用傅里叶变换计算衍射的光强分布(共15页)

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1、精选优质文档-----倾情为你奉上 龙岩学院学年论文（设计） 论文题目 用傅里叶变换计算衍射的光强分布 学 院 物理与机电工程学院 专 业 物理学 （光电子技术方向） 年 级 2011级 姓 名 徐武童 学 号

2、 指导教师 兑自强 二0一三年四月十二日 用傅里叶变换计算衍射的光强分布 物理与机电工程学院 11物本 徐武童 指导老师：兑自强 【摘 要】：利用傅里叶变换式计算光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟单缝和圆孔衍射及光强分布，分析计算和模拟结果得知衍射图样取决于缝宽或孔径的大小 【关键词】：傅里叶变换；单缝；圆孔；

3、衍射；光强分布 目录 前言 1 1. 傅里叶变换式 1 1.1一维变换式 2 1.2二维变换式 3 1.3三维傅里叶变换式 3 2. 用傅里叶变换计算衍射的光强分布

4、 4 2.1计算圆孔衍射的光强分布 6 2.2计算单缝衍射的光强分布 7 3. 光强分布曲线 8 3.1单缝衍射的光强分布曲线 8 3.2圆孔衍射的光强分布曲线 9 4. 讨论 10 4.1单缝衍射 10

5、 4.2圆孔衍射 10 总结 11 致谢 11 0 前言 衍射现象是波动光学中的重要知识，光的衍射的定义从广义上说是光在传播过程中，遇到障碍物时产生的偏离几何光学规律从而引起光强重新分布的现象，也称为绕射。该定义指出光的衍射是一种区别于几何光学规律的光的传播现象。当所选光学元件的尺度与波长相当时，光的传播现象明显不同于几何光学所描述的。它也明确给出了产生衍

6、射现象的条件“光波遇到障碍物”，对于任何一束光都会因在空间传播过程中遇到障碍物而使自由波面受损，从而改变波前后振幅，使光表现出衍射行为。 而傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域

7、。 在现代光学发展的今天，如何运用傅里叶方法解决干涉、衍射和成像等问题成了至关重要的部分。 1 傅里叶变换式 1.1 一维变换式 某个空间变量的一维函数，可以表示为无穷多个谐波分量的线性组合： （1） 其中决定各空间频率的贡献的权重因子和分别是的傅里叶余弦和正弦变换式，由下式给出： , (2) 将（2）式代入（1）式中 （3） 由于，上式可改写为 （4） 方括号中的量是的偶函数，因而改变外

8、面的一个积分限得到 （5） 由于，把它与上式相加，并应用欧拉公式，得 （6） 由于可以写为（7） 只要 （8） 式（8）中已令，函数叫做的傅里叶变换式，用下面的记号来表示： (9) 常常把和称为傅里叶变换式。如果是时间的函数而不是空间变量的函数，为了在时域中得到相应的变换式偶，我们只是把换成，再把空间角频率换成时间角频率，即（10） 以及 （11） 1.2 二维变换式 光学中一般涉及的信号，例如孔上的光场或者象平面上的通量密度分布，将傅里叶变换式推广到二维情况有 （12） 或者 （13） 其中和分别是沿坐标轴方向的空

9、间角频率。 1.3 三维傅里叶变换式 将傅里叶变换推广到三维情况有 （14） 以及 （15） 其中，和分别是沿坐标方向的空间角频率。 2 用傅里叶变换计算衍射的光强分布 光是一种电磁波，按的规律随时间传播，电光源发出的是一组球面波，设光源位于坐标原点处，以速度在电容率为的介质中传播，当光到达半径为的求面时，光的场强是的函数，可以表示为 （16） 其中称为波数，为光矢量 点光源从原点出发的球面波，能量密度为 （17） 以表示单位时间内光矢量所在空间的体积，则单位时间内通过整个球面的能量为 （18） 而 （19） 式中是与光源振动有关的常数，是与介质有关的常数，则

10、 （20） 为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项可省去。在光学系统中，光从出射光瞳射出，取光瞳坐标为，观察平面的坐标为，两坐标系相平行，原点在它们的公共垂线上，相距为z。见图（1） 图（1） 光瞳面上任意一点到观察面上的某点p的距离为 （21） 由（20）式知，光是从s点以球面波的形式传播到p点的。如果s点振幅为,则在P点光的矢量为 （22） 为计算球面上p点的光的场强，需要选取包含s点在内的小面元，则 （23） 为便于计算，设光瞳与观察点面相距很远，取,的近似值为 （24） 在远场衍射的情况下，即时 《1 且，则 （25） 式（25）为远场近似情况下的衍

11、射（也称之为夫琅禾费衍射）的公式。 式（25）与式（13）形式完全相同，级光源在p 点的是光瞳函数的二维傅里叶变换式。 2.1 计算单缝衍射的光强分布 当光源为线光源时，式（25）可以演化为 （26） 显然，式（26）和式（11）在形式上完全相同，切有以下对应关系： 式（24）可以记为 （27） 可见，若要求观察平面上的光强分布，只要把表示出瞳光源的光强分布进行傅里叶变换，其中把傅里叶变换的用置换即可。也就是说只要计算出出瞳的傅里叶变换，就能求出观察面上的光强分布。 为简便，把式（26）前的常数省略，则 （28） 如果狭缝上有均匀照度，其值为A,则长度为的狭缝上的

