运筹与决策——第2章整页

《运筹与决策——第2章整页》由会员分享，可在线阅读，更多相关《运筹与决策——第2章整页（103页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、f - 4 ，TTIf力一 : 一胃R H 4 n /. / ?/ “ fr /.vQV14MasB!lrlln7fxxsssssssssu/.”Jm/lK/n/a一(, /沏模城丁一，1，九一事3 聋K同国0.小rrLSSTi-MuM 町住 sisssassI / HE 2*皿 rL gsy:aY7F.vgq ，3 “线性结构的规划”，简称为线性规（LinearProgramming ) “线性规划”用LP代替14、线性规划问题及其数学模型例2.1某工厂要生产两种新产品：门和窗。经测算，每 生产一扇门需要在车间1加工1小时、在车间3加工3小 时；每生产一扇窗需要在车间2和车间3各加工2小时。

2、而车间1每周可用于生产这两种新产品的时间为4小时、车间2为12小时、车间3为18小时。已知每扇门的利润为300元，每扇窗的利润为500元。而且根据经市场调查得到的该两种新产品的市场需求状况可以确定, 按当前的定价可确保所有新产品均能销售出去。问:该工厂应如何安排这两种新产品的生产计划，可使总利润最大?MK=BKK|RI4、线程如司问题及其数学模型A目标：总利润最大化,A所要决策的变量：是新产品的每周产量,A限制：三个车间每周可用于生产新产品的时间4、线性规划问题及其数学模型所有的线性规划问题都包含这三个因素:CD决策变量：问题中有待确定的未知因素。例如,决定企业经营目标、各类产品的产量等。(2

3、)目标函数：对问题所追求的目标的数学描述。例如，利润最大、成本最小等。(3)约束条件：实现问题目标的限制因素。例如，原材料供应量、生产能力、市场需求等，它们限制了目 标值所能到达的程度。#彳政/写号4、线性规划问题及其数学模型解：例2. 1可用表2-1表示S3r ； it车间单位产品的生产时间（小时）每周可获得的生 产时间（小时）n窗11042021233218单位利润（元）30050011本问题的决策变量是每周门和窗的产量。可设:1I 1 I IIIF 一，巧:为每周门的产量（扇）叼为每周窗的产量（扇） （2）目标函数本问题的目标是总利润最大。由于门和窗的单位利润分别为300元和500元，而

4、其每周产量分别为不和x2,所以每周总利J润z为:Z = 300x1+500x2 （元）彳政/写号RI4、线程如面问题及其数学模型 （3）约束条件 车间1每周可用工时限制：七4 车间2每周可用工时限制：2*2 12 车间3每周可用工时限制：3%+2勺1 非负约束:巧之0,吗之0本问题的约束条件共有四个。13/ / /彳政/写号4、线性规划问题及其数学模型例2.1的线性规划模型：Max z = 300x + 500%*JLX 42x? 12s.t. 3x + 2x? 0这是一个典型的利润最 大化的生产计划问题。 “ Max”是英文单词 “ Maximize”的缩写，含 义为“最大化”；,s.t.是

5、 “subject to的缩写，表示“满足于”上述模型的含义是：在给 定的条件限制下，求使得 目标函数Z达到最大时占， *2的取值。4、线性规划问题及其数学模型本章讨论的问题均为线性规划问题。 所谓“线性”规划，是指如果目标函数 是关于决策变量的线性函数，而且约束 条件也都是关于决策变量的线性等式或 线性不等式，则相应的规划问题就称为 线性规划问题。、线性规划问题及其数学模型_V - /. 1 7f F：ttl _.不“0r r、zfb /、/ / /、 / / 丁二例2.2某公司有IMS元的资金可供投资。该公司有六个1Iq k1 1 1 1 1 一 1 v可选的投资项目，其各种数据如表22所

6、示。蠡 4U1投资项目风险(%)红利(%)增长率(%)信用度F1184224265710L3109122 *F1 -/44781051261546、8886JB/ / /彳政/写号14、线性规划问题及其数学模型该公司想达到的目标为：投资风险,每年红利至少为65万元，最低平均增长率为12%,最低平均信用度为7。请用线 性规划方法求解该问题。17解：（1）决策变量本问题的决策变量是在每种投资项目上的 投资额。设茗为项目，的投资额（万元）01,2,.,6）（2）目标函数本问题的目标为总投资风险最小，即Minz = 0.18X +0.06x2 +0.10x3 +0.04x4 +0.12x5 +0.08

7、x64、线性规划问题及其数学模型-4-* 丁 Irm(3)约束条件M问题的约束条件：D各项目投资总和为100万元:支1+ x2+ x3 + x4+ x5+ x6=100D每年红矛至少为6. 5万元:0.04%1+0.05%2+0-09%3+0-0，74+0.06%5+0-08%6 6. 53）最低平均增长率为12%:.22x1+0.07x2+0- 12x3+0.08x4+0. 15x5+0.08x6 100 x 雷2%RIgar z5 xRI，线性规划问题及其数学模型HT 二三(3)约束条件最低F均信用度为7:41+10%2+23+104+45+66 100 x 7D非负约束：Xi 0（i =

