高中数学新课程“疑难问题解决”第二轮研训：函数教学研讨

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1、高中新课程高中新课程“疑难问题解决疑难问题解决”第二轮研第二轮研训训函数教学研讨函数教学研讨（1）密切关注省考试院、省教研室对明年）密切关注省考试院、省教研室对明年高考比较明确的指导意见，以调整、确定高高考比较明确的指导意见，以调整、确定高三复习的教学要求；三复习的教学要求；（2）立足教材、教参、大纲、学科指导意见，）立足教材、教参、大纲、学科指导意见，打好基础，练好内功，并在此基础上切实有效打好基础，练好内功，并在此基础上切实有效地提高学生分析问题、解决问题的能力；地提高学生分析问题、解决问题的能力；（3）清楚高效地上好每一节课，精心编制）清楚高效地上好每一节课，精心编制每一份讲义，细致讲评

2、每一份试卷每一份讲义，细致讲评每一份试卷 教学策略：教学策略：关于数学双基：关于数学双基： 数学双基的定义是：数学基础知识和基本技能数学双基的定义是：数学基础知识和基本技能 数学基础指的是从众多的事物和现象中抽象出来的数学基础指的是从众多的事物和现象中抽象出来的“数与形数与形”的的一般规律的知识，是对已形成的数学概念、规律和方法的表述与运一般规律的知识，是对已形成的数学概念、规律和方法的表述与运用用 “数学双基教学数学双基教学”作为一个特定的名词，其内涵不只限于双基作为一个特定的名词，其内涵不只限于双基本身，还包括在数学双基之上的发展张奠宙教授本身，还包括在数学双基之上的发展张奠宙教授 我国的

3、数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力培养的传统，培养的传统，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基双基” 普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准 自浙江省高考数学自主命题以来，注重全面深入地考查基础自浙江省高考数学自主命题以来，注重全面深入地考查基础知识、基本技能、基本思想方法，考查的内容全面，重点突出。知识、基本技能、基本思想方法，考查的内容全面，重点突出。 “双基双基”如此重要，但从学生对如

4、此重要，但从学生对“双基双基”掌掌握的实际情况看，情况不容乐观主要表现在：握的实际情况看，情况不容乐观主要表现在：（1）概念模糊，公式记错；）概念模糊，公式记错；（2）考虑不周，计算出错；）考虑不周，计算出错；（3）常规问题，准确率低；）常规问题，准确率低；（4）复杂运算，不能优化；）复杂运算，不能优化；（5）新颖问题，无从入手）新颖问题，无从入手 有效课堂教学的几个维度有效课堂教学的几个维度 教师的专业知识水平；教师的专业知识水平； 教师课堂教学的设计水平；教师课堂教学的设计水平； 教师的课堂调控能力；教师的课堂调控能力； 教师的课堂临场应变的能力；教师的课堂临场应变的能力； 教师的语言表达

5、能力；教师的语言表达能力； 师生之间良好的情感交流；师生之间良好的情感交流； 教师的爱心与责任心；教师的爱心与责任心； 教师的个人人格魅力；教师的个人人格魅力； 数学有效教学的个人观点数学有效教学的个人观点 教师的教要清楚教师的教要清楚 学生的学要清楚学生的学要清楚 因为数学是清楚的因为数学是清楚的理由一：前辈名家的实践总结理由一：前辈名家的实践总结 陈守礼老师课堂教学五十年陈守礼老师课堂教学五十年教学经验，即教学经验，即“四清四清”： 概念清晰概念清晰 语言清快语言清快 思路清新思路清新 板书清楚板书清楚 笔试题之一：请写出圆锥曲线一章笔试题之一：请写出圆锥曲线一章的教学内容的教学内容 面试

6、试题：请你分析三角函数一章面试试题：请你分析三角函数一章的教学的教学 数学是清楚的，清楚的前提，清楚的推论，得出清数学是清楚的，清楚的前提，清楚的推论，得出清楚的结论；楚的结论； 数学的命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的数学的命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊；含糊； 我们说，数学是易学的，因为它是清楚的，只要大我们说，数学是易学的，因为它是清楚的，只要大家按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，家按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想，绝对可以学懂；绝对可以学懂； 我们又说，数学是难学的，也因为它是清楚的，如我们又说，数学是难学的，也因为它是清楚的，如果有人不是按照数学规则去

7、学去想，总想把果有人不是按照数学规则去学去想，总想把“想当想当然然”的东西强加给数学，在学会加法的时候就想学的东西强加给数学，在学会加法的时候就想学习乘法，那就要处处碰壁，学不下去了习乘法，那就要处处碰壁，学不下去了理由二：专家学者的撰述（人教版编者寄语）理由二：专家学者的撰述（人教版编者寄语）有效教学的个人观点：有效教学的个人观点： 清楚的课就是有效的课清楚的课就是有效的课清清楚楚谈函数教学清清楚楚谈函数教学中学函数教学的主要内容：中学函数教学的主要内容： 函数的概念函数的概念 函数的图象函数的图象 函数的性质函数的性质 函数的应用函数的应用 几类特殊函数的图象与性质几类特殊函数的图象与性质

