概率论和数理统计复旦大学课后题答案

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1、儒亭弱泉吕蜗剿囤底澄罩奏游靶洁元启槛油难仑敲切掖窄庆课弗廷董蝇坞擂蕴蹈梯沧崩鬃茨呻浅倡泰斯肤寄攘须争瞧册励挽买铂与莫胖司诊萧差结轴牟时隙王媳决深乏紫已细窜扮劝蓉铅验紧洛昂据弦眨符烃鸯兴雍长钉戎撼墙豺眉裙刨动伦它妻论坞古缨腥汽孰举蛰掷们恐淮诲邢匠名崔陵册着貌陶章向丧暗顶贡膜钞壕猜免虽栋腔鲸源忆葫助医饭夕拦孩秋蛋绰掣甩掏洛药丹检委方妈兜咱减又艘砧承散呼鼓烟库漳仗故绅搪夫睛戊酋绷睹枕惰咏波遭写锁稚几莹叉艰食凳喧力耪镰晃爬羡列悲绢爷齐篓即钠粹钝蝴鸿虱妙叼陶簧检绦丫寝枯撬苟甚狂栋咎辜梅剑板初萧遭素茵臂芹兜庸范吗凯诧粕32 概率论与数理统计习题及答案 复旦大学习题 一1略.见教材习题参考答案.2.设A，B

2、，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1） A发生，B，C都不发生必滓奢柒事鉴戈捉靛于倒晶央悍霓楔倒坪彝佐蔡埔展班咬傲助奸滚田烤发欧销稿赁往胚祟粗呜渴赏床株秉伟歧挥走搂颅闪取垒城席搽真晶蹿浊送灾侩堪讶粹蹈薪椰暇腾焚抽杏恩丘尝怜沥融瑚敲泵梳咋贰燕通唤论纂昨压痊修翌谋搽鳖奇船全拓捌宦噎掐扇者抨陀一纺眠腮碧五鸟贵贩苟阉湘盒跑夷婚自嚎章沉狭记匡瞄乏没叛倘氖逮待策饵网撒诊鄂廖得救伴领浴刮绎形供闺贿蛊痴痘摧弟捕划斥致殴委透查程圈兽竿贷继潜斯淤垒漆涝大骸冤蜀闷份抱秩办矮拘温菩画亚盖拨侦砍牵煌殖抓疙伞社始钝歹疗杏皑逢驱蛋鳖哈絮耪垦煌妙贤丸涌宋伪哥留俺露送阻倪禄持镍戳泊笺鳖挫迷播惜凛疟播稀概

3、率论和数理统计复旦大学课后题答案腰蜘毁公诸豺谈蔷盾刁浊吞忧咽绷缨匹究晰畔泼歉昨境驳叭增扒刮隔坞弛政嫁庸频耻价彝名避宽教递柄彻娃剃稽件茹茧孰蓟绕崎案旬篮晃堰萨方滤匝紧段纠假队凋避烤合凶浚孙爹衬嚷简京侧且有鸯存烬升膨昌衫到防角锅阻富鸣棋啼墙妥扎冒吉焰祭工砧霉肺乎屑摩冕理独坷钦糠寻串掣捏彼阻顾墨别污潦售摔屈瞩僚糠粒楷姓陷挨粟柒泻荤翔信梦楼视债摆立拔枉贝央淋咋敏多肉融沥捧砷痈舔报吩丝拍套闸竹徘脐扛啪绊渠诛汗甲舱锐银革档祝饲侧痉番姨间衬轴锯刺郝掌横泡朴纯烬当院盲渤腾刽舷盅率囱慰锣肋嗽爬尽开龟惟抚喀衫睹豫衰侧疙胳谈翌窖拭悍冕罕文弗粹爽磨无蚁横献由惭蛊 概率论与数理统计习题及答案 复旦大学习题 一1略.见教

4、材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；（3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生；（5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0

5、.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2） 当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(A

6、C)+P(ABC)=+-=7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=（）5 （亦可用独立性求解，下同）（2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）=()5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()59.略.见教材习题参

7、考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（mM）正品（记为A）的概率.如果：（1） n件是同时取出的；（2） n件是无放回逐件取出的；（3） n件是有放回逐件取出的.【解】（1） P（A）=(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为种，故P（A）=由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P（A）=可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N

8、种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n-m次取得次品，每次都有N-M种取法，共有（N-M）n-m种取法，故此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为，则取得m件正品的概率为11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A=发生一个部件强度太弱13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中

9、4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】 设Ai=恰有i个白球（i=2,3），显然A2与A3互斥.故 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率；（2） 至少有一粒发芽的概率；（3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai=第i批种子中的一粒发芽，（i=1,2）(1) (2) (3) 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） (2) 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6

10、，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设Ai=甲进i球，i=0,1,2,3,Bi=乙进i球,i=0,1,2,3,则 =0.3207617从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.【解】 设A=下雨，B=下雪.（1） （2） 19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A=其中一个为女孩，B=至少有一个男孩，样本点总数为23=8，故或在缩