8、 1,2，6）问题共有五个约束条件。4、线性规划问题及其数学模型得到的线性规划数学模型为:Mn zH).1 8$ + 0.06x2+0.10x3 +0.04x4 + 0.12x5 + 0.08x6石+X2+ 项+ 工4 + 工5 + x6 =s.t. 6.5 0.22菁 +0.07x2 +0.12x3 +0.08/ +0.15x5 +0.08% 1248+ 10x2 + 2x3 + 10x4+ 4x5 + 6x6 700X,x2, 项，X5,2 0这是一个典型的成本（或风险）最小化问题。其中， i “Min是英文单词“Minimize”的缩写，含义为“最小化”。（ 因此，上述模型的含义是：在给

9、定的条件限制下，求使得目|标函数Z达到最小时的“逮3/巧乙取值、线性规划问题及其数学模型 （1）用一些变量表示问题的待定方案决策变量非负（2）存在约束条件关于决策变量线性不等式或等式（3）有一个期望达到的目标 确定的数量指标 关于决策变量 线性函数函数值最大化或最小化/ / /彳政/写号14、线性规划问题及其数学模型线性规划的一般模型结构：从以上两个例子中可以归纳出线性规划问题的一般形式：对于一组决策变量X1，X2,与，取Z = c1x1 + C2X2 + . + cnxn(2-1)s.t.anxY + anx2 + .+ (=, 2)aa2lxr + a22x2 + . + a2Xh )Z?

10、2(2-2)amlXl + am2X2 + + %/ (二，必Xj 2 (或V )0,必自由，) = 12(2-3) （2-1）标为最优化目标函数,其中z称为目抚国教； （2-2）巅为函数约束,（2-3）中包含泮炎（正）性约束, （2-2）和（2-3）统称为约束条件。 芍。=1,2,人称为决麓变量；/ 一般来说，满足（1-2）和（1-3）的向量X有无穷多个解， 求解LP问题的目的就是从中找出一个能满足式（1-1）式的 解，作为对该LP问题的最终决策。 陶，坛q称（*1,2,网;尸1,2,/）称为LP模型的参数Cj为目标函数系数或价值系数或费用系数、b内函数约束右端常数颠闿弥右端值,也称资源常数

11、、,%G=l,2,.,/w;呜为约束系数或技术系数或工艺系数。对于任一确定的LP模型，卬瓦,旬均为常数。如果将（2-1）和（2-2）中各约束条件的不等号改成等号,则得到的线性等式方程，检为边界方程.线性规划的数学模型可以表示为下列简洁的形式:nMax Min ) z = cjxj(2 - 4)j=iX aiixi )bi (z = 1,2, . , m)(2 - 5)S.tA j = iXj (或 6以无限增大，或最小化I V产量不得少于4。ES awfiuOW VRB WMb 二、线性规划的图解法及解的几种可能无界解（目标值不 收敛，可行域无界）线性规划问题的可 行域无界，是指最大化 问题中

12、的目标函数值可 问题中的目标函数值可 以无限减少。在例2.1中，如果 没有车间可用工时的约 束，但要求门与窗的总通过图解法可以发现以下规律: LP问题的可行域一般是凸多边形若最优解存在，则一定能在可行域某个顶点处得 到。若在两个顶点同时得到最优解，则这两点连线上 的每一点都是最优解 无界解（目标值不收敛，可行域无界）RI内容提示。本章主要内容：一、线性规划问题及其数学模型二、线性规划的图解法及解的几种可能三、线性规划的标准形式 四、线性规划的求解三、如规函函标准形式Mx : 目标函数: 一般LP问题的标准形为:max z = epi + 仁迎 + + cnxnX + 1212 + += 6a2

13、1xl + a22x2 + + a2nxn =，2约束条件:。加阳 十 m22 + . . + mnnX,12 , * * ，2 I或简记为:目标函数:maxnz = cjXj约束条件:aijx j = biXj 0, J = 12，i = 1,2, ，加线性规划的标准形式A用向量表示为:目标函数:max约束条件:x ； PJXJC?;X%2;Bj0,aij2j1,2,，%blb?1,2,U )55:、线性规划的标准形式A用矩阵表示为:m3 :目标函数:Tvmax z = C X约束条件:AX =aln系数矩阵:= (p15p25 Pn); runam 1C1；零向量：0二决策变量向量:x =

14、（町，2,，）,A用集合表示为:m4 :目标函数:maxCTX AX=b, X 0an系数矩阵：A =5一加1a mn )、C1c2；零向量：0 =(P15P25 Pn);cn决策变量向量:X 二（町，工2,，M ）,3m J:、线性规划的标准形式1I 1 I I注意：R （A） =m 1.目标函数非标准的情形若LP问题的目标函数是Min z=CTX由于-Max (-z) =Min z=CTX那么，要求该问题的标准形式,只需将目标函数最小 化变换成求最大化，令/=乜，于是得到Max zr= -CTXo这就成为标准形式的目标函数了。1 2.约束函数非标准的情形 (1) V。的情形：这种情形只需两

