中考数学试题分类26矩形菱形与正方形MicrosoftW

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1、第26章 矩形、菱形与正方形一、选择题1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm（第10题）【答案】A2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），则第n个图形的周长是图1图2图3（A） （B） （C） （D

2、）【答案】C3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为A.17 B.17 C.18 D.19【答案】B 4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.2 B. C. D.6 【答案】A 5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别 为现给出下列命题：（ ）若，则若则则:A是真命题，是真命题 B是真命题，是假命题C是

3、假命题，是真命题 D，是假命题，是假命题【答案】A6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡分别架在墙体的点、点处，且,侧面四边形为矩形，若测得，则( )（第5题）A. 35 B. 40 C. 55 D. 70【答案】C7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O已知AOB= 60，AC16，则图中长度为8的线段有( ) A2条B4条C5条D6条【答案】D8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边

4、BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】C9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，五个平行四边形拼成一个含30内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm（第10题）【答案】A10（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。若6，16，则的长度为何？A4 B5 C6 D8 【答案】C11. （2011

5、湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且ABAD，则下列式子不正确的是（）A.ACBD B.ABCDC. BO=OD D.BAD=BCD【答案】A.提示：当且仅当为菱形时，ACBD。12. （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是A矩形B菱形C正方形D等腰梯形ACD图2B【答案】B13. （2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是43，则这个菱形的面积是（ ） A12

6、cm2 B 24cm2 C 48cm2 D 96cm2 【答案】B14. （2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）A3 B4 C5 D6 （第7题图）【答案】D15. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且ACBD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( )四边形A2B2C2D2是

7、矩形; 四边形A4B4C4D4是菱形;A1AA2A3BB1B2B3CC2C1C3DD2D1D3第10题图四边形A5B5C5D5的周长; 四边形AnBnCnDn的面积是A. B. C. D.【答案】C16. （2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm【答案】C17. （2011山东临沂，11，3分）如图，ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BEDF交DF的延长线于点E，已知A30，BC2，AFBF,则四边形BCDE的面积是（ ）A2 B3 C4 D4【答案】A18. （2011

8、四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形C矩形的对角线互相垂直且平分 D矩形的对角线相等且互相平分【答案】D19. （2011四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CGAE交BF于点G。下列结论：tanHBE=cotHEB BH=FG .其中正确的序号是 A B C D【答案】D20（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角互补【答案】A21. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱

9、形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H下列结论： AEDDFB；S四边形BCDG= CG2；若AF=2DF，则BG=6GF其中正确的结论A只有B只有C只有DABCDEFGH第12题图【答案】D22. （2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路、相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 AB、D，已知ABBCCDDA5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是A3公里B4公里 C5公里D6公里【答案】B23. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形

10、，则四边形ABCD一定是A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【答案】D24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形【答案】B二、填空题1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若CED=56,则AED的大小是_.（第17题图）【答案】622. （2011山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为

11、第二次操作）；如此反复操作下去若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当n=3时，a的值为_第一次操作第二次操作【答案】或3. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_ABCD第5题图【答案】28 4. （2011山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .【答案】25. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类

12、纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形【答案】46. (2011浙江绍兴，15，5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】7. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。【答案】8. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1

13、个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点、分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是 平方单位【答案】5或99. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EFCD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_.【答案】10（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，则AE的长为_.【答案】11. （2011四川内江

14、，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形ABCDEFGH【答案】AB=CD12. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OHAB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH 【答案】：13. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)【答案】A=90或B=90或C=90或D=90或AC=BD(答案不唯一，写出一种即可)

15、14. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD的连长是2，E是AB中点，且DEAB，则菱形ABCD的面积为_2(第12题)BADCE【答案】 15. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB2cm，点E在BC上，且AEEC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点重合，则AC cm.【答案】416. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_cm.【答案】217. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则的

16、值是 。【答案】或18. （2011湖北黄冈，5，3分）如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_ABCD第5题图【答案】2819. （2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 。【答案】AB=2BC20（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM= 时，四边形ABCN的面积最大 【答案】2; 21. （2011河北，14，3分）如图6，已知菱形ABCD，其顶

17、点A，B在数轴对应的数分别为-4和1，则BC=_ 【答案】522. （2010湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是 .【答案】15或75三、解答题1. （2011浙江省舟山，23，10分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090），

18、试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由 （第23题图2）（第23题图3）（第23题图1）【答案】（1）四边形EFGH是正方形(2) HAE=90a在ABCD中，ABCD，BAD=180ADC=180a；HAD和EAB都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360HADEABBAD3604545（180a）90aAEB和DGC都是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC都是等腰直角三角形，DHA=CDG= 45，HDG=HADADCCDG90aHAEHAD是等腰直角三角形，HA=HD，H

