生物医学测量与传感器2

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1、http:/第一章 测量误差理论与分析q 本章内容1. 概述2. 测量误差的分类3. 测量误差的表示方法4. 测量误差的处理 5. 测量误差的传递http:/q 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 测量概述http:/q 测

2、量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小 。测量概述http:/测量概述q 真值 指被测量在一定条件下客观存在的、实际具备的量值。真值是不可确切获知的，实际测量中常用“约定真值”和“相对真值”。理论真值理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值约定真值约定真值：世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值如：基准米(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)相对真值相对真值：光在真空中1s时间内传播

3、距离的1/299792485 1m=1650763.73标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值http:/测量概述q 示值： 由测量仪器给出的量值，也称测量值或测量结果q 标称值： 计量或测量器具上标注的量值。如温度计上显示的温度q 测量误差 在实际测量过程中，人们对于客观事物认识的局限性、测量工具不准确、测量手段不完善、受环境影响或测量工作中的疏忽等，都会是测量结果与被测量的真值在数量上存在差异，这个差异称为测量误差。http:/测量概述q平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，通常真值是无法测得的。将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限

4、的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 (2) 几何平均值(3) 均方根平均值 以上介绍各平均值的目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。由于数据的分布较多属于正态分布，所以通常采用算术平均值。 nxnxxxxniin 121nnxxxx 21几nxnxxxxniin 1222221均http:/测量概述q 误差公理 一切测量都具有误差，误差自始至终存在于所有科学实验的过程之中。研究误差的目的是找出适当的方法减小误差，使测量结果更接近真值。q 准确度 测量结果中系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度，由于真值未知，准确度是

5、个定性的概念q 测量不准确度 表示测量结果不能肯定的程度，或是说表征测量结果分散性的一个参数。它只涉及测量值，是可以量化的，经常由被测量算术平均值的标准、相关量的标定不确定度等联合表示。q 重复性 在相同条件下，对同一被测量进行多次测量所得到的结果之间的一致性。相同条件包括：相同的测量程序、测量方法、观测人员、测量设备和测量地点等http:/测量误差的分类根据误差的性质和产生的原因，一般分为三类： q 系统误差 在相同测量条件下，对同一被测量进行无限多次重复测量所得结果的平均值A与被测量的真值A0之差。即 系统误差表明了测量结果偏离真值或实际值的程度。系统误差越小，测量就越准确。所以，系统误差

6、经常用来表征测量准确度的高低。 系统误差产生的原因：测量仪器不良，如刻度不准，仪表零点未校正或标准表本身存在偏差等；周围环境的改变，如温度、压力、湿度等偏离校准值；实验人员的习惯和偏向，如读数偏高或偏低等引起的误差。针对仪器的缺点、外界条件变化影响的大小、个人的偏向，待分别加以校正后，系统误差是可以清除的。 0AAhttp:/测量误差的分类q 随机（偶然）误差随机误差是测量结果与在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值A之差。即 其中 随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性，经常用来表征测量精密度的高低。随机误差越小，精密度越高。 偶然误差产生的原因不明，因而

7、无法控制和补偿。但是，倘若对某一量值作足够多次的等精度测量后，就会发现偶然误差完全服从统计规律，误差的大小或正负的出现完全由概率决定。因此，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋近于零，所以多次测量结果的算数平均值将更接近于真值。 AxiiniinxnA11limhttp:/测量误差的分类q 粗大误差 在相同的条件下，多次重复测量同一量时，明显地歪曲了测量结果的误差，称粗大误差，简称粗差。粗差是由于疏忽大意，操作不当，或测量条件的超常变化而引起的。含有粗大误差的测量值称为坏值，所有的坏值都应去除，但不是主观或随便去除，必须科学地舍弃。正确的实验结果不应该包含有粗大误差。 粗大误差无规则可寻

8、，只要加强责任感、多方警惕、细心操作，粗大误差是可以避免的。 http:/测量误差的分类q 精密度、准确度和精确度 反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度（亦称精确度）。它与误差大小相对应，测量的精度越高，其测量误差就越小。“精度”应包括精密度和准确度两层含义。（1）精密度：测量中所测得数值重现性的程度，称为精密度。它反映随机误差的影响程度，精密度高就表示随机误差小。（2）准确度 测量值与真值的偏移程度，称为准确度。它反映系统误差的影响精度，准确度高就表示系统误差小。 精确度（精度） 它反映测量中所有系统误差和偶然误差综合的影响程度。 在一组测量中，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密

9、度也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。 http:/基本理论基本理论(a)中表示精密度和准确度都很好，则精确度高；(b)表示精密度很好，但准确度却不高；(c)表示精密度与准确度都不好。 在实际测量中没有像靶心那样明确的真值，而是设法去测定这个未知的真值。 acbhttp:/测量误差的表示q 绝对误差 由测量所得到的被测量值x与真值x0之差。x 测量误差X检测仪表指示或显示被测参量的数值即仪表读数或示值（测量值）X0在一定时间、空间条件下客观存在的被测量的真实数值（真值） x具有大小、正负和量纲的数值，它的大小和符号分别表示测量值偏离真值的程度和方向。修正值（校正值） 与绝对误差的绝对

