两个计数原理习题课(2课时)

《两个计数原理习题课(2课时)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《两个计数原理习题课(2课时)（24页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1.1.3分类计数原理分类计数原理与分步计数原理分步计数原理（习题课）（习题课）一、复习回顾一、复习回顾:两个计数原理的内容是什么两个计数原理的内容是什么?解决两个计数原理问题需要注意什么问题解决两个计数原理问题需要注意什么问题?有哪些技巧有哪些技巧?三个比赛项目，六人报名参加。三个比赛项目，六人报名参加。）每人参加一项有多少种不同的方法？）每人参加一项有多少种不同的方法？）每项人，且每人至多参加一项，有多）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？少种不同的方法？）每项人，每人参加的项数不限，有多）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？少种不同的方法？729366 5 412

2、0 36216一、排数字问题一、排数字问题 用0到6这7个数字，可以能组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【错解一】分4步进行：第1步，排个位，在0,2,4,6中选一个有4种方法； 第2步，排十位，有6种方法； 第3步，排百位有5种方法； 第4步，排千位有4种方法 共有方法种数4654480. 【错解二】考虑到首位不能排数字0，分4步进行： 第1步，排千位，在1,2,3,4,5,6中选1个，有6种方法； 第2步，排个位，在0,2,4,6中选1个，有4种方法； 第3步，排十位，在余下的5个数字中选1个，有5种方法 第4步，排百位，在余下的4个数字中选1个，有4种方法； 共有6454480种方法

3、【错因】错解一忽视数字0不能在首位的约束，按此排法有可能为“0134”这种不符合要求的情况 错解二忽视了题目“无重复数字的四位数”的约束，按此排法有可能为“2032”，不符合条件 若先排首位，应考虑排的是1,3,5还是2,4,6，因它直接关系到第2步排个位的选取； 若先排个位，应考虑是否排0，因为它关系到首位的选排 【正解】 分两类：第1类，首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)，则末位数字可取0,2,4,6中任一个，而百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位则不能取与这三个数字重复的数字，故共有3454240种取法 第2类，首位取2,4,6中某个偶数数字，如2时，则末位只能取0,4,6中

4、任一个，百位又不能取与上述重复的数字，十位不能取与这三个数字重复的数字，故共有3354180种取法故共有240180420个无重复数字的四位偶数. 变式：改为奇数呢？1、将数字、将数字1,2,3,4,填入标号为填入标号为1,2,3,4的四的四个方格里个方格里,每格填一个数每格填一个数,则每个格子的标则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有号与所填的数字均不同的填法有_种种变式练习变式练习:分析及解法：分析及解法：号方格里可填，三个数字，有种填号方格里可填，三个数字，有种填法。号方格填好后，再填与号方格内数字相法。号方格填好后，再填与号方格内数字相同的号的方格，又有种填法，其余两个方格只同的号

5、的方格，又有种填法，其余两个方格只有种填法。有种填法。 所以共有所以共有3*3*1=9种不同的方法。种不同的方法。例例2 设设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从从A到到B共有共有多少种不同的映射多少种不同的映射?333333=729 例例、如图、如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分四个区域分别涂上别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜允许同一种颜色使用多次色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不不同的涂色方案有多少种？同的涂色方案有多少种？解解: 按地图按地图A、B、C、D四个区域依次分四步四个区域依次分四步完成完成,

6、第一步第一步, m1 = 3 种种, 第二步第二步, m2 = 2 种种, 第三步第三步, m3 = 1 种种, 第四步第四步, m4 = 1 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数得到不同的涂色方案种数共有共有 N = 3 2 11 = 6 种。种。练习：练习：将种作物种植在如图所示的块试将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种（以数字作答）种（以数字作答）42解析：解析：第一类：前三块种三种作物，则第一类：前三块种三种作物，