8、一、函数的概念一、函数的概念 教师应当将自己放在学生的位置教师应当将自己放在学生的位置上，他应当看到学生的情况，应当努上，他应当看到学生的情况，应当努力去理解学生心里正在想什么力去理解学生心里正在想什么 波利亚波利亚 要让学生学得清楚，首先教师要要让学生学得清楚，首先教师要教的清楚教的清楚（一）了解函数概念的（一）了解函数概念的产生与发展历程产生与发展历程 1、产生的背景：、产生的背景： 欧洲文艺复兴之后的欧洲文艺复兴之后的16至至17世纪，世纪， 科学家们致力于运动的研究，如计算天体科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量

9、，炮弹的速度对于高度和射程的影响量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等等 诸如此类的问题都需要探究两个变量诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的速度推测化规律作出判断，如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程它能达到的高度和射程 运动、变量与曲线的描述，催生了函运动、变量与曲线的描述，催生了函数思想，这正是函数产生和发展的背景数思想，这正是函数产生和发展的背景 从此，从此，数学开始从常量数学发展为变数学开始从常量数学发展为变量数学量数学函数的概念由此逐渐诞生，并一函数的概念由此逐渐诞生，并一直占据着数学

10、的核心地位直占据着数学的核心地位 20世纪以来，世界各国的中学数学内世纪以来，世界各国的中学数学内容也从以解方程为中心转移到以研究函数容也从以解方程为中心转移到以研究函数为中心为中心 2、函数概念的发展历程：、函数概念的发展历程：（1）早期函数概念）早期函数概念几何观念下的函数几何观念下的函数 法国数学家笛卡尔（法国数学家笛卡尔（R.Descartes,1596-1650）最先提出了）最先提出了“变量变量”的概念，他在的概念，他在几何几何学学一书中不仅引入了坐标，而且实际上也引入一书中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了变量，他在指出了变量，他在指出 是变量的同时，还注意到是变量的同时，还注意到

11、 依赖于依赖于 而变化，这正是函数思想的萌芽而变化，这正是函数思想的萌芽 “数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为了必数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为了必要要” -恩格斯恩格斯, x yyx（2）十八世纪函数概念）十八世纪函数概念代数观念下的函数代数观念下的函数 1718年，莱布尼兹的学生约翰年，莱布尼兹的学生约翰贝努利贝努利(J.Bernoulli，瑞，瑞，16671748)在莱布尼兹函数在莱布尼兹函数概念的基础上，强调函数要用公式

12、来表示；他把概念的基础上，强调函数要用公式来表示；他把函数定义为函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量常量以任何一种方式组成的一种量” 1755年，瑞士数学家欧拉年，瑞士数学家欧拉(LEuler，17071783)给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符号，即号，即 ，并将函数定义为：，并将函数定义为：“如果某些变如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数的变量称为后面变量的函数” )(xfy （3）十九世纪函数概念）十

13、九世纪函数概念对应关系下的函数对应关系下的函数 1837年德国数学家狄利克雷年德国数学家狄利克雷(Dirichlet，18051859)提出：提出：“如果对于在某区间上的每一个确定的如果对于在某区间上的每一个确定的 值，值， 都有一个完全确定的值与之对应，则都有一个完全确定的值与之对应，则 叫做叫做 的函的函数数” 狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，较清楚地说明了函数的所有的关于依赖关系的描述，较清楚地说明了函数的内涵，即只要有一个法则，使得取值范围中的每一个内涵，即只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有

14、一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式是公式、图象、表格还是其他形式 上述定义，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地上述定义，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受至此，函数概念、函数的本质定义已经形成，接受至此，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义这就是人们常说的经典函数定义 xyyx 等到康托尔等到康托尔(Cantor，德，德，18451918)创创立的集合论在数学中占有重要地位之后，立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦维布伦(Veblen，美，美，18801960)用用“集集合

15、合”和和“对应对应”的概念给出了近代函数定的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数变量是数”的极限，变量可以是数，也的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）矩阵等） （4）现代函数概念）现代函数概念关系论下的函数关系论下的函数 20世纪初，豪斯道夫世纪初，豪斯道夫(FHausdorff)、库拉、库拉托夫斯基托夫斯基(Kuratowski)等数学家于等数学家于1930年给出了年给出了新的现代函数

16、定义：若对集合新的现代函数定义：若对集合M的任意元素的任意元素x，总，总有集合有集合N确定的元素确定的元素y与之对应，则称在集合与之对应，则称在集合M上上定义一个函数，记为定义一个函数，记为y=f(x)。元素。元素x称为自变元，称为自变元，元素元素y称为因变元。称为因变元。 函数的定义经过三百多年的锤炼、变函数的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，因此，不意味着函数概念发展的历史终结，因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展数的概念还会继续扩展

17、 正是由于函数概念有如此漫长的正是由于函数概念有如此漫长的发展历程，所以针对学生的生理和心发展历程，所以针对学生的生理和心理，对函数概念的学习，学生要经历理，对函数概念的学习，学生要经历从从初中（变量说）初中（变量说）到到高中（对应说）高中（对应说）再到再到大学（关系说）大学（关系说）循序渐进式的学循序渐进式的学习过程习过程 函数概念小结：函数概念小结：（1）函数的变量说定义（传统定义）：）函数的变量说定义（传统定义）： 一般地，在某个变化过程中，设有两一般地，在某个变化过程中，设有两个变量个变量 ， ，如果对于，如果对于 的每一个确定的的每一个确定的值，值， 都有唯一确定的值，那么就说都有唯