15、端乘以“进行转 化即可。例：xr2x2=-l解：转化成标准形式为-x1+2x2=1:、线性规划的标准形式 2.约束函数非标准的情形 (2)约束方程为的形式如果约束方程为的形式，则可在不等式1I 1 I IIt I 1 IF的左端加入非负松弛变量，把原V”不等式变为等式。例:max z=2 x i + 32 X + 2 x 24 xi4工24Xi , X2 2 081612RI、线性规划的标准形式1-81612只需要将、式中分别加上一个非负变量 也，相和看,就能转化成下述等价标准形：max z = 2x+ 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5X +2%2 +13s.t. 2.约束函数非标准

16、的情形 (3)约束方程为“N”的形式如果约束方程为“N”的形式，则可在“N”不等式的左端减去一个非负变量，把不等式约束条件变为等式约束条件。三缱性规划的标准形式 2.约束函数非标准的情形 (3)约束方程为“N”的形式Min z = 3x1 + 2x212盯 + 3 x 242%i + 3 x 2 2 /， / / / 、/ / b . 3.决策变量非标准的情形对不满足非负性要求的变量，比如山，可采用 下述“变量代换法”化为标准形。若4 W。，可令4 =- xJ,则x/ 0;若x%无限制，即可为任意实数，可令4 =株一/俎*N0，线NO。(xk = xkf-xn然后，将X|的表达式带入目标函数和

17、全部函数约束中，就能化成标准形。/；RI三、线桂说划的标准形式例Min z = 一/ + 2x2 - 3x3xr+x2+ x3 7X1 - X2 + X3 2 3 0三、线桂说划的标准形式/；RI练习Min 2 = X + 2x2 - 3x3修 + 2x2 -x3 6X x + x2 2 2修2 0；叼为无约束；x3(0解答:Max z窥划的标准形式=X产 /一2x； + 2x 3 XoJX + 2%2 2%2 + X3 + X42到 +3x( 3 %2 + x32,x3,x4.x5.x6 0+ x6 = 2内容提示本章主要内容:一、线性规划问题及其数学模型 二、线性规划的图解法及解的几种可能

18、 三、线性规划的标准形式 二、线性规划的求解四、如规切的求解线性规划的Excel求解 Excel建模求解的优势 Excel建模求解的流程 在Excel电子表格中建立线性规划模型用Excel “规划求解”功能求解线性规划问题1四、线性规划的求解 Excel建模求解的优势/第一，Excel拥有强大的数据分析功能与良好的数据库 接口。/第二，Excel拥有大量内建函数/第三，Excel具有良好的图形显示能力/第四，Excel具有灵活的扩展能力/最后，Excel使用更为便捷一四磅瓦规画的求解 Excel建模求解的过程-筹划模型构建模型测试模型分析模型四、线性规划的求解在用电子表格建立线性规划模型的过程

19、中,有三个问题需要得到回答:(1)要作出的决策是什么？(决策变量)(约(2)在作出这些决策时，有哪些约束条件?束条件)(3)这些决策的目标是什么？(目标函数)四、线性规划的求解ZZF例2. 11nl南单位利润 300500每个产品所需工时车间110车间202车间332门 窗每周产量00RI四、线性规划的求解例2. 1门窗单位利润300500每个产品所需工时实一可用工时午间1100=4车间2020=12车间3320=18门1 窗总利润每周产量000工ZZE：厂四、线性规划的求解2003加载规划求解工具一加载宏-规划求解#6一二不,四、线荏规则的求解。霸阳强，醯 一2010版：文件-选项-加载项-

20、规划求解加载 项-转到-加载宏-规划求解用Excel “规划求解”功能求解线性规划问题67RI四、线性规划的求解门窗单位利润300500每个产品所需工时实际使用可用工时车间1102=4车间20212=12车间33218=18门窗总利润每周产量263, 600工ZZE：厂例2.112.若相邻顶点的函数值优于当前顶点，则取相邻顶点值，这一移动方向也就是朝最优目标函数值递四、线性规划的求解线性规划的单纯形法的求解思想1.以可行域中一个顶点为出发点， 检验相邻顶点以判断相邻顶点的 目标函数值是否比当前顶点更优进的最快方向。3.反复进行这一比较，当没有相邻 顶点的目标函数值优于当前顶点 时，停止比较，当前顶点即为最优。S三、&y公父、 、人f./.“:上、fiZ.二*二0言FF、，奇：-工靠运嘉WM案 :苴r穿另甥三彩三年广n.三mwm-手；二二二二力 会我 ，不基电交:斐及米彳士分士,疆Thank you工M*_。 _L卜1-71