19、AEHDG，HE=HG四边形EFGH是正方形由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG（已证），GH=GF=FG=FE，四边形EFGH是菱形；HAEHDG（已证），DHG=AHE，又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90，四边形EFGH是正方形2. （2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、（0，0，0）（1）求证：=；l1l2l3l4h1h2h3ABCD（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=；（3）若，当变化时，说明正方形ABCD的面积S随的变化情况l1l2l3l4h1h2h3ABCDEFG

20、1423【答案】（1）过A点作AFl3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CGl3交l3于点G，l2l3，2 =3，1+2=90，4+3=90，1=4，又BEA=DGC=90, BA=DC，BEADGC，AE=CG，即=；（2）FAD+3=90，4+3=90，FAD =4，又AFD=DGC=90, AD=DC，AFDDGC，DF=CG，AD2=AF2+FD2，S=； (3)由题意，得， 所以，又，解得0h1当0h1时，S随h1的增大而减小； 当h1=时，S取得最小值；当h1时，S随h1的增大而增大.3. （2011福建福州，21，12分）已知,矩形中,的垂直平分线分别交、于点、,垂足为. (1

21、)如图10-1,连接、.求证四边形为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点、分别从、两点同时出发,沿和各边匀速运动一周.即点自停止,点自停止.在运动过程中,已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,当、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.若点、的运动路程分别为、(单位:,),已知、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.图10-1图10-2备用图【答案】(1)证明:四边形是矩形,垂直平分,垂足为 四边形为平行四边形又四边形为菱形设菱形的边长,则 在中,由勾股定理得,解得(2)显然当点在上时,点在上,此时、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能

22、构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒,解得以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.由题意得,以、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图1,当点在上、点在上时,即,得ii)如图2,当点在上、点在上时, 即,得iii)如图3,当点在上、点在上时,即,得综上所述,与满足的数量关系式是图1图2图34. （2011广东广州市，18，9分） 如图4，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF 求证：ACEACF图4ABCDE

23、F【答案】四边形ABCD为菱形BAC=DAC又AE=AF，AC=ACACEACF（SAS）5. （2011山东滨州，24，10分）如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC.设MN交BCA的平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。（第24题图）【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，四边形AECF是矩形2分证明：CE平分BCA,1=2，3分又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 5分同理，FO=CO6分EO=FO又OA=OC, 四边形AECF是平行四边形7分又1=2，

24、4=5，1+5=2+4. 8分又1+5+2+4=1802+4=909分四边形AECF是矩形10分6. （2011山东济宁，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.(第22题)（1）解：过作直线

25、平行于交，分别于点， 则，.，.2分，. 4分（2）证明：作交于点，5分则，.，.，.7分.8分(第22题)7. （2011山东威海，24，11分）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70，求MNK的度数（2）MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由（3）如何折叠能够使MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值（备用图）【答案】 解：ABCD是矩形，AMDN，KNM=1KMN=1，KNM=KMN1=70，KNM=K

26、MN=70MNK=40（2）不能过M点作MEDN，垂足为点E，则ME=AD=1,由（1）知KNM=KMNMK=NK又MKME,NK1MNK的面积最小值为，不可能小于（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B与点D重合，此时点K也与点D重合设MK=MD=x，则AM=5-x，由勾股定理，得,解得，即 （情况一）情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕为AC设MK=AK= CK=x，则DK=5-x，同理可得即MNK的面积最大值为1.3 （情况二）8. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，ABC90，CDAD，AD2CD22AB2（1）求证：ABBC；ABCDE

27、（2）当BEAD于E时，试证明：BEAECD【答案】（1）证明：连接AC，ABC90，AB2BC2AC2.CDAD，AD2CD2AC2.AD2CD22AB2，AB2BC22AB2，ABBC.（2）证明：过C作CFBE于F.BEAD，四边形CDEF是矩形.CDEF.ABEBAE90，ABECBF90，BAECBF，BAECBF.AEBF.BEBFEF AECD.9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF(1) 求证：四边形AECF是平行四边形；(2) 若BC10，BAC90，且四边形AECF是菱形，求BE的长 【答案】（1）证明：四边形

28、ABCD是平行四边形，ADBC，且AD=BC，AFEC，BE=DF，AF=EC，四边形AECF是平行四边形.（2）四边形AECF是，AECE，12，BAC90，3902，4901，34，AEBE，BEAECEBC5.10（2011宁波市，23，8分）如图，在ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G（1）求证：DEBF；（2）若G90，求证四边形DEBF是菱形解：（1）ABCD 中，ABCD，ABCDE、F分别为AB、CD的中点DFDC，BEABDFBE，DFBE四边形DEBF为平行四边形DEBF(2)证明：AGBDGDBC90DBC 为直角三