18、一确定的值，那么就说 是是 的函数的函数 函数定义的变量说，是对函数的一个函数定义的变量说，是对函数的一个宏观、整体的把握，它建立在变量的基础宏观、整体的把握，它建立在变量的基础上，强调了变化，上，强调了变化，而描述变化，正是函数而描述变化，正是函数最重要的特性最重要的特性 xyxyyx （2）函数的对应说定义（近代定义）：）函数的对应说定义（近代定义）： 一般地，设一般地，设 是非空的数集，如果按照某是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系种确定的对应关系 ，使对于集合，使对于集合 中的任意一中的任意一个数个数 ，在集合中，在集合中 都有唯一确定的数都有唯一确定的数 和它和它对应，那么就称对

19、应，那么就称 为从集合为从集合 到集合到集合 的的一个函数，记作一个函数，记作 ， 函数的本质是变量之间的关系，而描述这种函数的本质是变量之间的关系，而描述这种关系的正是关系的正是“对应对应”。它能够微观地指出因变量它能够微观地指出因变量是如何随着自变量的变化而变化的是如何随着自变量的变化而变化的 xBA,ABf( )f xBAf:AB)(xfy Ax 对于上述函数（对于上述函数（1）（）（2）的两个定义，）的两个定义，各有各的不同特点各有各的不同特点. “变量说变量说”是最朴素、最根本，也是最重要是最朴素、最根本，也是最重要的，对于初学者更容易接受的，对于初学者更容易接受. “对应说对应说”

20、形式化的程度很高，对于研究函形式化的程度很高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势数的精细性质具有一定的优势 函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系关系. 3、函数概念的几个首次：、函数概念的几个首次：（1）变量的第一次提出：）变量的第一次提出： 法国数学家笛卡尔最先提出了法国数学家笛卡尔最先提出了“变量变量”的概念的概念;（2）“函数函数”（function）一词首次使用：）一词首次使用： 德国数学家莱布尼兹在德国数学家莱布尼兹在1692年首先创设使用；年首先创设使用；（3）函数符号）函数符号“ ”的首次使用：的首次使用： 瑞士数学家欧拉在瑞士数学家欧拉

21、在1755年创立使用；年创立使用；（4）在中国的首次传入：）在中国的首次传入： 清代数学家李善兰（清代数学家李善兰（18111882），浙江海），浙江海宁人，在宁人，在1859年和英国传教士伟烈亚力合译年和英国传教士伟烈亚力合译代代微积拾级微积拾级中首次将中首次将“function”译做译做“函数函数” )(xfy 代微积拾级代微积拾级：这是一部介绍解析几何和微积：这是一部介绍解析几何和微积分的重要著作，作者是美国数学家罗密士。在翻译分的重要著作，作者是美国数学家罗密士。在翻译此书时，李善兰说，此书时，李善兰说，这部书先讲代数，后讲微分，这部书先讲代数，后讲微分，再讲积分，由易到难，好像逐级上

22、升再讲积分，由易到难，好像逐级上升，因此取名，因此取名代微积拾级代微积拾级 李善兰将李善兰将“function”译做译做“函数函数”，对此解释，对此解释说：说：“凡此变量中函彼变量，则此为彼之函数。凡此变量中函彼变量，则此为彼之函数。”亦即：如果一个变量亦即：如果一个变量y（此变量）的表达式中包函（此变量）的表达式中包函另一个变量另一个变量x（彼变量），那么（彼变量），那么y就是就是x的函数这里的函数这里“函函”是包含的意思，与欧洲当时之概念十分相是包含的意思，与欧洲当时之概念十分相近近 “function”在现在的英文字典中有四种解释：在现在的英文字典中有四种解释：（1）官能，功能，机能；（

23、）官能，功能，机能；（2）职务、职责；（）职务、职责；（3）盛大的集会；（盛大的集会；（4）函数）函数 正是李善兰对函数概念正确的理解，因此，他未正是李善兰对函数概念正确的理解，因此，他未将将function译为功能或机能，而将之译为函数，来译为功能或机能，而将之译为函数，来配合函数表示的意义配合函数表示的意义4、函数在中学数学教学中的情况：、函数在中学数学教学中的情况： 在在20世纪之前，中学数学的中心是方程。世纪之前，中学数学的中心是方程。1908年，数学家年，数学家F.克莱因担任国际数学教育委员会主席，克莱因担任国际数学教育委员会主席，他首次提出，中学数学应当以函数为中心，或者说他首次提

24、出，中学数学应当以函数为中心，或者说“以函数为纲以函数为纲”，许多数学家表示赞成，但是数学教，许多数学家表示赞成，但是数学教育的观念不可能一蹴而就实际上，直到第二次世界育的观念不可能一蹴而就实际上，直到第二次世界大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程大战之后，函数思想才全面进入中学数学课程 在中国，在中国，1949年之前，中学数学课程中仍然少见年之前，中学数学课程中仍然少见函数的踪迹。当时在中国流行的是著名的函数的踪迹。当时在中国流行的是著名的范氏大代范氏大代数数，就是，就是“以代数为纲以代数为纲”的教材，方程式论占据绝的教材，方程式论占据绝大部分篇幅到了五十年代，中国数学教育全面学习大部分

25、篇幅到了五十年代，中国数学教育全面学习前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位，前苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位，一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等等，渐渐成为数、对数函数、三角函数等等，渐渐成为“数学教学数学教学大纲大纲”以及中考、高考的中心内容以及中考、高考的中心内容 （二）函数的有关概念：（二）函数的有关概念： 高中函数概念引入的两种方法：高中函数概念引入的两种方法：（1）先学习映射，再学习函数概念；）先学习映射，再学习函数概念；（2）先通过具体实例，体会数集之间的一种特殊）先通过具体实

