数学思想之——函数思想

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1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。数学思想之函数思想摘 要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越来越重要，本文就其在方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、向量以及在实际中等方面的应用作例说。关 键 词：数学思想 函数思想 应用数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，数学思想不仅是数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用，它包括：分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、正难则反思想等等。而函数思想是用函数的概念和性质去分析问

2、题、转化问题和解决问题，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，去分析、研究问题转化问题并解决问题。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、向量等问题也常常可以通过构造函数来求解。本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。一、运用函数思想求解方程问题 函数与方程既是两个不同的

3、概念，又存在着密切的联系。一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。例1、求证：不论 a取什么实数，方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有两个不相等的实根。分析：常规解法，若求出判别式是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。若用函数思想去分析题意，设函数f(x)=x2-(a2+a)x+a-2，要证明命题成立，只需证明函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点，

4、由于它的开口向上，只要找到一个实数X0，使f(x0)0即可。比如f(1)=1-(a2+a)+a-2=- a2-10, 当且仅当（米）时取等号。故当米时总造价最小，最小值是118000元。从以上几例的解答中，我们已初步看到了函数思想的应用，首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。另

5、外，根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也渗透到中学数学中。函数思想的应用渗透在很多知识点里面,我们平时在教学与学习时应该多去发掘、培养、训练、强化这种思想，以期提高数学解题能力及数学思想素质。但这些方面都涉及到最基础知识，只要在学习中扎扎实实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法，从而收到事半功倍的效果。参考文献： 1.中学数学研究. 华南师大数学系中学数学研究编辑部. 2005.3. 2.世纪金榜理科数学,延边大学出版社2007.4 3.高考轻舟高考总复习数学,内蒙古大学出版社.2007.10. 4.高中数学解题题典,东北师大出版社, 2004.66 / 6