性与导数 在区间在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下内，函数的单调性与其导数的正负有如下 关系：关系： 如果如果 ，那么函数，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；在这个区间内单调递增； 如果如果 ，那么函数，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减；在这个区间内单调递减； 如果如果 ，那么，那么f(x)在这个区间内为
2、常数在这个区间内为常数.f(x)0f(x)0f(x)0Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究1.若函数若函数f(x)在在(a，b)内单调递增，那么一定有内单调递增，那么一定有 f(x)0吗？吗？f(x)0是否是是否是f(x)在在(a，b)内单内单 调递增的充要条件？调递增的充要条件？ 提示：提示：函数函数f(x)在在(a，b)内单调递增，则内单调递增，则f(x) 0，f(x)0是是f(x)在在(a，b)内单调递增的充内单调递增的充 分不必要条件分不必要条件.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究二、函数的极值与导数二、函数的极值与导数1.函数的极小值函数
3、的极小值 函数函数yf(x)在点在点xa的函数值的函数值f(a)比它在比它在xa附近其他点的附近其他点的 函数值都小，函数值都小，f(a)0，而且在点，而且在点xa附近的左侧附近的左侧 ， 右侧右侧 ，则点，则点a叫做函数叫做函数yf(x)的极小值点，的极小值点，f(a)叫叫做做 函数函数yf(x)的极小值的极小值.f(x)0f(x)0Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究2.函数的极大值函数的极大值 函数函数yf(x)在点在点xb的函数值的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近的其他附近的其他 点的函数值都大，点的函数值都大，f(b)0，而且在点，而且在点xb附近的左侧附
4、近的左侧 ，右侧，右侧 ，则点，则点b叫做函数叫做函数yf(x)的极的极 大值点，大值点，f(b)叫做函数叫做函数yf(x)的极大值的极大值. 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称 为极值为极值. f(x)0f(x)0Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究2.求函数求函数yf(x)在在a，b上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的内的 . (2)将函数将函数yf(x)的各极值与的各极值与 比比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值较，其中最大的一
5、个是最大值，最小的一个是最小值.端点处的函数值端点处的函数值f(a)、f(b)极值极值三、函数的最值三、函数的最值1.如果在区间如果在区间a，b上函数上函数yf(x)的图象是一条的图象是一条 的的 曲线，那么它必有最大值和最小值曲线，那么它必有最大值和最小值.连续不断连续不断Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究2.函数的极值和最值有哪些区别？函数的极值和最值有哪些区别？ 提示：提示：极值是指某一点附近函数值的比较，因此，极值是指某一点附近函数值的比较，因此， 同一函数在某一点的极大同一函数在某一点的极大(小小)值，可以比另一点的极值，可以比另一点的极 小小(大大)值小值小
6、(大大)；最大、最小值是指闭区间；最大、最小值是指闭区间a，b上上 所有函数值的比较所有函数值的比较.因而在一般情况下，两者是有区因而在一般情况下，两者是有区 别的，极大别的，极大(小小)值不一定是最大值不一定是最大(小小)值，最大值，最大(小小)值值 也不一定是极大也不一定是极大(小小)值，但如果连续函数在区间值，但如果连续函数在区间(a， b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小 值就是最小值值就是最小值. Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究1.当当x0时，时，f(x)x 的单调减区间是的单调减区间是 () A.(2，
7、)B.(0,2) C.( ，) D.(0， )解析：解析：f(x)1 ，令，令f(x)0， 0 x2，f(x)的减区间为的减区间为(0,2).答案：答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究2.设设f(x)x(ax2bxc)(a0)在在x1和和x1处均有极值，处均有极值， 则下列点中一定在则下列点中一定在x轴上的是轴上的是 () A.(a，b) B.(a，c) C.(b，c) D.(ab，c)解析：解析：f(x)3ax22bxc，由题意知，由题意知，1，1是方是方程程3ax22bxc0的两根，则的两根，则11 ，b0，故，故点点(a，b)一定在一定在x轴上轴上.答案：答
8、案：ACopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究3.函数函数yx2cosx在在0， 上取得最大值时，上取得最大值时，x 的值为的值为() Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究解析：法一：解析：法一：代入比较得代入比较得 最大最大.法二：法二：y(x2cosx)12sinx，令令12sinx0，且，且x0， 时，时，x当当x0， 时，时，f(x)0，f(x)是单调增函数；是单调增函数；当当x 时，时，f(x)0，f(x)单调递减单调递减.f(x)maxf( ).答案：答案：BCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究4.函数函数f(x)x31