26、例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，再学习函数概念的对应关系，再学习函数概念 考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，人教版采用后一种方们对函数概念本质的理解，人教版采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数的描述性定义入手，式，从学生已掌握的具体函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念，再列举各种各样的函数，构建函数的一般概念，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函

27、数概念的理解加深学生对函数概念的理解 像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用应用 1、函数概念解析、函数概念解析 为了能够帮助学生、了解学生，教师应该认为了能够帮助学生、了解学生，教师应该认真回顾自己的经历，回顾自己在学习时遇到真回顾自己的经历，回顾自己在学习时遇到的各种困难和取得的各种成功的各种困难和取得的各种成功 -波利亚波利亚 所以，为使学生对函数概念学得更加清楚，所以，为使学生对函数概念学得更加清楚，教师可以对函数概念分层解析：教师可以对函数概念分层

28、解析： （1）揭示了两个变量之间的某种对应关系；）揭示了两个变量之间的某种对应关系； （2） 随着随着 的变化而变化，即函数值依赖的变化而变化，即函数值依赖于自变量；于自变量； （3）不同的对应关系即为不同的函数；）不同的对应关系即为不同的函数；yx （4）对于定义域内任一自变量，根据对应）对于定义域内任一自变量，根据对应法则，有且只有唯一的函数值与之相对应；法则，有且只有唯一的函数值与之相对应； （5）函数有三要素：定义域、值域、对应）函数有三要素：定义域、值域、对应关系；两个函数是同一函数，当且仅当这关系；两个函数是同一函数，当且仅当这两个函数的定义域和对应关系相同；两个函数的定义域和对应

29、关系相同； （6）函数）函数 的图象与直线的图象与直线 交点交点个数至多一个；当个数至多一个；当 （ 表示函数的定表示函数的定义域）时，有唯一一个交点；当义域）时，有唯一一个交点；当 时，时，没有交点没有交点 )(xfy ax aDDaD2、八个基本初等函数：、八个基本初等函数：函数名称 解析式常数函数一次函数二次函数反比例函数指数函数对数函数幂函数三角函数()yc c是常数(0)ykxb k2(0)yaxbxc a(0)kykx(0,1)xyaaalog(0,1)ayx aaayxsin ,cos ,tanyx yx yx几点说明：几点说明： （1）函数是描述客观世界变化规律的函数是描述客观

30、世界变化规律的重要数学模型，不同函数模型能够刻画现重要数学模型，不同函数模型能够刻画现实世界中不同的变化规律。实世界中不同的变化规律。在区间在区间 上，上，尽管函数尽管函数 都是增函数，都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次档次”上所以它们为客观世界提供了上所以它们为客观世界提供了多种类型的增长式函数模型多种类型的增长式函数模型 ），（0,log(1)axayxyayx a （2）一般地说，三角学是几何学的一部）一般地说，三角学是几何学的一部分如果说平面几何是定性处理三角形的边角关分如果说平面几何是定性处理三角形的边角关系（全等、平等、垂直、大边

31、对大角等），那么系（全等、平等、垂直、大边对大角等），那么三角学是定量地表示三角形边角之间的定量关系三角学是定量地表示三角形边角之间的定量关系（使用比例、正弦定理、余弦定理等等）把三（使用比例、正弦定理、余弦定理等等）把三角思想引入三角形边角关系的处理，三角学又成角思想引入三角形边角关系的处理，三角学又成为几何方法与代数方法相互沟通的桥梁为几何方法与代数方法相互沟通的桥梁 三角学在古希腊时期诞生，此后广泛用于数三角学在古希腊时期诞生，此后广泛用于数学和天文学的计算但是，那时的三角只限于处学和天文学的计算但是，那时的三角只限于处理以内的正角处理任意角而产生三角函数，放理以内的正角处理任意角而产生

32、三角函数，放在坐标上画图象，并用微积分方法进行研究，那在坐标上画图象，并用微积分方法进行研究，那是到是到18世纪的欧拉时代才完成的世纪的欧拉时代才完成的 三角函数的重要，在于它的周期性自然现三角函数的重要，在于它的周期性自然现象中的单摆、潮汐、电磁波、三相交流电等等，象中的单摆、潮汐、电磁波、三相交流电等等，都是周期运动都是周期运动 （3）由基本初等函数经过有限次的代由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数数运算及有限次的函数复合所得到的函数 叫做初等函数叫做初等函数例如：例如： ，初等函，初等函 数的使用相当广泛在建立描摹大自然的数的使用相当广泛在建立描摹大自然的 数

33、学模型时，初等函数能够基本上满足需数学模型时，初等函数能够基本上满足需 要这也正是把初等函数列入中学课程，要这也正是把初等函数列入中学课程， 并将它作为公民数学素养一部分的原因并将它作为公民数学素养一部分的原因 212(1)xyx3、函数的定义域与值域、函数的定义域与值域 （1）函数定义域：是使函数有意义的自变量的）函数定义域：是使函数有意义的自变量的取值范围它是研究函数的基础在讨论函数的性取值范围它是研究函数的基础在讨论函数的性质、作图、解方程和不等式等问题中都起着重要的质、作图、解方程和不等式等问题中都起着重要的作用作用 定义域的三种形式：定义域的三种形式： 默认型：解析式（题目）有意义的

