分形与分形维数

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1、分类号0469 学校代码10495UDC 530 学 号 0145023006武汉科技学院硕士学位论文无序系统中的分形生长研究作者姓名：田志华指导教师：田巨平 教授学科门类：工 学专 业：机械设计及理论研究方向：分形与多孔介质完成日期：二零零七年四月Wuha n Uni versity of Scie nee and Engin eeri ngM. S. Dissertati onThe study of fractal growthin disorder systemByTIAN Zhi-huaDirected byProfessor TIAN Ju-p ingApril 2007独创性声明

2、本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名:签字日期： 年 月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解 武汉科技学院 有关保留、使用学位论文的规定。特授权 武汉科技学院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘。

3、（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）学位论文作者签名：签字日期： 年 月 日导师签名：签字日期： 年 月 日论文题目：无序系统中的分形生长研究专业：机械设计及理论硕士生：指导老师：摘要本文首先概述了分形理论的发展，分形和分形维数的定义，以及产生分形 的物理机制与生长机制。简要介绍了模拟分形生长的扩散置限凝聚(DLA)、电 介质击穿(DBM)、粘性指延(Viscous Fingering)、渗流等模型。本文采用映射 膨胀法 构造了两 种不同的Sierpinski地毯，运用Monte Carlo方法研究了两种Sierpinski 地毯中的有限扩散凝聚(DLA)生长。根据“种子”设置的不同情况，

4、采用DLA模型，通过计算机模拟获得了两 种Sierpinski地毯在不同“种子”情况下DLA生长的斑图结构，计算他们的分形维数，获得多重分形谱，并得到 下列主 要结论。(1) “种子”为点的情况：我们发现不同空间中DLA生长的斑图结构有着差别：欧氏空 间中DLA生长 的斑图结构具有明显 的空间对 称性，而两种Sierpin- ski地毯中DLA生长的斑图结构都存在空间对 称性破缺。不过由于 U型地 毯的 空间结构要比I型 地毯的空间结构更具有对称性，故两种Sierpinski地毯中DLA生长的 斑图结构的对 称性 破缺 程度不一样。U型 地毯中DLA生长 的斑图 结 构仍还具有类十字结构的特点

5、，而I型地毯中DLA生长的斑图结构不存在类十字结构。I型地毯 DLA生长的厶:(多重分 形谱谱宽)要比U型Sierpinski地毯DLA生长的小很多，表明I型地毯DLA生长的质量 分布要 比U型地毯 DLA生 长的质量分布均匀；f 0(多重分形谱的最大、最小概率子集维数之差)意味着最大概率子集占据主导地位(2) “种子”为线种的情况：虽然两种Sierpinski地毯的斑图结构有所不同，但是他们的 DLA生长的斑 图结 构具有相似 性。U型 地毯DLA生长的要比I 型地毯DLA生长的小很多,表明U型地毯 DLA生长的质量 分布要 比I型地毯 DLA生长的 质量分布均匀;f 0意味着最 大概率子

6、集占据主导 地位。本文还采用孔 洞位置 随机化的 方法构造 的随机Sierpinski 地毯，并给出随 机Sierpinski地毯中DLA生长 的斑图结构。另外对于逾渗集 团,我给出了在不同占据概 率P下的逾渗集团 DLA生长的斑图结构，以及他们的分形维数，并且得出随着占据概率P 的不断增大，总体来说，逾渗集团DLA生长的维数D越来越大，有一种上 升的趋 势。最后获得了各 向异性DLA集团的 标度性质 以及线种 DLA集团的 标度性质。关键词： 分 形； 多重 分形 ； Sierpinski 地毯； Monte Carlo 方法；逾渗研究类型： 理论研究Subject : The study

7、of fractal growth in disorder systemSpecialty : Machine design and theoriesName :Instructor :ABSTRACTFirstly, We generalize the development of fractal theory, the definition of fractals and fractional dimension, and the physical mechanism of the fractal occurre nee. Then, the Diffusio nLimitedAggreg

8、ati on(DLA), DielectricBreakdown (DBM),ViscousFingeringand Percolationmodels are introducedsimply.And the n, We con struct two differe nt kinds of Sierp in ski carpets by means of the Mapping Dilation Method in the artical, and apply Monte Carlo method to study DiffusionLimited Aggregation ( DLA ) g

9、rowth in two different kinds ofSierp in ski carpets. Based on the differe nt sett ing seed, patter n structures about DLA growth in two differe nt kinds of Sierp in ski carpets are obta ined by computer simulation, count their fractal dimension, obtain their multifractal spectrum and mai n con clusi

10、 ons are summarized as follow.(1) Seed for point of circumstanee: The research discovers that pattern structures about DLA growth in differe nt kinds of space have dist in ctio n: pattern structure about DLA growth in Euclidea n space has obvious space symmetry, but pattern structures in two differe

