高中数学新课程微积分课程设计分析

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1、高中数学新课程微积分的课程设计分析基金项目：广东省普通高等学校省级优秀课程中学数学教育学基金。作者简介：何小亚（1964），男，贵州省荔波县人，硕士，华南师范大学数学系副教授，硕士生导师，广东省数学会理事，主要从事数学课程与教学论专业研究。 何小亚（华南师范大学 数学系，广东 广州 510631）摘要：微积分的课程设计，需要从五个方面进行探讨： 微积分诞生的历史和地位；微积分的基本思想方法；为什么要学微积分；新旧课程中微积分内容及其处理上的特点；导数概念的教学思考。关键词：微积分；思想方法；课程；导数；教学 讲背景来源，讲思想方法，注重过程，联系实际，突出应用，体现数学的文化价值，是数学新课程

2、所倡导的课程教学理念。要将这一理念具体落实到新增课程内容微积分的课程内容教学设计上，需要从以下五个方面进行探讨： 微积分诞生的历史和地位；微积分的基本思想方法；为什么要学微积分；新旧课程中微积分内容及其处理上的特点；导数概念的教学思考。一、 微积分诞生的历史和地位微积分（Calculus）是微分学(Differential Calculus)和积分学(Integral Calculus)的统称.积分学源自曲线的长度、区域的面积、物体的体积的计算方法。比如古希腊的Eudoxusde(400-350 B.C.)的穷竭法和Archimedes(287-212 B.C.)的平衡法，中国魏晋时期刘徽的割

3、圆术和祖冲之（429-500）的圆周率的计算以及他儿子祖暅求体积的祖暅原理，意大利的B.Cavaliera(1598-1647)的不可分量方法（即祖暅原理）。这些先驱者的方法奠定了积分学的基础。微分学的起源比积分学晚。它主要源自求曲线的切线、运动物体的瞬时速度、一些问题的极大极小值。在17世纪之前，人们只是以静态的观点处理切线问题。把切线看做是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”，与动态变化无关。对切线、极大极小问题的研究远远不及对弧长、面积、体积问题的研究。直到17世纪，微分学问题的讨论才有了实质性的进展以动态的观点研究切线、极大、极小问题。例如，法国的G.P.de Roberval(

4、1602-1675)从物理学的角度，利用两个运动分量的合成向量来求抛物线的切线。而Fermat(1601-1662)于1629年给出了求极大、极小值的一般方法：设在处有极大值或极小值，并设e是一个很小的量，那么很接近。由方程求出，这就是所求极值点的横坐标。Fermat的方法实质上相当于现代微分学中所用的方法，只是把写成了而已。也就是说，Fermat给出了一个统一的无穷小方法，用以解决求极值问题和切线问题。I.Barrow(1630-1677)运用“微分三角形”求曲线的切线。更重要的是，Barrow在其光学和几何学讲义中以几何形式反映了切线问题是面积问题的逆问题。遗憾的是他没有意识到这两类问题（

5、微分和积分）的互逆关系。在17世纪上半页之前，求切线、速度、极大极小值、长度、面积、体积等问题被作为不同类型的问题予以研究和解决的，而且方法缺乏一般性，没有人明确提出微分和积分的互逆关系。因此，需要人从一般性和统一性的高度将过去分散的成果予以概括。而I.Newton(1642-1727)和G.W.Leibniz(1646-1716)正是这样的伟人。他们建立了微积分基本定理：微分与积分互为逆运算。从此，计算微分、积分不再需要一些特殊的方法来进行个别处理，而可以统一来处理，从而使微积分不再成为几何学的一部分，而成为一门独立的学科。微积分的诞生是数学史上一个重要的转折点。从古希腊继承下来的旧数学是常