29、角形又F为边CD的中点BFDCDF又四边形DEBF为平行四边形四边形DEBF是菱形11. （2011浙江衢州，22,10分）如图，中，是边上的中线，过点作，过点作与分别交于点、点，连接求证：;当时，求证：四边形是菱形；在（2）的条件下，若，求的值.（第22题）【答案】.证明：(1)解法1：因为DE/AB,AE/BC,所以四边形ABDE是平行四边形，所以AE/BD且AE=BD，又因为AD是边BC上的中线，所以BD=CD，所以AE平行且等于CD，所以四边形ADCE是平行四边形，所以AD=EC.解法2： 又 (2)解法1：证明是斜边上的中线 又四边形是平行四边形 四边形是菱形解法2证明： 又四边形是

30、平行四边形 四边形是菱形解法3证明： 四边形是平行四边形 又四边形是菱形解法1解：四边形是菱形的中位线，则解法2解：四边形是菱形12. （2011浙江省嘉兴，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH

31、是什么四边形？并说明理由 （第23题图2）（第23题图3）（第23题图1）【答案】（1）四边形EFGH是正方形(2) HAE=90a在ABCD中，ABCD，BAD=180ADC=180a；HAD和EAB都是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360HADEABBAD3604545（180a）90aAEB和DGC都是等腰直角三角形，AE=AB，DG=CD，在ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC都是等腰直角三角形，DHA=CDG= 45，HDG=HADADCCDG90aHAEHAD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG四边形EFGH是正方形由同理可得：GH=

32、GF，FG=FE，HE=HG（已证），GH=GF=FG=FE，四边形EFGH是菱形；HAEHDG（已证），DHG=AHE，又AHD=AHGDHG=90，EHG=AHGAHE90，四边形EFGH是正方形13. （2011福建泉州，21，9分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1(1)证明：A1AD1CC1B；(2)若ACB30，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形. （直接写出答案）【答案】矩形ABCD BC=AD,BCADDAC=ACB把ACD沿CA方向平移得到A1C1D1A1=DAC,A1D1=AD,AA1=CC1A1=AC

33、B，A1D1=CB。CBADA1C1D1（第21题）A1AD1CC1B（SAS）。6分当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形，9分14. （2011甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。ABCDEFO【答案】（1）由折叠可知EFAC，AO=

34、COADBCEAO=FCO，AEO=CFOAOECOFEO=FO四边形AFCE是菱形。（2）由（1）得AF=AE=10设AB=a，BF=b，得a2+b2=100 ，ab=48 +2得 (a+b)2=196，得a+b=14（另一负值舍去）ABF的周长为24cm（3）存在，过点E作AD的垂线交AC于点P，则点P符合题意。ABCDEFOP证明：AEP=AOE=90，EAP=OAEAOEAEP，得AE2=AOAP即2AE2=2AOAP又AC=2AO2AE2=ACAP15. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.（1）求证

35、： OP=OQ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形【答案】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ADBC， PDO=QBO，又OB=OD，POD=QOB， PODQOB， OP=OQ。 （2）解法一： PD=8-t 四边形ABCD是矩形，A=90，AD=8cm，AB=6cm，BD=10cm，OD=5cm. 当四边形PBQD是菱形时， PQBD，POD=A，又ODP=ADB，ODPADB， ，即， 解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. 解法二：PD=8-t

36、 当四边形PBQD是菱形时，PB=PD=(8-t)cm， 四边形ABCD是矩形，A=90，在RTABP中，AB=6cm， ， ， 解得,即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形. 16. （2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图，小慧同学吧一个正三角形纸片（即OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中

37、，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.小慧进行类比研究：如图，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O

38、经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问题：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是？请你解答上述两个问题.【答案】解问题：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，顶点O运动过程中经过的路程为.顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为=1+.正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为.问题：方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为=20+.正方形纸片OABC经过了81次旋转.17. （

39、2011江苏泰州，24，10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直平分线段AC，垂足为O，直线L分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F（1）ABC与FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由【答案】(1)相似.由直线L垂直平分线段AC，所以AF=FC，FAC=ACF，又ABC=AOF=90，ABCFOA（2）四边形AFCE是菱形。理由：AECF，EAO=FCO，又AOCO，AOE=COF，AOECOF，AE=CF，又AECF，四边形AFCE为平行四边形，又AF=FC，所以平行四边形AFCE为菱形18. （2011江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系xoy中，边

40、长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限（1）当BAO=45时，求点P的坐标;(2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由【答案】解：（1）当BAO=45时，PAO=90，在RtAOB中，OAAB，在RtAPB中，PAAB。点P的坐标为（，）（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线垂足分别为M、N，则有PMA=PNB=NPM=BPA=90，MPA=