11、 nt kinds of Sierpi nski carpets have symmetry break. However want to has symmetry more than the space structure of theI type carpetbecause of the space structure of the n type carpet, in two kinds of Sierp in ski carpets DLA growth of pattern structure of the symmetry break to lack degree different

12、. There is similar to cross structure in n type carpet, but the cross structuredisappear in I type carpet. (the width of MultifractalSpectrum )in I type carpet is much smaller than in n type carpet, the result show that the pattern in I type carpet becomes less irregular and less nonuniform;f 0 (the

13、 gap of maximal probability subclass and minimal probability subclass )mea ns maximal probability subclass to occupy a predo minance positi on.(2) Seed for lineseed of circumstanee: Although the pattern structures in two kind of Sierpinski carpets have a little differenee, they are similar.in n type

14、carpet is much smaller than in I type carpet, the result show that the pattern structure in n type carpet becomes less irregular and less nonuniform; ：f 0 means greatest probability subclass to occupy a predo minance positi on.By means of hole-positi on ran domiz ing method, to build the ran dom Sie

15、rp in ski carpet, and obta in the pattern structure, in the fourth chapter.We introduced to the formationprocess of percolation cluster briefly in thefifth chapter. We afford to pattern structures about DLA growth in different occupied probability P in percolation cluster, count their fractal dimens

16、ion, and obta in the fractal dime nsion in crease with the occupied probabilityP in crease.Fin ally, we obtai n the scali ng behaviour of ani sotropy diffusi on DLA cluster and DLA cluster with lin seed.Key words : fractal; multifractal; Sierp in ski carpet; Monte Carlo method; percolati onThesis :

17、Theories research目录目录1. 绪论11.1引言11.2 非欧氏几何学11.3分形的提出31.4 本文的主要研究内容42. 分形与分形维数52.1 分形原理概述52.1.1 分形的定义52.1.2 分形的两个重要特征62.1.3 分形的分类62.1.4 分形维数的定义72.1.5 分形维数的测定92.1.6 分形的实际应用142.2 多重分形162.2.1 多重分形的理论方法162.2.2 本文采用的多重分形的计算理论182.3 多重分形维数计算程序192.4 本章小节193. 产生分形的物理机制与生长模型203.1 产生分形的物理机制203.2 分形生长模型213.2.1 分

18、形生长的基本模型213.2.2 分形生长的其他模型223.3 本章小节244.Sierpinski 地毯中有 限扩散 凝聚标度性质 254.1 DLA 生长的 Monte Carlo模拟254.2 Sierpinski地毯的构造274.3模拟方法294.3.1 “种子”为一 点的情况 294.3.2 “种子”为线种的情况 294.3.3 图形比较314.4 两种“种子”情况下不同Sierpinski地毯DLA生长比较314.4.1 分形维数314.4.2 q,Dq图314.4.3 ： , f （： ）图334.5 随机 Sierp in ski地毯354.5.1 随机 Sierpinski地毯

19、的构造 354.5.2 模拟方法364.6 本章小节375. 逾渗集团中的有限扩散凝聚的标度性质385.1 逾渗集团的构造385.2 模拟方法与维数385.2.1 模拟方法385.2.2 分形维数405.3 本章小节406. DLA集团的标度性质 416.1各向异性扩散DLA集团的标度性质416.1.1 各向异性扩散方程416.1.2 各向异性扩散DLA的分形维D 426.2线种 DLA集团的标度性质 426.2.1 模拟方法与分形维426.2.2 q,Dq图、，f（）图与多重分形谱参数 456.3 本章小节46总结与展望47附录 A 49附录B 51参考文献52致谢55攻读硕士期间发表的论文

20、56III1绪论1绪论1.1引言“分形“学科是由 法国数学家Mandelbrot提出并发展 起来的一门新的数 学 分支，它被用来描述自然界的不规则以及杂乱无章的现象和行为。分形现象广 泛存在于自然科学和社会科学的众多领域，分形几何的 应用对自然科 学和社会科学的发展产生了深远的影响，正因为如此，人们说“分形是大自然的几何学”，“分形处处可见”3-4。为了描述分形的生长机理，许多模型5-9已经被提出，但是最基本的模型还 是 Witte n 和Sa nder提出的有限扩散凝聚（DLA）模型5。Jen sen ， Mathiese n 和 Procaccia 研究了 DLA 的调和测度10， Fer

21、reira ， Marti ns 和 Vilela 研究了 一个改进型的 DLA模型11，Goold，Somfai和Ball研究了三维空间中各向异 性DLA凝聚12，Sander和Somfai研究了楔子几何学的DLA 13，Alves 和 Ferreira 分析了 DLA模型和弹射模型的标度性质14。1.2非欧氏几何学欧氏几何学是一 门具有2000多年历史的 数学分支，他是以规 整几何图形 为 其研究对象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与线段；平面与平面 上的正方形、矩形、梯形、菱形、各种三角形以及正多边形等；空间中的正方体、长方体、正四面体等等另外一类就是曲线或曲面所组成的几何图形。

