椭圆及其标准方程教学设计

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1、椭圆及其标准方程教学设计 姜俊 宜城二中 一、教材分析： 本节课是人教A版选修2-1的第二章第二节内容。它是学生在学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此这节课有承前启后的作用。是本章和本节的重点内容。 本节主要研究椭圆的定义，图形及椭圆的标准方程的推导。重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式难点是椭圆标准方程的建立和推导关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法二、学生分析：从知识上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。从学生现有的学习能力看

2、，通过一年多的学习，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给椭圆以数学描述?如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题.三、教学目标：1知识与技能 掌握椭圆的定义，椭圆的标准方程的推导及标准方程2过程与方法 通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决几何问题的方法坐标法。3情感·态度·价值观通过对椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问

3、题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得到解答，体会运动变化，对立统一的思想。四、教学重点·难点1重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程2难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因。五、教学策略： 在我的教学设计中，主要采用探究式教学方法。首先通过神舟六号载人飞船成功发射引入,让学生在感叹祖国科技高速发展的同时,产生了学习兴趣。然后列举他们在生活中见到的椭圆，进一步加深感性认识。从而引出课题。接着，让学生利用课前准备的细绳探索画椭圆，让学生在动手参与的过程中，体会什么是椭圆，引导学生类比圆的定义得出椭圆定义。随后，强调了定义中要注意的四个问题。教师又提出问题，神舟六号飞船变

4、轨前的轨道是椭圆，那么我们能不能求出轨道方程？引导学生进一步探索椭圆的方程，在推导椭圆标准方程过程中，给学生建系的机会，让他们充分暴露自然思维，以便于了解学生的思维起点，发挥学生的直觉思维，让他们在自己认为简洁的坐标系下建立椭圆的方程。通过展示推导过程，比较化简结果，让学生明白哪种坐标系更合适，在以后的建系中，他自然会注意到平衡对称对简化问题的作用。这样，学生可以在对比、观察、思考的基础上提升自己的思维，使新知识与旧知识尽可能产生天然的联系，而不是人为的告诉其正确的结果，把经验强加给学生。尊重学生，首先要接纳学生的认知基础，使不同层次的学生都得到发展。同时通过多媒体辅助教学，化抽象为具体，增强

5、动感与直观性，降低学生学习难度、提高教学效果和教学质量。六、教学过程分析： 一、创设情景 1）2005年10月12日“神舟六号”载人飞船发射成功，将中国航天员送上太空。你知道“神舟六号”载人飞船运行的轨道是什么图形吗？ 2）地球绕太阳运行的轨道也是椭圆形. 3）你能说些生活中还有什么是椭圆形的物体？【设计意图】通过神舟六号载人飞船成功发射引入,让学生在感叹祖国科技高速发展的同时,产生了学习兴趣。然后列举他们在生活中见到的椭圆，演示更形象生动进一步地加深感性认识从而引出课题。 二、探究新知问题1：神舟六号变轨后是在圆形轨道上运动，那么你知道圆的定义吗？ 在平面内，到一个定点的距离为定长的点的轨迹

6、是圆。如果将圆的定义中的一个定点变成两个定点，动点到定点距离为定长变成动点到两定点的距离之和为定长（定长大于两定点的距离）。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？解决问题：动手试验：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的和两点，当绳长大于和的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。 【设计意图】锻炼学生的合作能力，并使学生在动手操作过程中对于椭圆上点的性质深刻理解。同时，对不同学生的要求，也会使不同层次的学生都有收获。问题2：椭圆上的点具有什么特点？ 学生可能回答，椭圆上的点到两个定点的距离之和等于常数。那么能不能说，到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭

7、圆？有的学生会说，应该是平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹，才是椭圆。老师接着问，还有补充吗？从而得到椭圆的定义（一）椭圆的定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数(大于|的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距学生开始只强调主要几何特征到两定点、的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调： （1）将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内” （2）两个定点-两点间距离确定 （3）这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意： 若常数=|，则动点轨迹是线段 若常数|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆

8、，还必须加上限制条件：“此常数大于|”【设计意图】通过学生自己发现规律的同时，提高了学习数学的信心。(二)椭圆标准方程的推导 1标准方程的推导问题3：如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)找关系；(3)列代数方程；(4)化简方程等步骤(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的以两定点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系设|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有(-c，0)，(c，0) (2)找关系由定义

