第章平差随机模型的验后估计.doc

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1、第3章 平差随机模型的验后估计 第三章 平差随机模型的验后估计 31 概述 众所周知，一个平差问题必须首先建立改平差问题的数学模型，平差的数学模型包括函数模型和随机模型两类。描述平差问题中观测量与观测量之间、观测量与未知参数之间相互关系的函数表达式，称平差函数模型。随机模型是描述观测误差?的一些随机特征，在平差中主要是?的数学期望和方差，具有 E(?)?0 （3-1-1） 和 D(?)?20Q?20P?1 （3-1-2） （3-1-1）式表明观测误差中不含系统误差和粗差，是一般情况下最小二乘平差的要求（3-1-2）式式平差时定权的根据。 平差前，随机模型要已知D(?)，称为验前方差。只有精确地

2、已知验前方差D(?)才能精确地定权，所以随机模型的估计，就是验前方差D(?)的估计，也就是观测值权的估计。 过去很长的时间，平差都在单一的同类观测量中进行，例如测角网平差，水准网平差。定权可从定义式（3-1-2）出发，采用测量平差中常用方法定权，例如，水准高差按路线长度倒数定权等。随着平差对象从单一同类观测量扩展为不同类的多种观测量，一般，它们的验前方差又不能都已知，如果能精确地估计它们的方差，达到精确地定权就需要深入研究了。所以，近20年来国内外测量界把平差随机模型的估计作为主要课题进行研究，取得了丰富的成果。 对不同类的观测量，一般采用经验公式定权，即根据仪器出厂标明的标称精度估算各自的方

3、差，然后再按定义式（3-1-2）定权。例如在边角同测的控制网中，测距仪给出的测边中误差标称精度公式为 ?i?(?bsi) 测角中误差为?（按规范），以?i和?为测边和测角的验前方差定权，得 P? 2 2?22?1 Psi?si(单位：()/cm) 22 在卫星网与地面网、重力网与水准网的联合平差，摄影测量与大地测量数据联合处理中，也可按上述经验公式的方法定权。 这种估计验前方差确定各类观测量权的方法，时间证明，在许多情况下是不够精确的。为了提高方差估计的精度，70年代开始出现了用验后的方法估计各类观测量的方差，然后定权，我们称之为平差随机模型的验后估计法。 随机模型的验后估计，其基本思想是，先

4、对各类观测量定初权，进行预平差，利用预平差后得到的信息，主要是各类观测值改正数V，依据一定的原则对各类观测量的验前方差和协方差做出估计，依此定权，实践已经证明这种定权方法的优越性，并已在实际工作中广泛应用。 本章首先介绍方差估计法，即赫尔默特估计法，并介绍改法在实际计算中的一些简化计算公式。接着介绍方差、协方差估计法。然后介绍二次无偏估计法，主要介绍C.R.Rao于1970年提出的最小范数二次无偏估计（MINQUE）法和K.R.Koch于1980年提出的最优不变二次无偏估计（BIQUE）法。最后介绍方差分量估计中的精度评定以及方差分量估计在测量实践中的应用。 32 赫尔默特方差估计法 1 严密

5、估计公式 利用预平差的改正数V，按验后估计各类观测量验前方差方法，最早是由赫尔默特提出的，若各类观测量之间相互独立，即观测量的方差阵是拟对角型矩阵，称为方差估计，或称方差分量估计，以下介绍由Welsch推证的赫尔默特方差估计严密公式。 间接平差的基本公式为 函数模型： n?L?BX? （3-2-1） n?t?tn? 随机模型： ?,E(?)?0,E(L)?BX D(L)?2 0P,D(?)?D(L)?120P? 1 （3-2-2） ?L （3-2-3） 误差方程：V?BX 法方程及其解为 ?W,X?N?1W （3-2-4） NX 式中N?BPB,W?BPL。 现设在L中包含有两类相互独立的观测