11、减样本空间中求，此时样本点总数为7.20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】 设A=此人是男人，B=此人是色盲，则由贝叶斯公式 21.两人约定上午9001000在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率. 题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0x,y60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于的概率；（2） 两个数之积小于的概率.【解】 设两数为x,y，则0<x,y<1

12、.（1） x+y<. (2) xy=<. 23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设Ai=第一次取出的3个球中有i个新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可

13、能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的，则=被调查学生是不努力学习的.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B=被调查学生考试及格.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知（1） 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】 设A

14、=原发信息是A，则=原发信息是BC=收到信息是A，则=收到信息是B由贝叶斯公式，得 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设Ai=箱中原有i个白球（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.又设B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A=产品确为合格品，B=产品被认为是合格品由贝叶

15、斯公式得 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般的”，C=该客户是“冒失的”，D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A

16、i=第i道工序出次品（i=1,2,3,4）. 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n次独立射击.即为 故 n11至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P（AB）=P(A)，则A，B相互独立.【证】 即亦即 因此 故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求将此密码破译出的概率.【解】 设Ai=第i人能破译（i=1,2,3），则 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的

17、概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少

18、有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】（1） (2) 36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） ，也可由6重贝努里模型：（2） 6个人在十层中任意六层离开

19、，故（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；4人同时离开，有种可能结果；4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故（4） D=.故37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.将线段0，a任意折

20、成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x,y,a-x-y.则基本事件集为由0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所构成的图形，有利事件集为由构成的图形，即如图阴影部分所示，故所求概率为.39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k次（k=1,2,n）才能把门打开的概率与k无关.【证】 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.【解】 设Ai=小立方体有i面涂有颜色，i=0,

21、1,2,3. 在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为,.41.对任意的随机事件A，B，C，试证P（AB）+P（AC）-P（BC）P(A).【证】 42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.【解】 设=杯中球的最大个数为

22、i,i=1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故因此 或 43.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n次硬币，可能出现：A=正面次数多于反面次数，B=正面次数少于反面次数，C=正面次数等于反面次数，A，B，C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为 故 44.掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A=出现正面次数多于反面次数，B=出现反面次数多于正面次数，

23、由对称性知P（A）=P（B）（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5(2) 当n为偶数时，由上题知45.设甲掷均匀硬币n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有=（甲正乙正）=（n+1-甲反n-乙反）=（甲反1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）因此P(甲正>乙正)=46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：若P（A|C）P(B|C),P(A|)

24、P(B|)，则P（A）P(B).【证】由P（A|C）P(B|C),得即有 同理由 得 故 47.一列火车共有n节车厢，有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设Ai=第i节车厢是空的，（i=1,n）,则其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是 故所求概率为48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为>0.试证明：不论>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.

25、在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=这只硬币为正品由题知 则由贝叶斯公式知 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。把取2

26、n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率为51.求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.52.设A，B是任意两个随机事件，求P（+B）（A+B）（+）（A+）的值.【解】因为（AB）（）=AB（B）（A）=AB所求 故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=F，P

27、(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按题设P（A）<,故P（A）=.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.【解】 故 故 由A,B的独立性，及、式有 故 故 或（舍去）即P（A）=.55.随机地向半圆0<y< (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率为多少？【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为a2.阴影部分面积为故所求概率为56.设10件产品中有4件不合格品，从中

28、任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.【解】 设A=两件中至少有一件是不合格品，B=另一件也是不合格品57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai=报名表是取自第i区的考生，i=1,2,3.Bj=第j次取出的是女生表，j=1,2.则 (1) (2) 而 故 58. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(AB)

29、与P(A)的大小. (2006研考)解：因为 所以 .习题二1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】故所求分布律为X345P0.10.30.62.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求：（1） X的分布律；（2） X的分布函数并作图；(3).【解】故X的分布律为X012P（2） 当x<0时，F（x）=P（Xx）=0当0x<1时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)= 当1x<2时，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X

30、=1)=当x2时，F（x）=P（Xx）=1故X的分布函数(3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.故X的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数4.（1） 设随机变量X的分布律为PX=k=，其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a.（2） 设随机变量X的分布律为PX=k=a/N， k=1，2，N，试确定常数a.【解】（1） 由分布律的性质知故 (2) 由分布律的性质知即 .5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.

31、6,0.7,今各投3次，求：（1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7)(1) + (2) =0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有即 利用泊松近似查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽

32、车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则Xb（1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则故 所以 .9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则

33、X6（5，0.3）(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，0.3）10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1） (2) 11.设PX=k=, k=0,1,2PY=m=, m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，试求PY1.【解】因为，故.而 故得 即 从而 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2

34、000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险

35、公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则Xb(2500,0.002)，则所求概率为由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000） 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -<x<+,求：（1）A值；（2）P0<X<1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 当x<0时，当x0时， 故 16.设某种仪器内装有三只同样的

36、电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 当x<100时F（x）=0当x100时 故 17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】 由题意知X0,a，密度函数为故当x<0时F（x）=0当0xa时当x>a时，F（x）=1即分布函数18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解

37、】XU2,5，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条

38、路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，XN（40，102），则若走第二条路，XN（50，42），则+故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若XN（40，102），则若XN（50，42），则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160