6、量数学，而由微积分的建立带来的新数学则是变量数学。旧数学是固定的、静态的、有限的，而新数学则是运动的、变化的、无限的。微积分的出现不但改变了数学的面貌，也由于其广泛应用于其他自然学科而推动了科学的进步，促进了人类经济、社会的发展，具有划时代的意义。微积分是“数学中一步真正的发展”，是“更有力的工具和更简单的方法的发现”。恩格斯评价道：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半页微积分的发现那样被看作人类精神的胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。二、 微积分的基本思想方法常量数学是以静态的、不变的、有限的观点去研究问题，而微积分是变量数学，它以动态的、变

7、化的、无限的观点来研究问题。Newton认为：线是点运动的结果，角是它的边旋转的结果，体是表面运动的结果；变量是运动着的点，叫流动量，运动的速度叫流数，流数是流动量对时间的导数。Newton用路程的改变量与时间的改变量的比表示物体运动的平均速度，令无限逼近于0,就得到该物体的瞬时速度，并由此建立了导数的概念。总而言之，微积分是通过静态的逐步逼近而把握动态，通过有限去认识无限，利用近似去探索精确，是辩证法在数学上的体现。无穷小的思想方法、逼近的思想方法、用有限研究无限的思想方法、量变到质变的辩证统一思想方法是微积分的基本思想方法。三、为什么要学微积分1促进学生全面认识数学的价值学生通过解决数学上

8、和社会生产生活中的各种问题，如切线问题、速度及加速度问题、边际成本和边际利润问题、面积问题、体积问题、压力及功的问题、最大最小等优化问题，逐步认识和体会到数学的应用价值、科学价值和文化价值。2使学生体会变量数学的思想方法，发展学生的辩证思维能力 通过学习微积分，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上。在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力。3为今后进一步学好微积分打基础在大学里，学生学习微积分问题的主要表现在两个方面：（1）作为科学的微积分，其定义是精确的

9、、严谨的、抽象的，其展开陈述方式是公理化基础之上的逻辑演绎的形式，这就给学生的理解带来困难；（2）中国大学微积分的教学方式主要是由原理到例子的同化方式，较侧重于逻辑形式的演绎。重形式，轻背景；重计算、轻理解；重逻辑，轻应用。学了导数，不知道导数的实际意义。其结果是，学生认为微积分是数学家把玩的符号游戏，从而对微积分失去兴趣。在高中学比较原始、直观和现实的微积分，使学生了解微积分的现实背景、应用背景，体会微积分的思想方法，为大学微积分的学习奠定好认知的基础。从而可以在一定程度上解决上述问题。四、新旧课程中微积分内容及其处理上的特点在大学中，微积分内容编排的结构基本上是“数列极限函数极限函数的连续

10、性导数与微分中值定理与导数应用不定积分定积分定积分的应用”。而导数的概念是在函数极限的定义的基础上来学习。导数的极限定义是准确的、严谨的、抽象的科学概念，理解起来有一定的难度。过去的高中教材，不管是甲种本、实验本还是实验修订本，其结构与大学微积分基本一致。导数概念还是在讲了数列极限、函数极限之后，用极限来定义导数。例如，实验修订本第三册（选修）中是这样来叙述导数概念的：如果当有极限，我们就说函数在点可导，并把这个极限叫做函数在点的导数（或变化率）。由于教学的重心被难以理解的极限定义牵扯，微积分教学实际上走进了机械的、操作性规则的教学误区，忽视和影响了微积分思想方法的理解。缺乏背景材料、远离社会

11、实际、抽象枯燥的微积分变成了师生沉重的负担。新课程的微积分在内容处理上有了新的突破：（1）不学极限概念来学导数概念。直接通过实际背景和具体应用实例（速度、膨胀率、效率、增长率等）来引导学生认识平均变化率和瞬时变化率之间的关系，从而抽象概括出导数的概念。（2）在内容的选择上，把重点放在导数及其运用上，以体现导数作为解决许多实际问题的一般性和有效性。（3）在内容安排上，更加关注微积分的现实背景及其应用、微积分的基本思想、微积分与其他学科的联系。五、 导数概念的教学思考1不学极限，能学导数吗？在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程