10、值大小相等，但符号相反的量值称为修正值，用C 表示 C=- =A-x (满足规定标准度的用来代替真值使用的量值为实际值，用A表示)含有误差的测量值加上修正值后就可以减少误差影响。绝对误差可以说明测量值偏离实际值得程度，但不能说明测量的准确程度。x0 xxxhttp:/测量误差的表示q 相对误差 测量的绝对误差与被测量的真值之比，称为相对误差1、实际相对误差 2、示值相对误差 为了减小测量中的示值误差，当选择仪器、仪表量程时，应使被测量的数值接近满度值，一般使这类仪器、仪表工作在不小于满度值23以上的区域。 用相对误差可以恰当地表征测量的准确程度。相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的数值。

11、%1000 xxA%100 xxxhttp:/测量误差的表示q 引用误差1.引用误差示值绝对误差x与仪表量程L之比值q 2、最大引用误差 仪表量程内出现的最大绝对误差 与该仪器仪表量程L之比值， %100Lxqmaxqmaxx%100maxmaxLxq仪表在出厂检验时，其示值的最大引用误差qmax不能超过其允许误差Q（以百分数表示）即 QLxqmaxmaxhttp:/测量误差的表示q 精度等级 工业检测系统常以允许误差Q作为判断精度等级的尺度。规定：取允许误差百分数的分子作为精度等级的标志，也即用最大引用误差中去掉百分号（%）后的数字来表示精度等级，其符号是G， 精度等级为G的仪表在规定的条件

12、下使用时，它的绝对误差的最大值的范围是 100100maxqQGLGx%maxhttp:/测量误差的表示例子2：测量一个约90 V的电压，实验室现有0.5级0-300V和1.0级0-100V的电压表。问选用哪一块为好? 例子1: 检定一个满度值为5A的1.5级电流表，若在3.0A刻度处的绝对误差最大，xmax+0.2A，问此电流表精度是否合格? http:/测量误差的表示q 有效数字 在科学与工程中，该用几位有效数字来表示测量或计算结果，总是以一定位数的数字来表示。不是说一个数值中小数点后面位数越多越准确。实验中从测量仪表上所读数值的位数是有限的，而取决于测量仪表的精度，其最后一位数字往往是仪

13、表精度所决定的估计数字。即一般应读到测量仪表最小刻度的十分之一位。数值准确度大小由有效数字位数来决定。 当有效数字位数确定后，其余数字舍弃办法是四舍六入，即末位有效数字后边第一位小于5，则舍弃不计；大于5则在前一位数上增1；等于5时，前一位为奇数，则进1为偶数，前一位为偶数，则舍弃不计。这种舍入原则可简述为：“小则舍，大则入，正好等于奇变偶”。 如：保留4位有效数字 3.832123.832; 5.325535.326 9.564839.565 7.322547.322 http:/随机误差的处理q 随机误差的处理1.随机误差的分布规律 1.1正态分布正态分布的测量值的概率密度为 正态分布的随

14、机误差的概率密度为 正态分布的随机误差的统计特点：1）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多，这是误差的单峰性。（2）绝对值相等的正误差或负误差出现的次数相当，这是误差的对称性。（3）极大的正误差或负误差出现的概率都非常小，这是误差的有界性。（4）随着测量次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。这叫误差的低偿性。 20)(21exp2)(1)(xxxxxf2)(21exp2)(1)(fhttp:/随机误差的处理 随机误差在区间内取值的概率为1。标准偏差越小，正态分布曲线越陡，则小误差出现的概率也越大，大误差出现的概率就越小，这意味着测量值越集中。因此，的大小说明了测量值的离散性，即测量值

15、相对于真值的分散程度。 1.2、均匀分布 特点是误差均匀地分布在某一区域，在此区域内误差出现的概率密度处处相同。而在该区域以外误差出现的概率为零。 1/2()( )0(,)aaafaa http:/随机误差的处理2.2.被测量真值和测量方差的估计值被测量真值和测量方差的估计值 (1)被测量真值的最佳估计值 通常把测量数据的算术平均值 作为被测量真值 的最佳估计值 ，即 把测量值与算术平均值之差称为剩余误差，简称残差，即 (2)方差的估计值 (3)标准偏差的估计值： X0X0XniiXnXX101XXiiniiniiXXnnX12122)(1111)(niiniiXXnnX1212)(1111)

16、(http:/随机误差的处理q 算术平均值的标准偏差及其估计值 算术平均值的标准偏差为 算术平均值的方差估计值 算术平均值的标准偏差估计值 在实际测量中，一般取n次左右即可 nXX)()(22 () ()XXn()()XXnhttp:/随机误差的处理例子：甲、乙二人分别用不同的方法对同一电感进行多次测量结果如下（均无系统误差及粗差）： 甲 (mH)：1.28，1.31，1.27，1.26 ，1.19 ，1.25 乙 (mH)：1.19，1.23，1.22 ，1.24， 1.25，1.20试根据测量数据对他们的测量结果进行粗略评价 http:/随机误差的处理q 测量结果的置信度与表示方法1、置信