9、不难得到 (3)列代数方程 (4)化简方程化简方程同学在下面完成，教师巡视，适当给予提示：原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方整理后，再平方 为使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要研究关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略 2两种标准方程的比较(引导学生归纳)不同点标准方程oyxF2F1MF1F2Moyx图形焦点坐标(-c,0) , (c,0)(0,-c) ,(0,c)共同点定义椭圆是平面内与两定点、的距离的和等于常数(大于|)的点的轨迹a、b、c的关系 a>b>0，b，c大小不确定。焦点的位置的判定x²,y²项

10、中哪个分母大，焦点就在那一条轴上。【设计意图】探索方程这一部分，首先回忆了求曲线方程的一般步骤。然后根据步骤建立椭圆方程：这是本节课的难点所在，通过课堂设问突破难点。1.设问：怎样选取坐标系？ 怎样化简含有两个根式的方程？ 2、鼓励学生自己推导得出椭圆的标准方程。强调为什么要引入b？最后通过填写表格：两种方程有何异同？ 怎样根据条件确定焦点的位置？通过方程的推导，学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。培养学生的发现、探究、研究能力；三、例题讲解例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点的坐标是（ -2 ，0）和（ 2 ，0），并且经过

11、点P4、 课堂练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a= ,b=1,焦点在x轴上； (2)焦点为(0,3)，(0,3),且a=5； (3)两个焦点分别是(2,0)、(2,0),且过P(2,3)点； 【设计意图】通过例题讲解来强化概念，开拓学生的思维，深化知识点的掌握，突出重点、难点 。从而得到求椭圆的标准方程要先定位再定量。通过巩固练习让学生加深对椭圆的定义的理解，以便更好的落实基础知识。五、课堂小结1定义：椭圆是平面内与两定点、的距离的和等于常数(大于|)的点的轨迹2讨论了求椭圆标准方程的方法：填写表格3.思想方法：（1）坐标法是研究几何问题的有效方法。应注意建系的对称美、简洁美；（

12、2）注意用数形结合的思想方法、运动变化的观点分析问题；（3）观察、比较、抽象、概括、归纳是学习数学的有效思维方法；（4）把握好图形语言、符号语言、文字语言的相互转化，是学好数学的关键之一。【设计意图】培养归纳、概括能力，并巩固研究成果。同时，通过小结，使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。六、布置作业1、推导焦点在y轴时椭圆的标准方程和其他建系下椭圆的方程。2、习题2.2 1、23、课下探索：你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意的一点吗?作图的依据是什么?根据你的作图方法，能找到与之相应的方法求出椭圆方程吗?【设计意图

13、】使学生探究、思考、实践的过程延伸到课后。体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现。附：板书设计：椭圆及其标准方程一、椭圆的定义二、标准方程及其性质三、性质例 题教学后记：七、教学效果评价：1 、探究式教学走进课堂，为学生的学习提供了多样化的活动方式，激发了学生的学习兴趣，让学生积极参与。学生通过观察、猜想、推理等丰富多彩的活动达到了知识的主动构建与理解。、这节课在教学过程中，探究解决问题的途径，是引导学生观察图形后研究方程，即数形结合思想。华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”因此在平时教学时，要注意渗透数学思想方法的

14、教学。、充分利用多媒体手段，以轻松愉快的动画演示，化抽象为形象，创设了直观的课堂教学效果，化解了知识的难点。、课堂上教师怎样引导学生是值得我们深思的一个问题，在完成知识拓展时，课堂上开始还不能很好的完成题目的变化，经教师的指导，学生逐渐地掌握了方法。、作业的可选择性使学生能根据自己的能力选择完成，注意了学生的差异性。八、教学流程图：开始展示神舟六号资料，演示地球绕太阳运行的轨道电脑播放提出问题：什么是椭圆，椭圆与圆的关系学生根据教师的提示利用课前准备的工具画图椭圆做法课件学生根据前面的作图，讨论得出椭圆定义椭圆标准方程的求法学生根据问题分组讨论椭圆方程的求法BBS教师进行指导投影学生展示讨论结果，并从中选出最优方法教师指出椭圆的标准方程，以及需要注意的问题电脑解题规范步骤，总结方法学生试完成例题学生练习小结