球的体积和表面积附规范标准答案

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1、球的体积和表面积学习目标1记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.戸知识梳理自主学习知识点一球的体积公式与表面积公式41. 球的体积公式 v=3泯3(其中R为球的半径).2. 球的表面积公式 S= 4 nR2.思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？答球没有底面，球的表面不能展开成平面知识点二球体的截面的特点1. 球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都 是圆.2. 利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问 题的主要途径.题型探究重点突破题型一球的表面积和体积例1(1)

2、已知球的表面积为 64 n求它的体积；500(2)已知球的体积为 丁n求它的表面积.解 设球的半径为 R,则4nR2= 64n解得R= 4, 所以球的体积V = 3 nR3 = 4 u-34 256 n.设球的半径为R,则4nR3= 500n解得R= 5,所以球的表面积 S= 4tR2= 4 nX 52= 100 n.跟踪训练1 一个球的表面积是16 n则它的体积是()A.64 n64 nB.6?C.32 nD.32 n3答案 D4解析 设球的半径为 R,则由题意可知4冗R2 = 16n,故R= 2所以球的半径为 2,体积V= 3 n332=3 n.题型二球的截面问题例2平面a截球0的球面所得

3、圆的半径为1球心0到平面a的距离为2,则此球的体积为()A.、;6 n B.4 3 n C.4 6 n D6$3 n答案 B解析如图，设截面圆的圆心为 0 ,M为截面圆上任一点，则 00 = 2, 0 M = 1.0M = ： ：2 2+ 1 = 3即球的半径为3.- V = 4n(3)3 = 4 3 n.跟踪训练2已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3, 5, J5,则它的外接球表面积为答案 9n解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x, y,乙则由已知，xy= .3,x= .3得 yz=5,解得 y = 1,zx= . 15,z= .5.1 1

4、 3所以球的半径R=抑=2 .x2+ y2 + z2= 2,所以S球=4冗R2 = 9 n.题型三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积k-2-IffttUEl解由三视图可知该几何体的下部是棱长为的表面积为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体1s= 2 X 4nX 12 + 6 X 22 - nX 12 = 24+ n.该几何体的体积为V= 23+ 舟 X 4nX 13= 8 + 跟踪训练3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比解设正方体的棱长为 a. 正方体的内切球球心是

5、正方体的中心, 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图所示，则有2ri= a,即 ri = 2，所以 Si = 4 n2 = na2. 球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面, 如图所示，则2r2=. 2a,即r2=a,所以 S2= 4 n2= 2 7a2. 正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面,如图所示,则有23=所以 S3= 4 n3= 3 7a2.综上可得 Si : S2 : S3= 1 : 2 : 3.例4有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相

6、切，然后将球取出，求这时容器中水的深度分析 分别表示出取出铁球前后水的体积t由水的体积不变建立等式 t求出所求量解 如图，OO是球的最大截面，它内切于 ABC，球的半径为r.设将球取出后，水平面在MN 处，MN 与 CD 交于点 E.则 DO = r, AD = 3r, AB = AC= BC = 2 3r,1 1 CD = 3r.由图形知 V 圆锥 ce : V 圆锥cd = nME2 CE : nAD2CD = CE3 : CD3.又/ V圆锥CD =M 3r)2 3= 3 n3,34 355 n33V 圆锥 ce= V 圆锥 cd 一 V 球 o = 3 n 3 n = 3 n3n3 =

7、 CE3 : (3r)3, CE = 3 15r.球从容器中取出后，水的深度为3 15r.自査自纠1. 直径为6的球的表面积和体积分别是()A.36 n 144 nB.36 n 36 nC.144 n 36 nD.144 n 144 n2若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于A.2B.1C.2D.33两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是 倍，表面积变为原来的5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为4.若球的半径由 R增加为2R，则这个球的体积变为原来的H-2-H 正视團药课时精练、选择题1.设正方体的表面积为 24，那么其外接球的体积是（）4A. n8 nB.8TC.

8、4 3 nD.32 ,3 n2. 个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为 （A.8B.8 .2C.8 .3D.4 ,;23.两个球的半径之比为1 : 3,那么两个球的表面积之比为（）A.1 : 9B.1 : 27C.1 : 3D.1 : 1A. , 6 n 品32383B.y n cmc.3 n cmD.4 n 品5.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r,R,则球的表面积为（)A.4 nr(+ R)2B.4 n2R2C.4 iRrD. nR+ r)224 cm2, 个球内切于该正方体，那么这个球的体积是4.设正方体的表面积为6.已知底面边长为1，侧棱长为恋2的正四棱柱的

9、各顶点均在同一球面上，则该球的体积为 （ ）32 n4A._3B.4 n C.2 nD.n8 cm，将一个7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高6 cm，如果不计容器球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 厚度，则球的体积为（）500 n 3A. 3 cm31 372 n 3 C.cm3866 n 3B.-3cm2 048 n 3D.cm3、填空题8.个几何体的三视图（单位：m）如图所示，则该几何体的体积为m3.9 n9. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为2,则正方体的棱长为10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长