22、这些点、直线、平面图 形、空 间图形的 维数（欧 氏维数）分别为0、1、2和3。这 种维数只取整数，是拓扑学意义下的维数15，它反映的是为了确定一个点在空间的位置所需的独测量是指对其长度的测量是以其长度立坐标 的数目或 独立方向的数目16。对规整几何图形的几何（边长、周长等）、面积与体积的测量。而且对这些几何图形为基础 的。在欧氏 几何中对 规整几何图 形的测 量，可以用 下 面的表达式来进行 表示:长度=l面积A=al体积V=bl式中a和b为常数，称为几何 因子，与 具体的几 何图形的形 状有关。当几何图形的周界曲线或曲面可以用解析函数给出时，几何量的计算可以 用微积分给出。由此可见，微积分

23、是以欧式几何为基础的，它所给出的几何量(长度、面积和体 积)的量纲分别是长度单位的1，2和3次方，它们恰好与 这些几何图形存在的空间的欧氏维数相一致，而且均为整数。以上所讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自 由度数是一致的。图1.1所示为科 赫(Koch)曲线的形成 过程，即 取一单位长 直线段(n= 0 )，将其三等分，舍去中间的一段，而代之以底边在被舍去线段上 的等边三角形的另两边，这样形成n = 1级，即Koch曲线的生成元；接下来对n = 1级的曲线中的 每一段 实施如前 的步骤，得到n = 2级曲线，以 此往复，便 得到科赫曲 线。科赫曲线属于自相似(simil

24、arity)的，但 是其处处都 不能微 分，这类图形被称为非规整几何图形。此夕卜，属于这一非规整几何图形的 还有康托尔(Ca ntor)集，谢宾斯基(Sierpi nski)集等，在非规整几何中，其基本均呈现出 不光滑或不规则形状的集 合(或无序系统)，只有极少数可以被当作个别的特例,可以利用一般理论进行研究，而在多数情况下，以欧氏几何和黎曼几 何为代表的传统几何学对它们是无能为力的，因此研究人员将这些集称之为病态几何图形17，在很长一段时间里都认为它们是不值得研究的而不予以理睬。然而大自然或日常生活中有 很多这 样的系统，它们的图形是如 此的不规则 和支离 破碎，具有较高程度的复 则集比经典

25、的几何 回避了大自然中很杂性，且拥有完全不同层次的复杂度。也就是说，这些不规 图形能 更好的反 映许多自然现象，运用传统的方法 就意味着 多更为本质的东西，也就不能从更深的层次解释自 然界的 人员必须加紧对 这些非欧 氏几何图形 的研究。变万化、瑰丽多彩，因此研究 究非规整几何图形为了正确对 非欧氏几何图形进行表述，必须从根本上考虑维数的问题, 此研究人员提出了 维数有密切关系的就以科赫曲线为 每一线段的长度为 方法一个阶段一个 的形状来代替被取的几何学是非欧几里德几何学的一种。不少关于维数的定义，相似维数就是其 一个。例，当n = 1是为产生科赫曲线的第一 1/3，线段的数目 N二4,曲线的

26、总长度 阶段地 代的线中最易理解且与分继续进行下去。在每一阶段中取段。用Ds表示科赫曲线 的相似维 数，则有:Ds= ln 4/ln 3 = 1.2628数值不一定是整数。阶段。在这条曲线中，L(1/3) = 4/3。按这种代的线段按比例缩小即，对相似维数而提出相似维数是把经验维数扩大为非整数值的划时代的进展，但是由于其 相似性 的有规非 欧氏几何 图形适用，因此其适用范 围非常 有 括随机图形在内的任意图形。仅对具有严格的自 限，不能适用于包1.3分形的提出在自然界中，许多物体的形状和现象十分复杂：崎岖的山岳地带，纵横交 错的江河流域，蜿蜒曲折的海岸线，夜空繁星的分布，奇怪形状的积云，小至

27、如尘粉的飘逸，分子与原子的无规运动的轨迹等等。关于这些形状和现象，欧氏几何毫无办法对它们作出合乎 逻辑的解 释。正如Mandelbrot所说的“云不是球，山岳不是锥体，海岸线不是圆，树皮不是光滑的，闪电也不是沿直线传播 的”自然界的大部分都不是有序的、稳定的、平衡的和确定性的，而它们是 处于无序的、不稳定的、非平衡的和随机的状态之中，其存在着无数的非线性 过程，在这个非线性的世界中，随机和复杂性是其主要的特征。但是同时，在 这些极为复杂的现象背后，还存在 着某些规 律性。“分形” (fractal) 一词是由 哈佛大学 曼德勃罗特(Benoit B. Mandelbrot)教授于1975年1,