12、也就没有了导数。极限是导数不能回避的概念。因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。那么标准中为何又提出不学极限来学导数呢？问题的关键是“教”与“学”，即你如何教，教到什么程度？你如何学，学什么？是注重严谨的定义还是注重本质的思想？是注重结论还是注重过程？是注重形式计算还是注重理解与实际应用？一句话，是科学数学还是教育数学的问题？答案显然是后者。数学教育的内容不是科学数学本省，科学数学仅仅是为数学教育的资源库。对科学数学提供的素材进行教学重构就得到教育数学，它才是数学教育的内容。因此，不学极限来学导数是基于数学教育的需要。另一方面，导数概念教学中争论的主要原因是极限概念。在历史发展进

13、程中，极限概念不是一下子就严谨的。例如， Newton指出：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差别，则最终就成为相等。”这个定义的表述并不严谨，只是接近于极限的直观表述：如果当无限接近时，无限地接近于常数，那么就说以为极限。由于极限概念的不严谨，导致了无穷小悖论的出现：简言之，增量在作差商时不等于零，约简后又等于零。英国大主教B.G.Berkeley(1685-1753)攻击微分学的推导是“分明的诡变”法国数学家A.L.Cauchy(1789-1857)把无穷小视为以零为极限的变量，解决了无穷小“似零非零”的悖论。他指出：“当一个

14、变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值。”Cauchy的这一极限定义依然使用了几何直观的语言，如“无限趋近”，“要多小就多小”，依然不够严谨。而严谨的定义是由德国数学家K.T.L.Weierstrass(1815-1897)给出。由极限定义的精确化过程可知，在极限的定义出现之前，人们对极限的理解是基于几何直观的。这符合人类认知的发展水平。因此，作为教育数学的导数概念完全可以用直观的极限来描述和理解导数概念。关于如何学习、理解和运用抽象的函数概念，前苏联数学家阿.尼.柯莫戈洛夫（1903-1987）已经为我们作了精辟的诠释：“

15、数学不能从定义开始。去定义一些概念，我们就不可避免地要在这些定义中应用一些其他的概念。当我们不理解一些概念的含义时，我们就不能前进一步，不能表述出任何一个定义。因此，任何一个数学理论的叙述要从一些不用定义的概念开始。用它们就已经可能去表述深入一步的任意的概念。人们如何互相解释自己对基础概念的理解呢？对于这一点没有其他方法，只有在例子中借助于对确定事物典型性质的详细描述来阐明。这些描述可以在细节上不完全清楚并且可以不彻底。但是具有足够清晰程度的概念的内涵就可以逐渐从它们中显示出来。”综上所述，数学教育的内容是教育数学不是科学数学；极限概念的精确化过程说明，几何直观的极限概念符合人类认知的发展水平

16、；苏联数学家阿.尼.柯莫戈洛夫已经为我们处理抽象的数学概念指明了方向。所以，高中数学新课程提出不学极限来学导数是必要的，也是可行的。那么如何具体实施呢？2导数概念的课程教学内容设计（1）提出实际问题，激发学生学习导数的兴趣问题1：已知A公司某种产品的成本函数，收入函数.试确定A公司的产量为多少时，平均利润最大？问题2：从西到东的铁路干线经过A、B两个城市。已知A与B相距150公里，某工厂C位于B城市正北20公里处。现在要从A城市把货物运往工厂C。如果铁路运费是3元/公里，公路运费是5元/公里，那么应从铁路干线上何处筑起到工厂C的公路，才能使运费最省？ （2）以旧引新，联系实际直线的斜率与平均变