41、NPB，又PAPB，PAMPBN，PM=PN，于是，点P都在AOB的平分线上；（3）h。当点B与点O重合时，点P到AB的距离为，然后顶点A在x轴正半轴上向左运动，顶点B在y轴正半轴上向上运动时，点P到AB的距离逐渐增大，当BAO=45时，PAx轴，这时点P到AB的距离最大为，然后又逐渐减小到，x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O ，点P到x轴的距离的取值范围是h。19. （2011山东济宁，17， 5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EFBD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形第17题【答案】证明：四边形ABCD是菱形，ADBC

42、，OB=OD，1分EDO=FBO，OED=OFB，2分OEDOFB，DE=BF，3分又DEBF，四边形BEDF是平行四边形，4分EFBD，四边形BEDF是菱形5分20（2011山东聊城，25，12分）如图，在矩形ABCD中，AB12cm，BC8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动设移动开始后第t秒时，EFG的面积为S（cm2）（1）当t1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移

43、动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由【答案】（1）如图甲，当t1秒时，AE2，EB10，BF4，FC4，CG2，由SS梯形EGCGSEBFSFCG(102)81044224(2)如图（甲），当0t2时，点E、F、G分别在AB、BC、CD上移动，此时AE2t，EB122t，BF4t，FC84t，S8t232t48（0t2）（3）如图乙，当点F追上点G时，4t2t8，解得t4，当2t4时，CF4t8，CG2t，FGCGCF82t，即S8t32(2t4)，(3)如图（甲），当点F在矩形的边BC上移动时，0t2，在EFF和FCG中，BC90，若，即

44、，解得t，又t满足0t2，所以当t时EBFGCF若，即，解得t，又t满足0t2，所以当t时EBFGCF，综上知，当t或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似21. （2011山东潍坊，18，8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PEPF的值. 【解】（1）四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF

45、.又PBF=45，PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=.（2）四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又PBF=45，PF=BF.PEPF=OFBF= OB=.22. （2011四川广安，23，8分）如图5所示，在菱形ABCD中，ABC= 60，DEAC交BC的延长线于点E求证：DE=BE图5【答案】证明：ABCD是菱形，ABC= 60 BC=AC=AD 又DEAC ACED为平行四边形 CE=AD=BC DE=AC DE=CE=BC DE=BE23. (2011江苏南京，21，7分)如图，将ABCD的边DC延长到点E，

46、使CE=DC，连接AE，交BC于点F求证：ABFECF若AFC=2D，连接AC、BE求证：四边形ABEC是矩形ABCDEF(第21题)【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD,AB=CDABF=ECF.EC=DC, AB=EC在ABF和ECF中，ABF=ECF，AFB=EFC，AB=EC，ABFECF（2）解法一：AB=EC ，ABEC，四边形ABEC是平行四边形AF=EF， BF=CF四边形ABCD是平行四边形，ABC=D，又AFC=2D，AFC=2ABCAFC=ABF+BAF，ABF=BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC口ABEC是矩形解法二：AB=EC ，AB

47、EC，四边形ABEC是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，ADBC，D=BCE又AFC=2D，AFC=2BCE，AFC=FCE+FEC，FCE=FECD=FECAE=AD又CE=DC，ACDE即ACE=90口ABEC是矩形24. （2011江苏南通，26，10分）（本体满分10分）已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF2OA，OE2OD，连结EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到（如图2）.（1） 探究AE与BF的数量关系，并给予证明；（2） 当30时，求证：AOE为直角三角形.【答案】（1）AEBF证明：如图2，在正方形ABCD中， ACBDAODAO

48、B90即AOEAOFBOFAOFAOEBOF又OAOBOD，OE2OD，OF2OAOEOFOAEOBFAEBF（2）作AOE的中线AM，如图3.则OE2OM2OD2OAOAOM30AOM60AOM为等边三角形MAMOME，又AMO即26030AOE306090AOE为直角三角形.25. （2011山东临沂，22，7分）如图，ABC中，ABAC，AD、CD分别是ABC两个外角的平分线在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F（1）求证：ACAD；（2）若B60，求证：四边形ABCD是菱形；【解】（1）证明：ABAC，BBCA

49、，EACBBCA2B，AD平分FAC，FADB，ADBC，（2分）DDCE，CD平分ACE，ACDDCE，DACD，（3分）ACAD；（4分）（2）证明：B60，ACB60，FACACE120，DCEB60，（5分）DCAB,ADBC，四边形ABCD为平行四边形，（6分）又由（1）知ACAD，ABAD，四边形ABCD是菱形（7分）26. （2011山东临沂，25，11分)如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G（1）求证：EFEG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa,BCb，求的值 图1 图2 图3（1）证明：GEBBEF90，DEFBEF90， DEFGEB，（ 1分） 又EDBE， RtFEDRtGEB，（ 2分） EFEG（ 3分）(2)成立（ 4分） 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I， 则EHEI，HEI90，（ 5分）