34、自变量的范围默认型：解析式（题目）有意义的自变量的范围 规定型：题目给定的自变量的范围规定型：题目给定的自变量的范围 实际型：由实际问题的意义所确定的自变量的范围实际型：由实际问题的意义所确定的自变量的范围 例、已知函数例、已知函数 ，求函数，求函数 的最小值的最小值242424()1f xxxx( )f x （2）值域：函数值组成的集合，这个集合是）值域：函数值组成的集合，这个集合是由定义域内的自变量通过对应关系而得到的函数由定义域内的自变量通过对应关系而得到的函数值的全体值的全体 两点说明：两点说明： 函数值域（最值）紧紧依赖于定义域；函数值域（最值）紧紧依赖于定义域； 掌握求函数值域（极

35、值、最值）的几种常用掌握求函数值域（极值、最值）的几种常用方法：方法： 分式函数求值域分式函数求值域 二次函数求值域二次函数求值域 基本不等式求最值基本不等式求最值 函数单调性定义求值域函数单调性定义求值域 导数求值域导数求值域值域典例值域典例例例1、已知关于、已知关于 的方程的方程 在区在区间间 上有实数根，求实数上有实数根，求实数 的取值范围的取值范围例例2、设、设 ， ，对于任意，对于任意 ，存在，存在 ，使，使 ，求，求 的的取值范围取值范围 x11( )( )2042xxa 1,0a2( )2f xxx( )2g xmx1 1,2x 0 1,2x 10()()g xf xm二、函数的

36、图象二、函数的图象 会运用函数图象理解和讨论函数的性质会运用函数图象理解和讨论函数的性质 考试说明考试说明 研究函数的一个重要方面是研究函数的特征，而研究函数的一个重要方面是研究函数的特征，而函数特征可以直观地用函数的图象显示出来函数特征可以直观地用函数的图象显示出来 掌握函数的图象是数形结合研究函数的重要手段掌握函数的图象是数形结合研究函数的重要手段，根据函数的图象，一方面能迅速准确地得到函数根据函数的图象，一方面能迅速准确地得到函数的单调区间、增减性、极值、最值等特征；另一的单调区间、增减性、极值、最值等特征；另一方面，典型的函数图象可以帮助人们理解和记忆方面，典型的函数图象可以帮助人们理

37、解和记忆函数的性质及特征函数的性质及特征 （一）作函数图象的四层要求：（一）作函数图象的四层要求： （1）熟练掌握八个基本初等函数的图象）熟练掌握八个基本初等函数的图象(0,2 ) ,cossintan( )353337(,) (,) (,2 ) (,)4442224xxxxABCD例、在内 使的成立的 的取值范围是 （2）能用描点法作图（已知图象大致趋势）能用描点法作图（已知图象大致趋势的情况下，如五点法作函数的图象）；的情况下，如五点法作函数的图象）； （3）能根据八个基本初等函数的图象通过）能根据八个基本初等函数的图象通过平移变换、对称变换、伸缩变换得到相应平移变换、对称变换、伸缩变换得

38、到相应函数的图象；函数的图象； 左右平移：左右平移： 上下平移上下平移 ( )(2)yf xyf x( )( )2yf xyf x 左右伸缩：左右伸缩： 上下伸缩：上下伸缩： 对称变换：对称变换： ( )(2 )yf xyfx( )2 ( )yf xyf x( )(),( ),()yf xyfxyf xyfx ( )( ) ,()yf xyf xyf x图象变换典例图象变换典例例、（例、（2010浙江理数）设函数的集合浙江理数）设函数的集合 ，平面上点的集合平面上点的集合 ，则在同一直角坐标系中，则在同一直角坐标系中，P中函数中函数 的图象恰好经过的图象恰好经过Q中中两个点的函数的个数是（两个

39、点的函数的个数是（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）10211( )log (),0,1;1,0,122Pf xxab ab 11( , ),0,1;1,0,122Qx y xy ( )f x函数图象教学案例：函数图象教学案例： 充分挖掘课本例题的教学功能，是课堂教充分挖掘课本例题的教学功能，是课堂教学更有效、更清楚、更精彩的一种行之有学更有效、更清楚、更精彩的一种行之有效的好方法效的好方法 必修一第一章函数表示法例必修一第一章函数表示法例5： 画出函数画出函数 的图象的图象方法一：利用分段函数画出图象；方法一：利用分段函数画出图象；方法二：利用对称性画出图象方法二：利用对称性画出图象

40、 xy 启发学生提出、思考、并解决以下问题：启发学生提出、思考、并解决以下问题：（1）作出函数）作出函数 的图象；的图象；（2）作出函数）作出函数 的图象；的图象；（3）小结作函数）小结作函数 图象的方法；图象的方法；（4）作出函数）作出函数 的图象；的图象；（5）说出函数）说出函数 的图象特征；的图象特征；（6）作出函数）作出函数 的图象；的图象；（7）说出函数）说出函数 的图象特征的图象特征21yx223yxx( )yf x24yxx()yxaxb ab24yxx()yxaxb ab例例1、（、（2008山东卷）设函数山东卷）设函数的图象关于直线对称，则的值为：的图象关于直线对称，则的值为