6、值L1和L2，它们的权阵分别为P1和P2，并 n1?1n1?1n1?n1n2?n2TT 且P12?0，它们的误差方程为 ?L?V1?B1X1? （3-2-5） ?V2?B2X?L2? 且有下列关系式： ?L1?V1?B1?P1L?,V?,B?,P?L2?V2?B2?0 TTT0? P2?N?BPB?B1P1B1?B2P2B2?N1?N2 W?BPL?B1P1L1?B2P2L2?W1?W2TTT （3-2-6） 一般地说，第一次平差时给定的两类观测值的权P1和P2是不恰当的，或者说它们所对应的单位权方差不相等，令其分别为? D(L1)? 201 201 和? 202 ，则有 ? ? （3-2-7

7、） 2?1 D(L2)?02P2? P1 ?1 方差分量估计的目的是利用各次平差后各类改正数的平方和V1TPV及V2TP2V2来估计?11及? 202 201 。为此，必须建立残差平方和与? 201 及? 202 之间的关系。 因为对于数学期望为?，方差阵为?的随机向量Y，其二次型YTMY(M为任何一对 称可逆阵）的数学期望为 E(YMY)?tr(M?)?M? （3-2-8） T T 而改正数V的期望为零，即有 E(V1)?0 （3-2-9） 所以 E(V1PV)?tr(P1D(V1) （3-2-10） 11 T 式中D(V1)为改正数V1的方差。 由（3-2-5）式可知： ?L?BN?1W?

8、L?BN?1(W?W)?LV1?B1X1111121 ?(B1N ?1 B1P1?E)L1?B1N T?1 B2P2L2 T （3-2-11） 故V1的方差为 D(V1)?(B1N ?B1N ?1 B1P1?E)D(L1)(B1NB2P2D(L2)P2B2N 201 ?1 T ?1 T?T B1P1?E) TT B1 ?1 将上式展开，并顾D(L1)? D(V1)?01(B1N 2 ?1 P1,D(L2)? ?1 T 202?1 P2，则上式可整理得： N1N ?1 ?1 B1?2B1N ?1 T B1?P1)? ?0 2 2 (B1NN2NB1) T （3-2-12） 将上式代入（3-2-1

9、0）式，得： E(V1PV)?tr(P1D(V1)11 ?01tr?P1P1 22 2 T ?1 ?2P1B1N ?1 ?1 B1?P1B1N T T?1 N1N ?1 B1 T ? ?0tr?P1B1N?01tr 2 2 N2N ?1 ?1 B1 ? ?1 2 ?E?2N n1?n1?1 B1P1B1?N T T N1N ?1 T B1P1B1? （3-2-13） ? ?0tr?N N2N ?1 ?1 B1P1B1? ?1 ?n1?2tr(Ntr(N ?1 N1)?tr(N 2 N1N ?1 N1)?01? 2 N1N ?1 N2)?02 同理可得： E(V2P2V2)?tr(N T ?1

10、N1N ?1 N2)?01?n2?2tr(N 2?1 N2)?tr(N ?1 N2)?01 （3-2-14） 22 在（3-2-13）和（3-2-14）两式中，将数学期望得符号去掉，改成由平差得到的计算值V1TPV11及V2TP2V2，则求出的? 2 和?01 202?0和?0。将上二式写成矩阵形式为 也应该改为估计值?12 22 2?22?1 S?W? （3-2-115） 2?1 式中 ?n1?2tr(N?1N1)?tr(N?1N1)2 S? （对称）? ? （3-2-16） ?1?12? n2?2tr(NN2)?tr(NN2)? tr(N N1N N2) T ?1?1 ?0? 2 1 ?0

11、,W?V1PV?11 2 2TT V1PV 11 T 公式(3-2-15)、(3-2-16)即为两类观测值按间接平差时的赫尔默特估算公式，由(3-2-15)式知，被估参数与方程的个数相同，一般说来，有惟一解，即 ?1 ?SW? 将两类观测值扩展到m类观测值的一般情况，则对应的公式如下： ?L,(i?1,2,?,m) (3-2-17) Vi?BiXii ni?1 ni?tt?1 ni?1 D(Li)?0iPi (3-2-18) 2?1 将 ?NW?NX ?1 m?1 ?W j?1 j 代入(3-2-17)式，并整理集项得： ?L?BN?1W?L?(BN?1BTP?E)L?BNVi?BiX?jii

