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1、由数引形，以形助数-数形结合解决不等式和方程问题江苏省扬中高级中学 王海棠 函数有两种主要表示方法：解析法和图像法。解析法是通过“数（式）”的形式准确地表示出函数的自变量和应变量之间的等量关系，而图像法是从“形”的角度直观形象地刻画了函数的变化规律。这两种表示方法是同一个函数的两种不同表现形式，这也就决定了我们对函数的研究要多从这两个角度入手，让这两者相辅相成。而不等式和方程其实就是在不等号和等号的两侧放置不同的函数，一般出题的形式是以研究这两个函数表达式之间的关 系为主，解决这类问题需要由数（式）引形，以形助数即用数形结合的方法解决这类问题。 下面就举例说明如何用这一思想方法解决函数中常见的
2、含有参数的不等式恒成立，不等式存 在问题，以及函数的零点等相似，相通的问题。一不等式存在和恒成立问题例1. 已知函数 （1）求函数的单调区间；（2）在区间内存在，使不等式成立，求的取值范围。【解析】该不等式有四种等价形式：不变形：参变分离： 移项让不等式的一边为0：不等号两侧均为常见初等函数：不管是哪种变形形式，均是研究左侧函数图像存在位于右侧函数图像下方的部分。故只要能够模拟出两函数的图像，就能解决这个问题。上面四种变形对应的各自解法如下：解法一：由第一问可知：当时，单调递增；是斜率为1，纵截距为的动直线。由图观察可知，当动直线与的图像相切为临界位置。令此时；故解法二：令，易求得当当，单调递
3、增；所以， 解法三：参数在常数项上，故左侧函数的单调性与解法二中相同，解法同上解法四：令，由图像观察可知当直线与对数函数相切时有临界值，同解法一。上述四种解法，解法一是顺着第一问的解题思路而来，自然而然；解法二和三右侧均是常函数，左侧函数的图像只要能模拟出来，就很容易的找到位置关系；解法四是以初等函数的图像为前提，但也有一者为直线型函数，便于考察两图像的位置关系。这四种解法本质上来讲均是通过函数表达式来确定函数的图像，数形结合求解，要“以形助数”；但到底是哪两个函数的图像就看原不等式如何变形，要“由数（式）引形”。例2. 已知函数，求所有的实数，使得对任意时，函数f(x)的图像恒在函数的图像的
4、下方。【解析】原命题等价于即对任意的恒成立。其中和均是研究具体常函数与带参函数的图像关系，但是分类讨论是学生不易掌握的；是研究两初等函数的图像，图像易画，但是临界关系难处理；采用的是参变分离法，右侧定系数函数易求最值。求解略。 二函数的零点问题例3. 若是定义在上的奇函数，当，若函数f(x)在其定义域上有且仅有四个不同的零点，求实数a的范围。【解析】原命题等价于当有两个不等的实根。该方程有三种不同的等价形式：不变形：两侧均为初等函数：参变分离：只需要考察两侧函数图像的交点个数即可。解法一：令（1）若，则在上单调递增，显然不会与x轴有两个不同的交点，故舍去。（2）若单调递增，当单调递减；故，解得解法二：由两初等函数的图像可知，当直线与相切是临界位置，直接可得解法三：令单调递增，当单调递减，且当时，故 上述三类问题，其核心方法是相同的：由数（式）引形，以形助数，即数形结合。上述问题的出题形式也可以在这三者中随意转化，如例1可改成恒成立命题，也可改成方程根的个数问题。因此我们在函数的教学中，需要时刻向学生渗透“数形结合”的思想，提高学生的思维能力和数学素养，才能让学生不被“形”所累，起到事半功倍的效果。
用函数方法解决不等式和方程问题