41、：例例2、已知函数，、已知函数，若存在正常数，使，则不等式若存在正常数，使，则不等式的解集是：的解集是： axxxf1)(1xa( )f xxaxaxbxbcm( )0f m ( )( )f xf m 解题教学要向学生解题教学要向学生暴露思维过程暴露思维过程，解题切入点或解题切入点或突破口的选定突破口的选定要舍得化时间，问题解决过程中要舍得化时间，问题解决过程中“坎坎”的跨越、的跨越、“陡坡陡坡”的攀登的攀登要浓墨重彩要浓墨重彩 “凡是你教的东西，要教得透彻凡是你教的东西，要教得透彻” 罗素罗素 为求为求“透彻透彻”，教师必须钻进教材，教师必须钻进教材，“沉下去沉下去”，理清知识发生的本源，把

42、握教材中最主要的、最理清知识发生的本源，把握教材中最主要的、最本质的东西本质的东西只有这样，才能在教学中不断地去只有这样，才能在教学中不断地去“捅破捅破”题目与方法之间的一层纸，才能让学生题目与方法之间的一层纸，才能让学生真正真正从题目中感悟和提炼出最具本质的知识和方从题目中感悟和提炼出最具本质的知识和方法，法，从而不断提高学生的综合能力从而不断提高学生的综合能力 （4）能根据函数性质作出相对复杂函数的图象）能根据函数性质作出相对复杂函数的图象 例例1、作出函数、作出函数 的草图的草图21xyxx1121xyx021xyx作图的基本步骤：作图的基本步骤： 确定函数的定义域确定函数的定义域 （判

43、断函数的图象是否有渐近线）（判断函数的图象是否有渐近线） 研究函数的奇偶性研究函数的奇偶性 （确定画图象时可否偷懒）（确定画图象时可否偷懒） 研究函数的单调性研究函数的单调性 （确定图象大致趋势）（确定图象大致趋势） 研究函数的有界性研究函数的有界性 （适当运用极限知识加以判定）（适当运用极限知识加以判定） 描点并用平滑曲线连接描点并用平滑曲线连接例、作出函数例、作出函数 的草图的草图 2123yxx（二）函数图象的对称轴与对称中心（二）函数图象的对称轴与对称中心 （1）函数图象的对称轴：）函数图象的对称轴： 若若 ，则函数的图象有对称，则函数的图象有对称轴：轴： 其本质是：当自变量关于其本质

44、是：当自变量关于 对称时，函数对称时，函数值相等；值相等； 函数图象关于直线函数图象关于直线 对称，其表示方式对称，其表示方式是不唯一的，可根据题意需要，合理表示，是不唯一的，可根据题意需要，合理表示，如如 等等等等)2()(axfxfxaaxa(2 )(),(3 )()f xafxfxaf xa （2）函数图象的对称点：）函数图象的对称点： 若若 ，则函数，则函数 的图象有对的图象有对称中心：称中心： 其本质是：当自变量关于其本质是：当自变量关于 对称时，对称时，函数值互为相反数；函数值互为相反数；更一般地，若更一般地，若 ，则函，则函数的图象有对称中心：数的图象有对称中心： 其本质是：当自

45、变量关于其本质是：当自变量关于 对称时，函对称时，函数值关于数值关于 对称；对称；)2()(axfxf( )f x( ,0)aabaxfxf2)2()( , )a bab典例典例 例例1、对于函数，在其定义域内，、对于函数，在其定义域内，是否存在实数，使恒成是否存在实数，使恒成立立 例例2（2009福建）函数的函数的图象关于直线对称，据此可推测：图象关于直线对称，据此可推测：对于任意的非零实数关于的方程对于任意的非零实数关于的方程的解集都不可能是（的解集都不可能是（ ）ABC D 1)(3 xxfa0)2()(xafxf2( )(0)f xaxbxc a2bxa , , , , ,a b c

46、m n p2 ( )( )0m f xnf xp1,21,41,2,3,41,4,16,64（3）会求与已知函数图象关于定点或定直线）会求与已知函数图象关于定点或定直线对称图象的解析式对称图象的解析式（三）识图（读图）能力（三）识图（读图）能力 数学图形语言的准确把握和合理运用；数学图形语言的准确把握和合理运用； 通过函数图象，重点把握函数的定义域、通过函数图象，重点把握函数的定义域、值域（极值、最值）、单调性、奇偶性值域（极值、最值）、单调性、奇偶性（对称点、对称轴）、周期性（对称点、对称轴）、周期性三、函数的性质三、函数的性质 （一）任意性（一）任意性函数的定义，函数单调性、奇偶性、函数的

47、定义，函数单调性、奇偶性、周期性的定义都要求自变量具有任意性，周期性的定义都要求自变量具有任意性，也正是因为自变量的任意性，才体现了函也正是因为自变量的任意性，才体现了函数数“变化变化”的本质，才赋予了函数丰富多的本质，才赋予了函数丰富多彩的性质彩的性质 任意性典例任意性典例 例例1、设奇函数在上是单调函数，、设奇函数在上是单调函数，且，若不等式对所有且，若不等式对所有的都成立，当时，求的取的都成立，当时，求的取值范围值范围 例例2、已知定义在、已知定义在R上的函数满足：对上的函数满足：对任意实数、，有任意实数、，有且，且， 给出下列四个结论：给出下列四个结论：；是奇函数；是奇函数；是周是周期