17、化率 设点是直线上的任意两点，则有（方程中x的系数）比率表示由x的改变量引起的y的平均变化率。它与该直线上那两点P和Q的位置没有关系，它就是该直线的斜率。K0表示平均变化率增加，k0表示平均变化率减少。例1已知生产某型号的计算器x台的成本由成本函数确定。试求：（1）生产150台该型号的计算器的成本；（2）生产160台该型号的计算器的成本；（3）每天生产计算器的数量x从150增加到160时，成本的平均变化率；（4）生产第1001台计算器的成本；（5）生产x 台计算器的平均成本函数A（x）；（6）生产5000台计算器的平均成本。 例2某公司预计每天生产x只手机电池的成本（元）是.如果每天生产的数量

18、由100增加到120，那么成本增加的平均变化率是多少？（3）深入探索瞬时变化率、边际成本、边际利润在例2中，当产量从100增加到120时，每个单位产品的成本增加的平均变化率.需要注意的是，这并不是说对每个增加的电池成本实际增加为22.20元。例如，当产量从100增加到101时，增加的成本只是一般地，生产x只产品，对成本函数，每个单位产品成本的变化率并没有给出在一个特别瞬时产量的变化率。为了求产量x=100时，成本增加的变化率，我们设产量由100增加到，此处很小。于是，对于增加的个产品，成本的平均变化率由差商确定。由于很小，上述差商近似等于22。当充分接近0时，它充分接近常数22。常数22叫做成

19、本函数在时的瞬时变化率。它说明，产量时，再生产一只电池，成本增加22元。相应地，它也叫做产量时的边际成本。类似地，可以计算出产量时的边际成本为22.40元。产品销售量为x的销售收入R（x）是x的函数，称为收入函数。类似地，我们把销售量为x时的边际收入定义为收入函数R（x）在x处的瞬时变化率，即：在充分接近0时，差商充分接近的常数。这个常数表示，销售量为x个单位时，再售出一个单位产品所增加的收入数。如果是收入函数，是成本函数，那么利润函数。我们可以类似地理解边际利润的意义。例3已知某种产品的成本函数，收入函数.试求销售量时的边际利润（单位：元）。解：利润函数.当时，差商.于是，当充分接近0时，该

20、差商就充分接近一个常数70，它就是销售量时的边际利润数。所以销售量时的边际利润是70.00元。其意义是当销售量单位时，再售出一个单位的产品，收入增加70.00元。（4）抽象概括，直观描述函数的导数根据前面所讨论的直线的斜率、成本函数、收入函数、利润函数及其相应的例子，概括并给出导数的直观描述：一般地，设函数在点处的附近有定义，.我们称为自变量的改变量，为函数的（对应）改变量，比值为函数的差商或平均变化率。如果当充分接近0时，该差商充分接近一个常数，记为，那么叫做在点处的瞬时变化率或导数，此时称函数在点处可导。如果函数在开区间（a，b）内每一点都可导，那么就说在开区间（a，b）内可导。这时，对于

21、开区间（a，b）内每一个确定的点，都对应着一个确定的导数.于是，是的函数，称为函数在开区间（a，b）内的导函数，也简称为导数。利用导数的概念，我们知道：直线的斜率；成本函数的边际成本是；收入函数的边际收入是；利润函数的边际利润是。（5）直观理解导数的几何意义（略）参考文献1中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)M.北京：人民教育出版社,2003.4.2严士健,张奠宙,王尚志著. 普通高中数学课程标准(实验)解读M.江苏：江苏教育出版社,2004.4.3教育部基础教育司,教育部师范司组织.数学课程标准研修M.高等教育出版社,2004.5.4李文林著.数学史概论M.高等教育出版社,2002.8.5张顺燕编著.数学的源与流M.高等教育出版社,2000.9.6刘云章.极限法的哲学思考.中学数学教学参考J,2002，（7）：1-3.7阿.尼.柯莫戈洛夫著.姚芳译.函数是什么J.数学教学，2001,(3):27-30.8张景中著.教育数学探索M.四川教育出版社,1994.8.Analysis the Curriculum Design of Calculus in New Mathematics Curriculum of High school7 / 7文档可自由编辑打印