28、2首先提出的，是为高度不规则的集合给出的命名，其原义是“不规则的、 分数的、支离破碎的”物体，这一名称是 在参考 拉丁文fractus(弄碎 的)后创造的，其含意和 fracture(断裂)和fraction(分数)均有联系，它的意 思为“碎片的”和“不规则的”。分形几何是一门几何学，它研究的对象是欧氏空 间的一类子集，这类子集结构较为复杂。分形是非线性科学中的一个前沿课题，它直接从非线性复杂系统的本身入手，从未经过简 化和抽 象的研究对 象本身去认识其内在的规律，这是分 形理论与 线性近似 处理方法本 质上的 区别，大量 事实表明，自然界广泛存在着分形。到目前为止，分形已经被广泛应用于物理学

29、但19、化学20、生物学0、地质学22、气象学23以及材料科学24等领域， 分形几何己经成为非线性 科学的重 要组成部 分。1.4本文的主要研究内容本文的主要研究内容包括 如下几个 方面：在第二章，本文介绍了分形理论的概念、分形的特征、分形的分类、分维 及其测量方法、分形的应用，多重分形的 理论及其概 念。在第三章，本文 介绍了分 形的物理 机制及其分 形的生 长模型。在第四章，本文 重点研究了在几种Sierpinski地毯中的DLA生长的斑图结 构、分形维数及其 多重分 形谱。在第五章，本文重点研究了在不同概率下的逾渗集团中的DLA生长的斑 图结构、分形维数。在第六章，本文 重点研究了各向异

30、性 DLA的Laplace方程，线种DLA的标 度性质。32分形与分形维数2分形与分形维数2.1分形原理概述2.1.1分形的定义分形是指一类介 于有序和 无序，微 观和宏观之 间的中间状态。定义1 :如果一个集合在欧氏空间中的Hausdoff维数Dh恒大于其拓扑维 数Dt，即DhDt则成该集合为分形 集，简称为分形。这个定义是有 Mandelbrot在1982年提出的，四年以 后，他又提出了一 个 实用的定义：定义2:组成部分以某种方式与整体相似的形体 叫分形。对于定义1而言，一方面在数学上是比较抽象的，不 是很直观，另一方 面 这一定义又将一些 明显的 分形集排 除在外了，因此，这一 定义存

31、在有 很多明显 的不足。对于定义2而言，突出了分形的“自相似性”，既通俗又直观，很受实验科学家的欢迎，但 它并没有从数学的角度为分 形下一个严 密的定 义，而且没 有说 出分形应有的其它 性质，如分 形体无限可 分为自相 似部分等。因此，从这个角 度而言，这个关于 分形的 定义也是 不完善的。原则地讲，分形是一些简单空间上的一些“复杂”的点的集合，这种集合 具有某些特殊的性 质，首先 它是所在 空间的紧 子集，并且 具有下面列 出的典 型 的几何性质17:(1) 分形具有精细的结构，即有任意小比例的细节。(2) 分形是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的 几何语言来 描述。(3) 分

32、形通 常有某种自相似的形式，可能是近似 的或统 计的。(4) 分形的“分形维数” 一般大于它的拓扑维数。(5) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形可以以非常简单的方法来定义，可 能由迭代产生。(6) 通常分形都具有“自然”外貌。对于各种不同的 分形，有 的可能同 时具有上述 的全部 性质，有的 可能只 具 有上述条件中的大 部分性 质，而对某 个性质出 现例外，但 这并不影响 研究过 程 中把这个集合称为 分形。类似地，Edgar在1990年给出了一 个分形的粗略定义 25，即：“分形集就是比经典几何考虑的集合更不规则的集合。这个集合无论被放大多少倍，越 来越小 的细节仍 能看到”。要注意的一点

33、是，自然界和各门类应用科学中涉及的分形，绝大部分都是 近似的，当尺度缩小到分子的尺寸时，分形也就消失了，严格的分形只存在于 理论研究之中。由此可见，分形的严格定义仍然是一个没有解决的问题，这一 定义需要有足够的 宽度以包括所有 特殊情形，但又不能 太宽以防止 与其他领域 的定义相混同。认识从实践开始，新的概念往往从现象、经验中归纳出来，然 而归纳法在逻辑推 理上要得到准确的结论，通常需要附加一些条件，不似演绎 法从简单的公理推出准确的结论。直到现在，也还有人 在继续讨论 分形的 严格定义，甚至出现了 一个新的学科分支：分形几何和分形理论命名学。2.1.2分形的两个重要特征自相似性和标度 不变性

34、是 分形的两 个重要特性。一个系统的自相 似性又称 为扩展(dilation)对称性1, 26，是指某 种结构或过程的特征从不同的局域性质或局域结空间尺 度或时间尺度来看 都是相似 的，或者某系统 或结构的 构与整 体类似。如科赫 曲线等。所谓标度不变性，又称之为伸缩对称性，是指在分形上任选一局部区域, 对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特性。如天空中的积 雨云，将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发 生变化。2.1.3分形的分类当系统的自相似性表现在几何结构和形态上时，称为几何分形。具体到分 形几何学，其主要内容可以分为线性分形和非线性分形两部分，线性