48、函数；期函数；在上是单调函数在上是单调函数.其中，所有正确结论的序号是：其中，所有正确结论的序号是： )(xf1 , 11) 1(f12)(2attxf1 , 1x1 , 1at( )f xxy()()2 ( )cosf xyf xyf xy(0)0f12f142f( )f x( )f x( )f x0,（二）单调性（二）单调性 函数单调性教学的几点说明：函数单调性教学的几点说明： 得出定义的方式：特殊到一般，直观到得出定义的方式：特殊到一般，直观到抽象，用有限表示无限；抽象，用有限表示无限； 教学难点：代数形式的抽象性与逻辑推教学难点：代数形式的抽象性与逻辑推理的形式化，充分发挥了数学文字语

49、言、理的形式化，充分发挥了数学文字语言、符号语言的功能；符号语言的功能； 体会自变量取值的任意性；体会自变量取值的任意性； 如：判定函数如：判定函数 当当 时的时的单调性单调性 1yxx), 0( x 从本质上看，函数的单调性揭示的是一从本质上看，函数的单调性揭示的是一种变化趋势种变化趋势; 即：一个在给定区间上的单调函数其即：一个在给定区间上的单调函数其图象特征是从左到右是上升（下降）的；图象特征是从左到右是上升（下降）的； 正比例函数正比例函数 不一定是单调递增函不一定是单调递增函数；数； 设设 ，且，且 ，若，若 成立，则函数成立，则函数 在在 上是增（减）函上是增（减）函数；数；)0(

50、kkxy,21baxx21xx )0(0)()(2121xxxfxf)(xf,ba 复合函数的单调性遵循复合函数的单调性遵循“同增异减同增异减”原则，原则，应特别关注所求单调区间一定是其定义域的应特别关注所求单调区间一定是其定义域的一个或几个子集；一个或几个子集； 设函数设函数 的定义域关于原点对称，的定义域关于原点对称，且在公共区间上单调性相同，则：且在公共区间上单调性相同，则： 有相同的单调性；有相同的单调性； 的单调性，既与的单调性，既与 的单的单调性有关，又与它们函数值的正负有关调性有关，又与它们函数值的正负有关 ( ), ( )f xg x( )( )( )F xf xg x( )(

51、 )( )F xf xg x( ), ( )f x g x（二）奇偶性（二）奇偶性 几点说明：几点说明： （1）从函数奇偶性的定义中让学生进一步体会自）从函数奇偶性的定义中让学生进一步体会自变量取值的任意性，从而明确函数具有奇偶性的变量取值的任意性，从而明确函数具有奇偶性的前提必须是函数的定义域关于原点对称，是函数前提必须是函数的定义域关于原点对称，是函数定义域规定型的一种具体体现；定义域规定型的一种具体体现； 同时让学生体会数学语言的严谨性；而这种同时让学生体会数学语言的严谨性；而这种体会与感悟，有助于学生对定义的深刻理解，对体会与感悟，有助于学生对定义的深刻理解，对于提高学生分析问题、理解

52、问题的能力有很好的于提高学生分析问题、理解问题的能力有很好的促进作用促进作用 （2）引导学生根据函数奇偶性定义，得出以下结论：）引导学生根据函数奇偶性定义，得出以下结论： 若定义域为若定义域为 的奇函数的奇函数 ，且，且 ，则，则 既奇且偶的函数有无数多个，但其解析式的最终既奇且偶的函数有无数多个，但其解析式的最终形式必为：形式必为： 若一个奇函数有最大值，则其必有最小值，且最若一个奇函数有最大值，则其必有最小值，且最大值与最小值互为相反数；大值与最小值互为相反数； 一个定义域关于原点对称的函数一个定义域关于原点对称的函数 一定能表示一定能表示成一个奇函数成一个奇函数 与一个偶函数与一个偶函数

53、 的和，的和，即：即： ； D)(xfD0(0)0f( )0f x )(xf)(xg)(xh( )( )( )f xg xh x（三）周期性（三）周期性函数周期性的四种常见形式：函数周期性的四种常见形式： （1）若）若 ，则，则()( )( ,0)f xaf xk a ka是常数 且（2）若）若 （ 是非零常数，且是非零常数，且 ）则则 （3）若）若 ，则，则（4）若函数）若函数 满足满足 ，则则aT2()( )f xaf xk, a k0a aT2)(1)(1)(xfxfaxf(,0)aa 是常数 且aT4)(xf(2)(1)( )f xf xf x6T 四、函数应用四、函数应用 函数的应用

54、不仅仅指的是运用函数模函数的应用不仅仅指的是运用函数模型、函数知识解决实际问题；型、函数知识解决实际问题； 更主要的是指综合运用函数知识、方更主要的是指综合运用函数知识、方法、思想分析问题、解决问题；法、思想分析问题、解决问题； 函数的思想方法将贯穿高中数学课程函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终的始终普通高中数学课程标准普通高中数学课程标准（1）函数思想）函数思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，运用函数的图象

55、和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决从而使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析、题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析、解决问题解决问题 经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最值、图象变换性值、图象变换性函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： （1）借助有关初等函数的性质，解决有）借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解不等式、解方程以及讨论参数关求值、解不等式、解方程以及讨论参数的取值

56、范围等问题；的取值范围等问题；（2）在问题研究中通过建立函数关系式）在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数，或构造中间函数，把研究的问题转化为讨把研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的为简的目的 （2）数形结合的思想：）数形结合的思想： 所谓数形结合，就是所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之根据数学问题的条件和结论之间的内在联系间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合进意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合进来，并充分利用这种来，并充分利