12、iiiiii j?1m m?1 ? j?1,?i BjPjLj T 由协方差传播律得： D(Vi)?(Pi m ?1 ?BiN ?1i ?1 NiN ?1 Bi?2BiN Ti 20j T?1 Bi)?0i? T2 ? j?1,?i ?(BN NjN ?1 B)? ? 根据二次型的期望定理： E（YMY）tr(M?)?M T T ，并顾及Y?Vi，MPi， ?D(Vi)及?E(Vi)?0，则有 E(ViPV)?tr(PiPi ii m T?1 ?PiBiN ?1 ?1 NiN Ti ?1 Bi?2PiBiN ?1 Bi)?01? T2 ? j?1,?i ?(BN i NjN ?1 B)? 20

13、j ? ?1 所以 E(ViPV)?(ni?2tr(Nii m T ?1 Ni)?tr(N ?1 Ni)?0i? 22 ? j?1,?i ?tr(N m?mm?1 ?1 NiNNj)? 2 0j ? (3-2-19) 在上式中，被估参数m个，将上式写成矩阵形式，即得m类观测值的赫尔默特估计公式： S?W? (3-2-20) m?1 式中 ?n1?2tr(N?S? ?0 2 1 ?1 N1)?tr(N(对 ?1 N1) 2 tr(N n2?2tr(N ?1 N1N称） ?1 N2) ?1 ? N2) 2 ?1 N2)?tr(N ? ? ?1?12 tr(NN2NNm)? ?1?12 nm?2tr

14、(NNm)?tr(NNm)? tr(N N1N Nm) ?1?12 ?0? 2 2 ? ?02?,W?V1TPV?11? m T V2P2V2 T ? T VmPmVm? T 其解为 ?SW? (3-2-21) ?1 方差分量估计的迭式计算步骤如下： (1) 将观测值按等级或按不同观测来源分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的 权的初值P1,P2,.,Pm； T (2)进行第一次平差，求得ViPiVi； (3)按(3-2-20)式进行第一次方差分量估计，求得各类观测值单位权方差的第一次估值 2 ?0，再依下列定权： i ? Pi 2 c?0Pi? i 2?1 (3-2-22) 式中c为任一

15、常数，一般是选?0i中的某一个值； (4)反复进行第二项和第三项，即进行：平差方差分量估计一定权后再平差，直至 ?02?02?02 ? 1 2 m 为止，或通过必要的检验认为各类单位权方差之比等于1为止。 2 简化公式 上面已经导出了方差分量的严密估算公式，从统计的角度讲，它们均具有无偏的良好特性。但对于一个较大型的控制网而言，计算工作量很大，这主要表现在几个矩阵的乘法运算和求迹运算。即使有了大型的电子计算机，要想同时贮存逆矩阵N及所有的子块矩阵Ni(i=1,2,m)，就难以实现，更不必说进行矩阵运算了。为此，需要寻求近似的、快速的计算方法。 在严密公式(3-2-20)中，略去求迹部分，则有

16、?i ViPV?ni?ii T 2 1 即各类观测值的单位权方差的估值为 ? 2 0i ? ViPVii ni T (3-2-24) 对(3-2-24)式求和便知，它是有偏估计，上式为赫尔默特近似公式。 在严密公式 （3219）中，假定?01?02.?0i?.?0m?0i(?0)，则得 m 222222 E(ViPV)?ni?2tr(Nii ?(ni?2tr(N?(ni?tr(N T?1 Ni)?tr(NNi)?tr(N 2 ?1 NiNNiN ?1 ?N j?1 j )?0i 22 ?1?1?1 N)?0i 2 ?1 Ni)?0i 由此得简化公式为 ?(ni?tr(N ViPVii T ?1

17、 ?02 (3-2-25) Ni)?i 上式也可通过下述途径导出： 由间接平差的基本公式可知V协因数阵为 ?1 QV?Q?BN T B (3-2-26) 即有 QVi?Qi?BiN D(Vi)?(Qi?BiN ?1?1 T B i (3-2-27) 2 ?0 Bi)?i T 所以 E(ViPV)?tr(PQ?PiBiNiiii T ?1 Bi)?0i?(ni?tr(N T2?1 Ni)?0i (3-2-28) 2 上式与(3-2-25)式完全一致，因此，由上式得到的简化公式为 ? 2 0i ? ViPViini?tr(N ?1 T Ni) (3-2-29) 由(3-2-27)式不难看出，上式中