35、分形理论 的基本观点是维数的变化 是连续的，研究的对 象具有自相 似性和 非规则性。线性分形又称为自相似分形，它研究在所有方向上以同一比率收缩或扩展一个几何图形的线性变换 群下图形的性质，在一定范 围内，由一 个分形维数 就可以加 以描述。线性分形又可分为有规分形和无规分形两类。非线性分形研究的是在 非均匀线性变换 群或非线性变换群下几何 图形的性质，它又可以分 为自仿射分 形(非均匀 线性变换群)、自反演分形(非线性变 换群)和自平方分形(非线性 变换 群)。在线 性分形中，与 线性分形 最接近的 是自仿射分 形(Self-affine Fractal)， 仿射是非均匀的线 性变换，而相似是

36、均匀的线性变换，是仿射的特例。在分形几何学中，在用变换定义分形时，为与其他非均匀线性变 换群和非线性变换 群相区别，把均匀线性变换群作用下的分形一自相似分形 称为线性分 形，其余的线性分形(均匀线性变换):有规分形:无规分形自仿射分形自反演分形自平方分形均称为非线性分形 ，可用下面的图例表示：分形几何非线性分形(非均匀线性变换群和非线性变换群)规则分形又称决定论的(deterministic)分形，它是按一定规则构造出的具有 严格自相似性的分 形，在 现代文 献中谈论 最多的规则 分形有：Can tor集、Koch 曲线、谢尔宾斯基(Sierpinski)集等。无规分形，它是在生长现象中和许多

37、物理问题中产生的分形，其特点是不 具有严格的自相似性，只是在统计意义上是自相似的。如渗流集团无规行走 (RW)、自回避无规行走(SAW)、晶格动物(LatticeAnimals)。检验一个对象是 否为无规分形，主 要的办法是检验它的标度不变性。2.1.4分形维数的定义表征自相似系统或结构的定量性质是分形维数，分形维数可用来度量一个 对象的不规则性和 碎裂程度。分形集的维数有多种多样的 定义，都是 根据需要 引进的，理论上分形具备无穷多维数，常见的有以下几种。它们各自有不同的 定义以及不同的应用，究竟应该使用哪种维数定义要看系统的特性和问题的方便而定。(1) 相似维数D s设分形整体 S是由N个

38、非重迭的部分 s1，s2，sn组成，如果每一个部 分Si经过放大1/ri倍后可与S全等(0 ri Dh。(6)谱维数D在研究具有自相似分布的 随机过程，如研究作 随机行走的 粒子的 统计性质，以及可用渗流模型来描述 的多孔介 质、高聚物 凝胶等问题 时，引入了谱维数D，又叫做分形子维数。斯达普尔顿等人测 定了蛋白 质的分形子 维数D。分形子维数D定义为：D 1() f(2.7)这里3为蛋白质链振 动频率，P( CD )是振动的态 密度。填充维数D p1982年Trieot提出了填充维数，填充维数与Hausdorff维数有着类 似之处， Hausdorff维数是利用最少的小球覆盖去定义。而由半径

39、小的互不相交的小球 尽可能稠密的填充 所定义 的维数就 称之为填 充维数。(8)分配维数D d(2.8)曲线的分配维数至少等于计盒维数(假定它们都存在)，在简单的自相似集 的例子中，它们是相等的。英国海岸线的维数为1.2的结论一般是利用分配维数算出的。(9) Lyapunov 维数 Di 通常用Lyapunov维数来描述混沌吸引子的特征。它定义为：Di = j (打+扎/坷(2.9)这里入i，入2，入n是Lyapu nov指数，j是入1，入2，入n中从大到 小排列时最小负值的下标号。2.1.5分形维数的测定分形维数是分形结构的重要参量，理论工作者致力于分析各种分形结构和 过程，以计算出表征它特

40、征量的分维数；实验工作者则用实验方法测定分形结构和过程的分维数 ，借以和 它的性能相关联，或进一步探讨分形结构形成的物 理原因。由数学严格迭代产生的分形，可直接由定义出发确定其分形维数，然 而对无规分形，则需要通过其他方法求出有关的量，对某些物质系统则还需要通过实验手段来确定其分形特征和确定分形维数。虽然有多个详尽计算维数的特例，但至今还没有计算分形维数的系统化普适方法，实际的测定分维数的方 法，大致可以分成如下五类：(1) 改变观察尺度求维数；(2) 根据测度关系求维数；(3) 根据相关函数求维数；(4) 根据分布函数求维数；(5) 根据频谱求维数。2.1.5.1改变观察尺度求维数这一方法是