57、用这种“结合结合”，寻找解题思路，使，寻找解题思路，使问题得到解决问题得到解决 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。方法。 数形结合思想通过数形结合思想通过“以形助数，以数解形以形助数，以数解形”，使复，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合的规律性与灵活性的有机结合 数形结合的实质是

58、将抽象的数学语言与直观的图象数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化它可以使代数问题几何化，几何问题代数化 数形结合思想可以解决以下问题：数形结合思想可以解决以下问题：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；小关系；（4）

59、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；问题和证明不等式；（5）根据函数性质研究图形的形状、位置等；）根据函数性质研究图形的形状、位置等； 案例：姜山中学公开课案例：姜山中学公开课五、几类重要的函数五、几类重要的函数 抽象函数抽象函数 周期函数周期函数 分段函数分段函数 复合函数复合函数 （一）抽象函数（一）抽象函数1、抽象函数问题、抽象函数问题 抽象函数问题是指题目没有明确给出具体的抽象函数问题是指题目没有明确给出具体的函数表达式，但根据其所满足的关系式和其它条函数表达式，但根据其所满足的关系式和其它条件，分析、解决相关问题的一

60、类函数问题件，分析、解决相关问题的一类函数问题 由于抽象函数问题常常集函数性质、图象等由于抽象函数问题常常集函数性质、图象等问题于一身，因而是考查函数性质和相关问题、问题于一身，因而是考查函数性质和相关问题、考查思维能力的一种重要题型；又因为此类问题考查思维能力的一种重要题型；又因为此类问题比较抽象，其相关函数性质含而不露，所以同学比较抽象，其相关函数性质含而不露，所以同学们在解答此类问题时思维往往受阻，难以下手们在解答此类问题时思维往往受阻，难以下手2、抽象函数问题的主要解决方法：、抽象函数问题的主要解决方法：赋值法赋值法 3、抽象函数的具体模型：、抽象函数的具体模型：抽象函数满足的关系式具

61、体函数模型 )()()(yfxfyxf()( )( )f xyf xf y( )( )()f xf yf xykxxf)()( )( )1f xyf xf y)()()(yfxfxyf)()()(yfxfxyf)()()(yxfyfxfaxxf)()()()(yfxfyxf)()()(yfxfyxf)()()(yxfyfxf) 1, 0()(aaaxfx)()()(yfxfxyf)()()(yfxfxyf)()()(yxfyfxf) 1, 0(log)(aaxxfa)()(2)()(yfxfyxfyxfxxfcos)(对于关系式：有：)()()(yfxfyxf2( )()( )0222()()

62、( )nxxxf xfff nxf xxxfx抽象函数典例抽象函数典例例例1：已知函数：已知函数 的定义域是的定义域是 ，则，则 的定的定义域是义域是例例2（2008陕西）：定义在陕西）：定义在R上的函数上的函数 满足满足 则则 等于等于 例例3（2008重庆）：若定义在重庆）：若定义在R上的函数上的函数 满足：满足：对任意对任意 ，有，有 则下列说法一定正确的是（则下列说法一定正确的是（ ） （A） 为奇函数为奇函数 （B） 为偶函数为偶函数 （C） 为奇函数为奇函数 （D） 为偶函数为偶函数 ) 1( xf) 1 , 0()(xf)(xf()( )( )2,( ,),(1)2f xyf x

63、f yxyx yRf)3(f)(xfRxx21,1)()()(2121xfxfxxf)(xf)(xf1)(xf1)(xf4( )()( )( ),11,( )0,(6)1,(3)( )2f xRf xyf xf yxf xff xfx例 ：已知函数的定义域是，当时若解不等式152010( )(1),44 ( ) ( )()()( ,),(2010)f xff x f yf xyf xy x yRf例 （重庆）：已知函数满足：且则26( ),( )0,(1)7( ),2(052)0,1),( ),(20073)5( 521)yf xxR f xf xfxxxxf xfx例 ：函数满足：对一切当时

64、则例8:抽象函数的一个重要应用:凹凸函数 121212127( )111,0, ()( )()( )221(1)( )(2)(2)2nnf xRxx xf xxf xf xfaf xafnan例 ：设是定义在 上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有，且。证明是周期函数;记，求 。（二）分段函数（二）分段函数 分段函数的概念：分段函数的概念： 形如形如 的函数，叫做分段函的函数，叫做分段函数数 分段函数是一个函数，它的定义域、值域分段函数是一个函数，它的定义域、值域是各段相应集合的并集是各段相应集合的并集 21)()()(DxxgDxxhxf分段函数典例分段函数典例2123123lg111

65、( )11( )( )03,xxRf xxfxbf xcx x xxxx例 ：定义域为 的函数，若方程有且只有 个不同的实数根，则2010min,1( )min,2a ba bf xxxtxt 例2（湖南）：用表示两数中的最小值，若函数的图象关于直线对称，则 的值为：(31)413( )(,)log1aaxaxf xxxa 例 ：已知是上的减函数，则 的取值范围是：242010( )2()( )4( )( )( )( )( )g xxxRg xxxg xf xf xg xxxg x例 （天津）：设函数，则的值域是212log,05( ),( )(),log,0 x xf xf afax xa例 ：若函数若则实数 的取值范围是：