9、5x233x6的单调减区间为的单调减区间为.解析：解析：f(x)3x230 x333(x11)(x1)，令令f(x)0，得，得1x0(或或f(x)0)直接得到单调递增直接得到单调递增(或递减或递减)区间区间.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 设函数设函数f(x)x3ax29x1(a0(a0)求单调区间求单调区间.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究【解解】(1)f(x)x3ax29x1，f(x)3x22ax9即当即当x 时，时，f(x)取得最小值取得最小值99 12，即，即a29.解得解得a3.由题设由题设a0，故故f(x)在在(，1)上为增函数
10、；上为增函数；当当x(1,3)时，时，f(x)0，故故f(x)在在(3，)上为增函数上为增函数.由此可见，函数由此可见，函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，1)和和(3，)；单调递减区间为；单调递减区间为(1,3).Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究1.理理(2009北京高考北京高考)设函数设函数f(x)xekx(k0). (1)求曲线求曲线yf(x)在点在点(0，f(0)处的切线方程；处的切线方程； (2)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间； (3)若函数若函数f(x)在区间在区间(1,1)内单调递增，求内单调递增，求k的取值范围的取值范围.Cop
11、yright 2004-2009 版权所有 盗版必究解：解：(1)f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，曲线曲线yf(x)在点在点(0，f(0)处的切线方程为处的切线方程为yx.(2)由由f(x)(1kx)ekx0得得x (k0).若若k0，则当，则当x(， )时，时，f(x)0，函数，函数f(x)单调递增单调递增.若若k0，函数，函数f(x)单单调递增；调递增；Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究当当x( ，)时，时，f(x)0，则当且仅当，则当且仅当 1，则，则0k1时，时，函数函数f(x)在在(1,1)内单调递增；内单调递增；若若k0，则当且仅当，则当且
12、仅当 1，即，即1k1，求函数，求函数yf(x)在区间在区间(a1，a1)内的极值内的极值.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (1)由由f(x)过点过点(1，6)及及g(x)图象关于图象关于y轴轴对称可求对称可求m，n.由由f(x)0及及f(x)0，得，得x2或或x0，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究故故f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(，0)，(2，)；由由f(x)0，得，得0 x2，故故f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(0,2).(2)由由(1)得得f(x)3x(x2)，令令f(x)0，得，得x0或或x2.Copyrigh
13、t 2004-2009 版权所有 盗版必究当当x变化时，变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极大值极小值极小值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究由此可得：由此可得：当当1a3时，时，f(x)在在(a1，a1)内有极小值内有极小值f(2)6，无极大值；无极大值；当当a3时，时，f(x)在在(a1，a1)内无极值内无极值.综上得：当综上得：当1a3时，时，f(x)有极小值有极小值6，无极大值；，无极大值；当当a3时，时，f(x)无极值无极值.Copyright 2004-2009 版权所有
14、盗版必究2.已知函数已知函数f(x)x33ax1，a0. (1)求求f(x)的单调区间；的单调区间； (2)若若f(x)在在x1处取得极值，直线处取得极值，直线ym与与yf(x)的的图图 象有三个不同的交点，求象有三个不同的交点，求m的取值范围的取值范围.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究解：解：(1)f(x)3x23a3(x2a).当当a0，当当a0时，由时，由f(x)0解得解得x ，由由f(x)0时，时，f(x)的单调增区间为的单调增区间为(， )，( ，)，f(x)的单调减区间为的单调减区间为( ， ).Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(
15、2)f(x)在在x1处取得极值，处取得极值，f(1)3(1)23a0，a1，f(x)x33x1，f(x)3x23.由由f(x)0解得解得x11，x21.由由(1)中中f(x)的单调性可知，的单调性可知，f(x)在在x1处取得极大值处取得极大值f(1)1，在，在x1处取得极小值处取得极小值f(1)3.直线直线ym与函数与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，的图象有三个不同的交点，又又f(3)191，结合结合f(x)的单调性可知，的单调性可知，m的取值范围是的取值范围是(3,1).Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究1.设函数设函数f(x)在在a，b上连续，在上连续，在(a
16、，b)内可导，求内可导，求f(x)在在 a，b上的最大值和最小值的步骤上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的极值内的极值. (2)将函数将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究2.(1)根据最值的定义，求在闭区间根据最值的定义，求在闭区间a，b上连续，开区间上连续，开区间 (a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不