41、使用圆、球、线 段和正方形、立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形，如使用长度为一定值r的线段集合近似海岸线那样的复杂 曲线。先把曲线的一端作为起点，然后以此点为中心画一个半径为厂的圆，把 此圆与曲线最初相交的点 和起点用 直线连结 起来，再 把此交点重 新看作 起点，如此重复同样的操 作。用这一方法 近似海岸线时，把测得的线 段总数记作 N(r)。 改变基准长度 r，则N(r)也要改变。如果海岸线是笔直的，贝1丄N(r) r(2.10)r关系式成立。但这一表达式对形状复杂的曲线是不适用的。以图1.1所示的科赫曲线为例，我们知道，N(1/3)=4, N(1/3)2 =42,，N(1/3)

42、k=4k这一关系是 满足的，也就是说，因(1/3) 4 og =4，可以得出：(2.11)N(r) 乂o3gN(r)工 r式中的指数Io d与Koch曲线 的相似维 数和Hausdorff维数都相同。同时，式(2.10) 中的r指数1也与直线的维数一致，因此，一般情况下，如果某曲线具有：(2.12)关系，即可称 D为这一曲线的维数。对海岸线 和随机行 走轨迹的分 形维数 的测 定，多采用这一方法。将这一方法进行扩展，即可适用于二维和三维的情况，同时也适用于计算机的计 算。其方 法为：把平面或空 间分割 成边长为r的细胞，然后来数所要考虑的形状 中所含的细胞数N(r)。以求算平面上点的分布的分形

43、维数为例， 首先用间 隔为r的格子把平面分 割成边长为 厂的正方 形，数出此平 面上至少包含一个点的正 方形的个 数，并将此数记为N(r)，如果 当r取不同的大小时，则式(2.12)成立，则D就是平面上 点的分布的 维数。这一方法不仅适用于曲线和点的分布，也适用于像河流这样有大量分岔的 图形，是个非常有用的方 法。2.1.5.2根据测度关系求维数这一方法是通过 利用分形 具有非整 数维数的测 度来求 解维数的。如果把一 个立方体每边长扩 大到原 来的2倍，则二维 测度的表面 积增加 为22倍，三维 测度的体积扩大到 23倍。因此，如果把一个量的 单位长度扩大到 2倍，并假 定它能成为具有 2D

44、的量，那么此量也可称之为D维数的。以Koch曲线为例， 其具有非整数维数 测度的量是曲线 的长度，若把Koch曲线扩大3倍，曲线 的 长度将是原来的 4=3log倍，也就是说，Koch曲线具有Io d维的特性。一般地，设长度为L,面积为S,体积为V时，若把L扩大以k倍，那么S1/2和V1/3也将扩大到k倍。若把具有D维测度的量假定为 X,则下式 成立：Loc S1/2 hV1/3oc X1/d(2.13)下面以测定岛屿海岸线的分形维数为例，说明使用式(2.13)求取维数的方 法。假设岛屿的面积为S,海岸线长度为X。用很小的细格 子把所考虑的平面 分割成为小正方形的集合体，然后把那些即使包含一小

45、点岛 的正方形涂黑，把黑正方形的个数记为Sn，把与白正方形相接的黑正方形的个数记为Xn。如果单位正方形的大小足够小的话，则可认为S= SN， X二X n是成立的。对不同大小的岛屿可用同一方法求出其Sn和Xn，如果存在一个D值，它能够满足 sN/2 =xN/D，那么，D就是该岛屿海岸线 的分形维数。按照这一方法 测定时， 选用的单位正方形越小，测 量的误差 就越小。这一 方法存 在的优点为 不需要 改变码尺长度，测量起来比较方便，且在理论分析中虽然假设了小岛均是自相似 的，但在测量中对形状的差别并不太敏感。这一方法存在的不足是，在理论上 要求码尺必须很小，但这个“小”的标准却很难定义。2.1.5

46、.3根据相 关函数求维数相关函数是最基 本的统计 量之一，从这一 函数出发，也可以 求出分 形维数。 如果把在空间随机 分布的 某量的坐 标x处的密度记 为，(x)，则相关函数 C(r)可 以用下式进行定义：C(r) =-(x)T(x r)(2.14)上式中符号v表示平均。根据情况，平均可以是全体平均，也可以是空间平均。如果在各个方向分布均等，则只能用两点间的距离r =|r|的函数来表示 相关函数。2 2作为相关函数C(r)的函数型，虽然通常多把指数型er和高斯型/2r0作为模式来考虑， 但是由于它们都具有特征距离ro而不能称 之为分 形。在r。： r区间，相关的衰减比在0 ： r : r。区

47、间的衰减更为急剧，也就是说，当两点间距离 比r。小时，这两点相互 间强有力 地影响着，但当两点 距离比ro大时，这两点 之 间几乎相互毫无影 响。与此相对应，当分布为分形时，相关函数表现为幕型。 如果为幕型 则不再存在有特征长度，相关也就总是以同样的比例衰减，此时存 在关系式：C(r)=r(2.15)此时，距离如果增加 2倍，相关性则为1/2a倍，这一关系不论 距离的大小，任 何时候都应该存在 。这一幕指数a与分形 维数D的关系 为：a 二 d-D(2.16)式中d为欧氏空间维数。现在以2.1.5.3节中所述的质量分布时分维数的求取为 例对这一方法进行介绍。考 虑质量在 空间上为D维的分形分布