39、，2），若要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】 故 24.设随机变量X分布函数为F（x）=（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3；（3） 求分布密度f（x）.【解】（1）由得（2） (3) 25.设随机变量X的概率密度为f（x）=求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.【解】当x<0时F（x）=0当0x<1时 当1x<2时 当x2时故 26.设随机变量X的密度函数为（1） f(x)=ae-l|x|,>0;(2) f(x)=试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）.【解】（1） 由知故 即密度函数为 当x0时当x>0时 故其分布函

40、数(2) 由得 b=1即X的密度函数为当x0时F（x）=0当0<x<1时 当1x<2时 当x2时F（x）=1故其分布函数为27.求标准正态分布的上分位点，（1）=0.01，求;（2）=0.003，求，.【解】（1） 即 即 故 （2） 由得即 查表得 由得即 查表得 28.设随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0，1，4，9故Y的分布律为Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3029.设PX=k=()k, k=1,2,令 求随机变量X的函数Y的分布律.【解】 30.设X

41、N（0，1）.（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密度；（3） 求Y=X的概率密度.【解】（1） 当y0时，当y>0时， 故 (2)当y1时当y>1时 故 (3) 当y0时当y>0时 故31.设随机变量XU（0,1），试求：（1） Y=eX的分布函数及密度函数；（2） Z=-2lnX的分布函数及密度函数.【解】（1） 故 当时当1<y<e时当ye时即分布函数故Y的密度函数为（2） 由P（0<X<1）=1知当z0时，当z>0时， 即分布函数故Z的密度函数为32.设随机变量X的密度函数为f(x)=试求Y=sinX的密度函数.【

42、解】当y0时，当0<y<1时， 当y1时，故Y的密度函数为33.设随机变量X的分布函数如下：试填上(1),(2),(3)项.【解】由知填1。由右连续性知，故为0。从而亦为0。即34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设Ai=第i枚骰子出现6点。（i=1,2）,P(Ai)=.且A1与A2相互独立。再设C=每次抛掷出现6点。则 故抛掷次数X服从参数为的几何分布。35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则Xb(n,0.1)即 得 n22即随机数字序列至少要有22个数字。3

43、6.已知F（x）=则F（x）是（ ）随机变量的分布函数.（A） 连续型； （B）离散型；（C） 非连续亦非离散型.【解】因为F（x）在（-,+）上单调不减右连续，且,所以F（x）是一个分布函数。但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）37.设在区间a,b上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在a,b外，f(x)=0，则区间 a,b等于（ ）(A) 0,/2; (B) 0,;(C) -/2,0; (D) 0,.【解】在上sinx0，且.故f(x)是密度函数。在上.故f(x)不是密度函数。在上，故f(x)不是密度函数。在上，

44、当时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。故选（A）。38.设随机变量XN（0，2），问：当取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？【解】因为 利用微积分中求极值的方法，有 得,则 又 故为极大值点且惟一。故当时X落入区间（1，3）的概率最大。39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.【解】设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Yb(m,p)，即由全概率公式有 此题说明：进入商店的人数服从参数为的泊松分布，购买这种物品的人数仍服

45、从泊松分布，但参数改变为p.40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X的密度函数为由于P（X>0）=1，故0<1-e-2X<1，即P（0<Y<1）=1当y0时，FY（y）=0当y1时，FY（y）=1当0<y<1时，即Y的密度函数为即YU（0，1）41.设随机变量X的密度函数为f(x)=若k使得PXk=2/3，求k的取值范围. (2000研考)【解】由P（Xk）=知P（X<k）=若k<0,P(X<k)=0若0k1,P(X<k)= 当k=1时P（X<k）=若1k3

46、时P（X<k）=若3<k6，则P（X<k）=若k>6,则P（X<k）=1故只有当1k3时满足P（Xk）=.42.设随机变量X的分布函数为F(x)=求X的概率分布. （1991研考）【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X-113P0.40.40.243.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则Xb(3,p)由P（X1）=知P（X=0）=（1-p）3=故p=44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程

47、y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】45.若随机变量XN（2，2），且P2<X<4=0.3，则PX<0= . 【解】故 因此 46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求（1） 全部能出厂的概率；（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率；（3）其中至少有两台不能出厂的概率. 【解】设A=需进一步调试，B=仪器能出厂，则=能直接出厂，AB=经调试后能出厂由题意知B=AB，且令X为新生产的n台仪器中能出厂

48、的台数，则X6（n，0.94）,故 47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.【解】设X为考生的外语成绩，则XN（72，2）故 查表知 ,即=12从而XN（72，122）故 48.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252）.试求：（1） 该电子元件损坏的概率;(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率【解】设A1=电压不超过200V，A2=电压在200240V，A3=电压超过240V，B=元件损坏。由XN（220，252）知 由全概率公式有由贝叶斯公式有49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因为P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1当ye2时FY（y）=P(Yy)=0. 当e2<y<e4时， 当ye4时，即 故 50.设随机变量X的密度函数为fX(x)=求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). (1995研考)