7、则32122=24第二类：前三块种两种作物，则第二类：前三块种两种作物，则321（1+2）=18所以所以 共有共有24+18=42种种植方法种种植方法规律：规律：n元集合元集合 的不的不同子集有个同子集有个 。12 ,.,nAa aa2n例：例：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数它的子集个数为为 ，真子集个数为，真子集个数为 ，非空，非空子集个数为子集个数为 ，非空真子集个数为，非空真子集个数为 。525252125225225125 例例、若直线方程若直线方程ax+by=0ax+by=0中的中的a,ba,b可可以从以从0,1,2,3,40,1,2,3,4这五个数字中任取两这五个数字

8、中任取两个不同的数字个不同的数字, ,则方程所表示的不同则方程所表示的不同的直线共有多少条的直线共有多少条? ? 2+44-2=16、7560075600有多少个正约数有多少个正约数? ?有多少个奇约有多少个奇约数数? ?解解: :由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 7 7560075600的每个约数都可以写成的每个约数都可以写成的形式的形式, ,其中其中, , , , lkjl753240 i30 j20 k10 l于是于是, ,要确定要确定7560075600的一个约数的一个约数, ,可分四步完成可分四步完成, ,即即i,j,k,li,j,k,l分别在各

9、自的范围内任取一个值分别在各自的范围内任取一个值, ,这样这样i i有有5 5种取法种取法,j,j有有4 4种取法种取法,k,k有有3 3种取法种取法,l,l有有2 2种取法种取法, ,根据根据分步计数原理得约数的个数为分步计数原理得约数的个数为5 54 43 32=1202=120个个. . 解解:从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三类方法有三类方法,从局部上看每类又需两步完成从局部上看每类又需两步完成,所以所以, 第一类第一类, m1 = 12 = 2 条条 第二类第二类, m2 = 12 = 2 条条 第三类第三类, m3 = 12 = 2 条条 所

10、以所以, 根据加法原理根据加法原理, 从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近路线共有最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。条。3.一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？共有多少条？4、如果把两条异面直线看成、如果把两条异面直线看成“一对一对”，那么六棱锥的棱所在的那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面条直线中，异面直线共有（直线共有（ ）对）对A.12 B.24 C.36 D.48B 5.（课本（课本P97页页2）如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地

11、有从乙地到丙地有3条条路可通路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到由甲到丙有两类不同的走法丙有两类不同的走法, 第一类第一类, 由甲经乙由甲经乙去丙去丙,又需分两步又需分两步, 所所以以 m1 = 23 = 6 种不同的走法种不同的走法; 第二类第二类, 由甲经丁由甲经丁去丙去丙,也需分两步也需分两步, 所所以以 m2 = 42 = 8 种不同的走法种不同的走法; 所以从甲地到丙地所以从甲地到丙地共有共有

12、N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。种不同的走法。 6.如图如图,该电该电路路,从从A到到B共有多少条共有多少条不同的线路不同的线路可通电？可通电？AB解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 第二类第二类, m2 = 1 条条 第三类第三类, m3 = 22 = 4, 条条 所以所以, 根据分类原理根据分类原理, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。(备选题）备选题）某城市在中心广场建造一某城市

13、在中心广场建造一个花圃，花圃分为个花圃，花圃分为6个部分（如右图）个部分（如右图）现要栽种现要栽种4种不同颜色的花，每部分种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有色的花，不同的栽种方法有_种种. 6 5 4 3 2 1（1 1）与与同色，则同色，则也同色或也同色或也同色，所以共有也同色，所以共有N N1=41=43 32 22 21=481=48种；种；所以，共有所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种. （2）与与同色，则同色，则或或同色，所以共有同色，所以共有N N2=42=43 32 22 21=481=48种；种；（3）与与且且与与同色，则共同色，则共N N3=43=43 32 21=241=24种种 解法一：从题意来看解法一：从题意来看6 6部分种部分种4 4种颜色的花，又从图形看种颜色的花，又从图形看知必有知必有2 2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！