48、，而且从某一点开始半径为r以内的总质量M (r)与rD成比例。在 半径r和r r之间的球壳 内的质量与rD d r成比例，另外由于此球壳的体积与 rd.汀成比例，所以其密 度为t(x)二rD Srd丄二r da，因此得出下式:C(r)三(0)，(r)二 rD(2.17)(2.18)相关函数经傅立叶变换后的波谱F(k)，在0 ： d - D :：: 1时，成为下列的 幕型：F(k) = 4 drcos(2二kr)*C(r)二 kd_D若利用此式，当波谱F(k)为式(2.18)的幕型时，从其幕指数就可以求得分形维 数了。2.1.5.4 根据分布函数求 维数月亮表面上的各种不同大小的月坑，如果只看照

49、片，其真实大小是完全看不出来的，如果说照片上大，但是如果说它的直径而并不会使人抱有不自然布时，从其分布函数的类将月坑的直径记为r将直径的分布几率密度记能够变换照片和图的比例想变换比例尺而分布类型能够满足这一关系式的r的月坑直 径为1000公里，就会 觉得这 个月坑相当的 只有50厘米，也只会使人感到原来它是如此之小， 之感。月坑的大小分布并没有特征长度，考虑这种分 型即可求得分形维数。，另外把直 径大于r的月坑存在 的几率 记为p(r)。如果oOp(r)二 0 p(s)ds(2.19)为p(s)，则有：尺这一现 象，说明 可与变换r 相对应。因此，若 不变，贝U对任意0，关系式p(r)二p(r

50、)必须成立。 函数型，只限于幕型：P(r)二 r a(2.20)如果在某一观察尺度r时看不见小于r的月坑，那么能看得见月坑的数目与p(r)成比例。再改变观察尺度，在看不见小于 2r的月坑时，能看见的月坑数与p(2r)成比例，此数是观察尺度为r时的2D倍。一般若把各种观察尺度(即不同大小的r)时看到的个数 假定为N(r)，因为N(r)与p(r)成比例，这里出现的 D则与改 变观察尺度的分形维数的 定义式(2.12)相一致。对于式(2.20)必须要注意的是，p(r)在rT 0时是发散的。解决这个问题有 两个办法。一个是设 定r的下限，使 p(0) =1，这样对其进行规整化。另一个是 不特别设定下限

51、， 但是不单独采用p(r)，而是考虑两个 以上p(r)的比。社会科学中所通常使用的Zipf法则，与分形有密切的关系。所谓Zipf法则，举例说明，就是按人口的多少顺序给某个国家的各个城市编号，那么人口 与编号的乘积将大约为一定值。这一法则不仅 对城市人口 ，而且对不 同国家 的输入额以及语言学中单词频率等各个领域都适用。这种分布可以理解为是式 (2.20)那种分布的一 种特殊 情况。若 假定其是式(2.20)那种类型的分 布，则集团 的大小r及其顺序k之间可有下述 关系：r = k/D(2.21)在社会科学中常根 据上式把量的大小的对数作纵轴，顺序的对数作横轴，在图 上画出各数据点， 此图的斜率

52、即表示1/D。2.1.5.5 根据频谱求维数根据观测对空间或时间的随机变量的统计性质进行调查时，往往可以较简 单地得到与波数变化相对应的频谱。若把变动变换为电信号，以后只通过滤波器就能得到与功率 谱S(f)成比例的量。某变动是否为分形，如果是，它的分形 维数是多少，类似这样的问题根据 频谱的研 究就能阐明。从频谱的观点来看，所谓改变观察尺度就是改变截止频率fc。如果说某变动是分形，那么即使变换截止频率也不会改变频谱的形状。也就是说，即使进行观测尺度的变换，f 波谱形状也不会改变。具有这 种性质的频 谱S(f)只限于下述幕型：S(f)尤 fi(2.22)若仍将分形维数记为D，则此幕的指数1与分形

53、维数的关系为：一：=5-2D(2.23)当考虑地形和固体表面等的曲线时，可作如下的扩展。将用某平面去切割 曲面时所得到的断面图的频谱设定为S(f)。以地形为例，可以用直线把两点之间连接起来，若把沿此线高低变动的频谱假定为S(f)，地表的分形维数 D(2 ： D ：3)即可满足: =72D(2.24)这是因为曲面的变 动如果是等方的，曲面的分形维数只需要在断面的分形维数 上加上1即可。以上介 绍了一些常规 的求取分 维数的方 法分类，随着 研究的 深入，在分 形 维数的测定又有了新的进展，主要表现在计算机模拟技术 的应用、实验新技术的应用等方面。以此为基础，确定分形维数的方法又可分为实验方法、计