17、用 判断使判断使f(x)0成立的点是极大值点还是极小值点，直成立的点是极大值点还是极小值点，直 接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大 (小小) 值值. (2)定义在开区间定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极上的可导函数，如果只有一个极 值点，该极值点必为最值点值点，该极值点必为最值点.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究 (2010济南模拟济南模拟)已知函数已知函数f(x)(1)求函数求函数f(x)在在1，e上的最大值，最小值；上的最大值，最小值；(2)求证：在区间求证：在区间1，)上，函数上，函数f(
18、x)的图象在函数的图象在函数 g(x) 图象的下方图象的下方. Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(1)先判断单调性，求其最值先判断单调性，求其最值.(2)构造新函数，利用最大值小于零构造新函数，利用最大值小于零.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究【解解】(1)由有由有f(x)当当x1，e时，时，f(x)0，f(x)在在1，e上为增函数，上为增函数，f(x)maxf(e)f(x)minf(1)(2)证明：设证明：设则则F（x）=x2312( )ln,23F xxxxCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究当当x1，)时，时，F(
19、x)0，F(x)在在1，)上为减函数，上为减函数，且且F(1) 0故故x1，)时，时，F(x)15时，时，f(x)0；当当10 x15时，时，f(x)0.因此，当因此，当x15时，时，f(x)取最小值取最小值f(15)2000.为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为为15层层.f(x)=(560+48x)+=560+48x+f(x)=48-Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究4.某工厂每天生产某种产品最多不超过某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产件，并且在生产 过程中产品的正品率过程中产品的正品率P与每
20、日生产量与每日生产量x(xN*)件之间的件之间的关关 系为系为P ，每生产一件正品盈利，每生产一件正品盈利4000元，元，每每 出现一件次品亏损出现一件次品亏损2000元元.(注：正品率产品中的正品注：正品率产品中的正品 件数件数产品总件数产品总件数100%) (1)将日利润将日利润y(元元)表示成日产量表示成日产量x(件件)的函数；的函数； (2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日 利润的最大值利润的最大值.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究所求的函数关系式是所求的函数关系式是y 3600 x(xN*,1x40
21、).(2)显然显然y36004x2.令令y0，解得，解得x30.当当1x0；当；当30 x40时，时，y0.(1)当当m1时，求曲线时，求曲线yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线的斜率；处的切线的斜率；(2)求函数求函数f(x)的单调区间与极值；的单调区间与极值；(3)已知函数已知函数f(x)有三个互不相同的零点有三个互不相同的零点0，x1，x2，且，且x1f(1)恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围.Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究解解(1)当当m1时，时，f(x)f(x)x22x，故，故f(1)1.所以曲线所以曲线yf(x)在点在点(1，f(1)处的切线
22、的斜率为处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21.令令f(x)0，解得，解得x1m或或x1m.因为因为m0，所以，所以1m1m.当当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的的变化情况如下表：变化情况如下表：Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究x(，1m)1m(1m，1m)1m (1m，)f(x)00f(x)极小值极小值极大极大值值Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究所以所以f(x)在在(，1m)，(1m，)上是减函数，在上是减函数，在(1m,1m)上是增函数上是增函数.函数函数f(x)在在x1m处取得极小处取得极小值值f(1m)，且，且f(1m
23、)函数函数f(x)在在x1m处取得极大值处取得极大值f(1m)，且，且f(1m)3221.33mmCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究(3)由题设，由题设， (xx1)(xx2)，所以方程所以方程 有两个相异的实根有两个相异的实根x1，x2，故故x1x23，且，且1 (m21)0，解得解得m .221( )(1)3f xxxxm221103xxmCopyright 2004-2009 版权所有 盗版必究因为因为x1x1x23，故，故若若x11x2，则，则f(1) (1x1)(1x2)0，而，而f(x1)0，不，不合题意合题意.若若1x10，xx10，xx20，Copyright 2004-2009 版权所有 盗版必究则则f(x) (xx1)(xx2)0.又又f(x1)0，所以，所以f(x)在在x1，x2上的最小值为上的最小值为0.于是对任意的于是对任意的xx1，x2，f(x)f(1)恒成立的充要条件是恒成立的充要条件是f(1)m2 1，二是不知道对，二是不知道对x1进行讨论，从而导致进行讨论，从而导致不能拿到后面的不能拿到后面的4分分.
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