12、振幅为 则 （29） 所以，长为的狭缝光源在观察面上所形成的光强分布为 （30） 2.2 计算圆孔衍射的光强分布 圆孔上的夫琅禾费衍射，在光学仪器的研究中具有重要意义。由（25）式知，在远场情况下，一个任意孔在p点所产生的光的场强分布为 （36） 对于一个圆孔，由于对称性，所以在孔径平面和观察平面上都采用极坐标。因此，令 ，，，（37） 因而微分面元现在是 （38） 把（37）式和（38）式代入（36）式中，得 （39） 由于问题是完全对称的，其解一定与无关，这样可以令求解（39）式。 二重积分中与变量有关的部分，与零阶的（第一类）贝塞耳函数，在形式上完全相似

13、，故（39）式可写为 （40） 由贝塞尔函数的递推关系可知，当时 (41) 其中的只作为虚拟变量。所以，(39)式中的积分部分可记为 则 (42) 所以，圆孔衍射的光强分布为 （43） 3.光强分布曲线 3.1单缝衍射的光强分布曲线 根据式（30），用MATLAB模拟单缝衍射的光强分布曲线，见图（2）。（图a是单缝衍射图样，图b是与之相应的光强分布曲线，波长都为500nm,缝宽分别是0.1mm﹑0.4mm﹑0.8mm） -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 图a（1） 0.5 1 1.5 2 -3 -2 -1.5 -1 -0

14、.5 0 0.5 1 1.5 2 -1.5 -1 -0.5 0 图b（1） 0.5 1 1.5 2 x 10 -3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 （单位：x/m） x 10 x 10 -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 图a（2） 0.5 1 1.5 .8射换B式分析光在玻璃界面偏振度。根据玻璃堆可产生平面透射偏

15、2 -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x 10 -1.5 -1 -0.5 0 图b（2） 0.5 1 1.5 2 x 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 10 -2 （单位：x/m） -3 -3 -1.5 -1 -0.5 0 图a（3） 0.5 1 1.5 2 x 10 -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

16、2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 图b（3） 0.5 1 1.5 2 x 10 -3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 10 -2 （单位：x/m） 图（2） 3.2圆孔衍射的光强分布曲线 根据式（43），用MATLAB模拟圆孔衍射的光强分布曲线，见图（3）。（图c是圆孔衍射图样，图d是与之相对应的光强分布曲线，波长都是500nm,孔径分别为0.1mm﹑0.4mm﹑0.8mm） -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 图c（1） 0.2 0.4 0.6

17、0.8 1 x 10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 图d（1） 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10 -3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 10 -3 -1 -3 -1 （单位：x/m） -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 图c（2） 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10 -3 -1 -0.8

18、 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 图d（2） 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10 -3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x 10 （单位：x/m） -3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 图c（3） 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10 -3 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2

19、0.4 0.6 0.8 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 图d（3） 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x 10 -1 -3 （单位：x/m） 图（3） 4. 讨论 4.1单缝衍射 当时，，,它对应于主极大。于是,光强分布随着值离开零而急速的减弱。当时，那么很小，而，于是光强就是一个常数，线光源也就类似于发射球面波的一个点光源。的极值出现在使为零的值上，即,当时，光强分布具有等于零的极小值，因而从上式还可以看出，即时，也是极

20、值。曲线与直线的交点是两个方程所共有的。因此在这些值上必定有辅峰。有，如果增大缝宽a而又要保持是常数，就需要减小。在这些条件下整个图样将会向主极大聚拢。如果减小也会这样。如光光源发射白光，那么随着的增大，各个颜色的光分量有它自己的极小和辅极大，其角位置有它的波长决定，只有在附近的区域，所欲各种成分的颜色才会重叠在一起而得出白光。 4.2圆孔衍射 为求出图样中心处的（即）的光强分布，令。从上述递推关系（）得出。由于，，所以时，。因此处的光强分布是，则。由于，因而光强分布可以写成的函数：。由于轴对称性，因此高耸的中央极大对应于一个高光强分布的圆形亮斑，叫做爱里斑。中央亮斑被一个暗环包围着，暗环

21、相当于函数的第一个零点。查表知道当即时，。可以把引到头一个暗环的中心的半径当做爱里斑的大小。它由下式给出，焦距，因此，其中D是孔的直径，即。由于与D成反比，所以当D趋于时，爱里斑可以非常之大，一直圆形孔径开始类似于一个球面波的点光源。次极大位于满足条件，从表中可知这些次峰出现在，等于5.14,8.42,11.6等值上；分别从1下降到0.0175,0.0042和0.0016.，由此可以知道84%的光在爱里斑之内，有91%的光在第二暗环以内。 5 结论 利用傅里叶变换式计算光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟单缝和圆孔衍射及光强分布。经过分析计算结果和仿真模拟

22、的图样得知：衍射图样取决于缝宽或孔径的大小，它反映了障碍物和光波之间限制和扩展的辩证关系，限制范围越小，扩张现象愈显著；在哪个方向上限制，就在该方向上扩展。 参考文献 [1]E.赫克特，A.赞斯.光学下册[M].北京：人民教育出版社,1980:682-822. [2]姚启钧.光学教程[M].北京：高等教育出版社，2008:106-109. [3]张世富.用傅里叶变换分析圆孔夫琅和费衍射[J].电子科技大学学报，2004,939-941. [4]董克剑.利用MATLAB模拟光的衍射现象[J].物理教师，2008，29(5),30-32. [5]王竞争等.基于MATLAB的光的干涉和衍射现象的模拟研究[J].延边大学学报，2009,35（4）,319-322. 致 谢 在本篇论文的写作过程中,我的导师兑自强老师倾注了大量的心血,从选题到开题报告，从写作提纲到一遍一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循驯善诱，在此我表示衷心感谢。同时我还要感谢在我学习期间给我极大关心和支持的各位老师以及关心我的同学和朋友。 专心---专注---专业