54、算机 模块法和重整化验群方法等几种。实验方法包括二维图像的数字化处理、散射实验、直接测量与维数有关的 物理量的性质等。以散射实验为例，其常用可见光、X光、中子射线等来进行，可以研究单一分形 对象的结构因子，研究随时间生长的多个集团的散射，以及 由分形表面发出的 散射束 等。用计算机模拟方法来研究无规分形，主要是针对无规生长分形而进行的. 最简单的方法就是利用公式(2.12)。具体方法为：用直径为单位长度的小球去 覆盖回转半径 L内的结构，所需小球的数目为 N(L)，画出InN(L)对InL的曲线， 找出其斜率，便得 到了其 分形维数。这种方 法只适用 于均匀 分形维数的求解。重整化群方法是一种

55、由理论求得分形维数的方法。分形与临界现 象存在紧 密的联系，临界现象中一些重要的物理量都呈现出幕律形式的依赖关系，而表 征这些量的标度的 临界指数大多具有非整数值，正如分形具有非整数 分形维数 一样，这种类似都隐藏在标度不变性后面。因此标度不变性是重整化理论的基 础。2.1.6分形的实际应用分形学是一门横断学科的新理论，自从其诞生以来，就以很快的速度迅速 发展，己经被在诸如哲学、情报、材料、电子、天文、石油开采、地震预报等 众多的学科和领域 引用，其发展前 景非常光明，甚至 有人预言，再过几 十年， 分形学有可能在某 些方面代替现在的微积分，或者说它在自然科学中 的作用可 以与微积分相比拟。美

56、国著名物理学家惠勒坚信，明天谁不 熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。分形学的实际应用可以简单列举为以下几个方 面：(1) 生物学。生物器官，如血管、肺、脑组织等宏观器官显示出明显的分形 特性，其分形维数 在2. 172. 79之间。微观细胞、基因、生物大分子如蛋 白质等也显示出分 形元的 特点，现在 己经测定了相应的分 形维数，初步摸清了 其分形分布规律。这 对于深 入了解人 体自身的结构，理解 中医治病的 科学性 有 很大的帮助。(2) 材料科学。材料有自己的结构，通常还具有各种结构层次，在不同的结构层次上又存在有不同类 型、数量和分布 的缺陷。因此，材料是一个比较复杂的系统。因此使

57、用分形几何学的方法对材料的表面结构与性能进行研究具有独 特的优势，而且有着重要的理论和实际意义。在用分形来研究材料的力学行为 时，主要研究了材料的韧 性、断裂 韧性和强 度等方面。(3) 湍流的研究。湍流的研究是一个非常古老，而又未能得到充分解释的一 个问题，其最为明显的特征在于它没有一个确定的长度尺度，它是由大大小小不同的旋涡所组成，大的旋涡包含着小的旋涡，以大气为例，其中最大的旋涡尺度可以达到几千公里，而最小的旋涡仅有几个毫米。应用分形理论，可以解释湍流理论中的多个问题，如湍流 的间歇性、湍流的 奇怪吸引子 等。(4) 经济学。古典经济学由于不能很好地说明经济现实而出现了危机，混沌 现象、

58、奇怪吸引子的发现以及非线性动力学向经济学的渗透，对古典经济学提 出了挑战，从而产生了混沌经济学。曼德尔布罗特研究了市场价格的变化，得出了价格变化的标度率。他 在研究六 十年代的棉花价格变 化后，得出 其分维 数约为1.70。他同时对股票价格的变动情况进行了研究，结果发现，每个单位时 间的股票价格的变动分布，服从于特性指 数D1.7的对称稳定分布；单位时间，无论取多大或多小，其分布也是相似的。也就是说，适当的改变尺度，就 可以成为同样的分布。(5) 地球物理学。分形理论主要用来研究河流的分布规律、地震的预测预报、岩石的破裂过程、地表的形状等的分形特征。近年来，由 于人们 在地球物理学的地震学领域

59、获得的较重要的结果及应用分形理论和混沌理论对地球科学的 深化认识，增强了人们利用非线性科学探索地球科学的信心。(6) 物理学和化学。 分形研究在物理学和化学的各个领域都得到了很大的进展，在结晶、相变、电解、薄膜沉积、粘性指延和电介质击穿等条件下的分形生长现象，以及化学振荡、浓度花纹和化学波等现象都得到了成功的应用，超 导结构、固体表面、高分子结构的分形特性得到证实，测定出了相应的分形维 数。(7) 天文学。在宇宙中，小至基本粒子，大至星系，其运动过程中存在着自相似。协同学的创始人哈肯曾说:在太阳系统中没有任何新的东西。可以说宇 宙中的万物都是在自我演 化。(8) 语言与情报学。在语言学中，研究了单参数词分布的分形性质，从理论上解析了美国著名语言学家齐普夫(Zipf )确定的分布定律。布氏(Bradfo