17、度测量结果值得信赖的程度。随机变量的“置信度”，通常用随机变量落于某一区间（称“置信区间”）的概率（称“置信概率”）来表示。2、置信区间：测量数据的取值范围即置信区间为 随机误差的取值范围即置信区间为3、置信概率：随机变量落于 “置信区间”的概率。测量数据落入置信区间的概率等于随机误差落入置信区间的概率。aXMaXM)(,)(, aaaXMXPaPPc)(http:/随机误差的处理q 置信度的计算 正态分布之测量数据的置信度 有限次测量情况下的置信度通常采用分布来计算置信概率。 CcdP0222exp22()()()()XM XXM XtXXn 随机变量的概率密度服从分布。t分布的一个重要特点

18、是其分布与 无关。当测量次数n较小时，t分布与正态分布的差别较大，但当 时，分布趋于正态分布。置信概率 ： t落在区间（ ， ）的概率 n0( )2( )tttKKtKP tKf t dtf t dtcPtKtKhttp:/随机误差的处理习题： 对某电源电压进行8次独立等精密度、无系统误差的测量，所得数据(单位为V)为：12.38，12.40，12.50，12.4812.4312.4512.46，12.42。试按置信概率99.5估计电压真值在何区间。 http:/系统误差的处理q 系统误差的处理（一）系统误差的分类 一、恒定系差在整个测量过程中，误差的大小和符号固定不变。二、变化系差 是一种按

19、照一定规律变化的系统误差。根据变化的特点又可分为1、累积性系差2、周期性系差3、复杂变化系差（二）判断系统误差的方法一、实验对比法只适用于发现恒定系差。二、剩余误差观察法主要适用于发现变值系差三、马利科夫判据用于发现累积性系差。 四、阿卑赫梅特判据用以发现周期性系差。 http:/系统误差的处理（三）（三） 系统误差的消除方法系统误差的消除方法一、消除产生误差的根源二、对测量结果进行修正三、采用特殊测量法 (1）零值法 (2) 替代法 (3) 交换法 (4) 补偿法 （5）微差法（虚零法） http:/误差传递q 每一个分析结果，都是要通过一系列的测量操作步骤后获得的。每一个分析结果，都是要通

20、过一系列的测量操作步骤后获得的。而其中的每一个步骤可能发生的误差都会对分析结果产生影响，而其中的每一个步骤可能发生的误差都会对分析结果产生影响，称为误差的传递称为误差的传递http:/误差传递的形式q 误差传递的形式分析结果计算式多数是加减式和乘除式，另外是指数式。误差传递包括系统误差的传递和偶然误差的传递。下面分别讨论：（1）系统误差的传递（ 2）偶然误差的传递http:/系统误差的传递q 系统误差的传递 A. 加减运算加减运算 设：设： R R为为A A，B B，C C三个测量值相加减的结果三个测量值相加减的结果 E E为各项相应的误差为各项相应的误差 E ER R为分析结果为分析结果R

21、R的误差的误差 如：如： ， 则：则： 分析结果的绝对误差分析结果的绝对误差 E ER R等于各个测量值的绝对误差等于各个测量值的绝对误差的代数和或差。的代数和或差。RABCRABCEEEEhttp:/系统误差的传递q B 乘除运算设：设：R为分析结果为分析结果A，B，C三个测量值三个测量值 相乘除的结果，如计算式是：相乘除的结果，如计算式是： 则得到：则得到：A BRC 分析结果的相对误差，是各测量步骤相对误差的代数和（即：分析结果的相对误差，是各测量步骤相对误差的代数和（即：在乘法运算中，分析结果的相对误差是各个测量值的相对误差之在乘法运算中，分析结果的相对误差是各个测量值的相对误差之和、

22、而除法则是它们的差）。和、而除法则是它们的差）。CRABEEEERABChttp:/系统误差的传递q C 指数运算 如果分析结果R与测量值A有下列关系： ，则其误差传递关系式为：nRmA有指数关系分析结果的相对误差，为测量值的相对误差的指数倍。RAEEnRAhttp:/系统误差的传递q D 对数运算如果分析结果R与测量值A有如下关系： 其误差传递的关系式为：lgRmA0.434AREEmAhttp:/随机误差的传递q 随机误差的传递A加减运算 计算结果的方差（标准偏差的平方）平方是各测量值方差的平方和，如 ，则：RABC2222RABCSSSShttp:/随机误差的传递B 乘除运算计算结果的相对标准偏差的平方是各测量值相对平均偏差平方的和，对于算式 ，则：ABRC2222CRABSSSSRABChttp:/随机误差的传递C 指数运算对于 ，结果的相对偏差是测量值相对偏差的n倍，即：nRARASSnRAhttp:/随机误差的传递随机误差的加减混合运算对于一般的情况： RaAbBcC分析结果的标准偏差的平方是各测量步骤标准偏差的平方与系数平方乘积的总和。2222222RABCabcSSSShttp:/q 提高分析结果准确度的方法提高分析结果准确度的方法1.选择合适的分析方法 2.减小测量误差 3. 减小随机误差 4. 消除系统误差