10、为2,则该球的表面积是11. 圆柱形容器内盛有高度为 8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的 底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球 （如图所示），则球的半径是 cm.三、解答题12. 如图所示，半径为 R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.（其中/ BAC = 30）13. 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972 n的球，在圆锥内又有一个内切球，求:（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的内切球的体积.当堂检测答案1答案 B4解析 球的半径为3,表面积S= 4 n 牛36 n,体积V = n 齐36n.2答案 D解析 设球的半径为R,则4

11、kR2= fnR3,所以R= 3.33答案3 244解析 设大球的半径为 R,则有-tR3= 2X 32的体积为 V2= 3 n (R)3= n3,表面积为 S2 = 4n (R)2= 16 %R2. nX 13,3 3R3= 2, R= 3 2.4答案8 44所以V232332nR316 R2,存=4,解析 球的半径为R时，球的体积为 Vi= 3 nR3,表面积为Si = 4 nR2,半径增加为2R后，球即体积变为原来的 8倍，表面积变为原来的4倍.5答案 3 n解析由三视图可知，该几何体为一个半径为 1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面1积的和，即X 4 n+ n= 3 n.课时精练一

12、、选择题1答案 C解析由题意可知，6a_.;i + I + 2 2 = 2.又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，球的半径R= i. 故球的体积为V = 4 tR3=彳n.= 24,a= 2.设正方体外接球的半径为R,则4J3a= 2R，R= 3， . V球=3 nR37. 答案 A解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.i i如图，作出球的一个截面，则MC = 8 6 = 2(cm), BM = 2aB = 2X 8= 4(cm).设球的半径为 R cm，贝U R2= 0M2+ MB2= (R 2)2 + 42, R= 5,= 4；3兀.2答案 A解析球的半径为

13、1且正方体内接于球，球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2不妨设正方体的棱长为 a,则有3a2 = 4，即 a2= 3.4正方体的表面积为 6a2= 6X 3= 8.33. 答案 A解析 由表面积公式知，两球的表面积之比为R2 : Ri= 1 : 9.4. 答案D解析 由正方体的表面积为 24 cm2,得正方体的棱长为 2 cm，故这个球的直径为 2cm，故4这个球的体积为3 n cm5. 答案 C解析 方法一 如图，设球的半径为ri,则在Rt CDE中，DE = 2ri，CE = R r，DC = R+ r.由勾股定理得 4吊=(R+ r)2 (R r)2,解得 ri= Rr.故

14、球的表面积为 S球=4 ni = 4 jRr.方法二 如图，设球心为 0,球的半径为 ri，连接 0A, OB,则在RtA A0B中，0F是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得0F2=BF AF = Rr，即r1= Rr，故ri = ；：Rr，故球的表面积为 S球=4 jRr.6. 答案D解析正四棱柱 的底面 边长为I ,侧棱 长为：2 , 正四棱 柱的体 对角线 的长为二、填空题8. 答案 9 n+ 18 解析将三视图还原为实物图后求解由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、427所以 V = nx x 2+ 1 x 3x 6= 9n+ 18.389.

15、答案.3解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为a,球半径为R，493-_则3肩= R=2 -pa = 3, a=/3.8110.答案亍n解析 由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为 R,球心为 0,9正四棱锥底面中心为 E,则0E = |4-R|,所以(4 R)2 + (.2)2= R2,解得R = 4.所以球的表面11.答案 4解析 设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为 n2x 6r =8 cm的水的体积为8 n2,3个球的体积和为 3x 4 n3= 4n3，由题意得34 n3,解得 r = 4(cm).三、解答题12解如

16、图所示,过C作COAB于01.在半圆中可得 / BCA = 90 / BAC = 30 AB = 2R,AC = , 3R, BC = R, CO1 = 23r,二 S 球=4 tR2,尙锥人。 = n 宁Rx3R= 2 nR2,尙锥 bo1 =说 2rx r=2 nR2，二S几何体表=S球+ 尙锥人0侧+ S圆锥BO=获=存nR22 2 2故旋转所得几何体的表面积为弋=n213解(1)如图作轴截面，则等腰三角形CAB内接于O O, O Oi内切于 ABC.设O O的半径为R,由题意，得4 nR3= 972 n,所以 R3= 729, R= 9,所以 CE = 18.已知CD = 16,所以E

17、D = 2.连接AE,因为CE是直径，所以 CA丄AE,所以 CA2= CE CD= 18 X 16= 288，所以 CA = 12 2, 因为 AB丄 CD，所以 AD2= CD DE = 16 X 2= 32 , 所以AD = 4 2,S圆锥侧= nX 4 2 X 12 2= 96 n.设内切球O1的半径为r,因为 ABC 的周长为 2 X (12.2+ 4.2)= 32 .2,1 1所以 Saabc=- 322 = ?X 8 2X 16,解得 r = 4,4256所以内切球O1的体积V球=3 n3 = 3 n.3 3.x/ 4 3 500 n 3、V 球=3 nX 53=3 (cm3).