18、的 ni?tr(N ?1 Ni)?tr(PQV)i ?1 因此，一般称(ni?tr(NNi)为第i类观测值Li的多余观测分量，若令 ?1 tr(PQV)i?ni?tr(NNi)?ri (3-2-30) 则(3-2-29)式可写成： ? 2 0i ? ViPVii ri T (3-2-31) 一般情况下，在大型控制网平差中，法方程系数矩阵N的非主对角元相对较小。因此，略去法方程系数阵N和子块矩阵Ni中的非主对角元仍利用严密公式进行方差估计也可得到 较好的近似。 令略去非主对角元后的矩阵为 N?BPB?diag?Na T Nb ? Ni?Nti? Ni?BiPiBi?diag?Nai T Nbi

19、则有 tr(N ?1 ?Nki?Ni)? ?Nk? ? (k?a,b,?,t) 2 ?Nk?12 tr(NNi)?2i ?Nk ? ? tr(N ?1 NiN ?1 ?NkiNkj Nj)?2 N?k? 3-3 方差协方差分量估计 为推导公式简便，本节将首先导出两类相关观测值L的方差-协方差估计公式，然后再将其扩展到m类相关观测值的一般情况。 间接平差的基本公式仍为(3-2-1)(3-2-4)，其中相关观测值的相关权矩阵设为PL，再设在L中包含有两类(或精度不等)相关观测值L1和L2，一般说来，第一次平差时给定两类观 测值的权阵是不恰当的，也可以说它们所对应的单位权方差与单位权协方差不相等，令

20、其分别为?01，?,012，?,02，则观测值L的方差阵为 ?D(L1) D(L)? ?D(L2,L1) 2 D(L1,L2)?01Q11 ? D(L2)?02Q12 ?12 222 ?0Q12? 12 2 ? （3-3-1） ?Q22? 202 式中，处协因数阵和互协因数阵Q11，Q12，Q22是已知的，并组成对称正定阵，而 222 ?0，?,0，?,0是待定量。所谓方差工-协方差估计，就是通过平差得到的残差平方和 1 12 2 V1P11V1,V1P12V2?V2P12V1和V2P22V2去估计?01，?,012，?,02。为叙述方便，令待估量 TTTTT222 用向量?表出，即有 ?0

21、2 1 ?0 2 12 2 ?0? 2 T 为与向量的维数号一致，上式也可表示为 2 ?0?1 ? 2 012 ? 202 ? T ?1 ?2 ?3? （3-3-2） T 下面推导向量?估求公式。 为平差时定权的需要，应取?的初值，一般取 ?(0)?111? （3-3-3） 此时观测值L的方差阵为 ?D0(L1) D0(L)? 1?D0(L2,L) D L(1L,?)2 ? D(0L)2? T ?Q11Q1?2 ? （3-3-4） QQ?122?2 上式即为观测值L的协因数阵，由此得观测值的权阵为 ?Q11Q1?2?1 P0(L)?D0(L)?T ? QQ?1222? ?1 ?P ?T ?P1

22、2 11 P?12 ? （3-3-5） P22? 为推导公式之方便，现采用如下符号： ?Q11 ?Q1? ?0P?11P1? ?0 0?0?0?0? ?0?Q2?T?Q12?0?P2?T?P12 Q12? ?0?P12?0? ?0?Q3?0?0?Q3?0 0?Q22?0?P22? 则(3-3-1)、(3-3-4)和(3-3-5)三式可表示为 3 D(L)? ? i?13 ?Qii? ? ? （3-3-6） D0(L)?Qi?i?1?3?P0(L)?Pi?i?1? 由此可得末知参数X在P0(L)下的最小二乘估值为 ?(BTP(L)B)?1BTP(L)L （3-3-7） X00 在不致混淆的情况下

23、，上式仍记为 ?N?1BTPL （3-3-8） XL 观测值改正数V在P0(L)下的公式为 ?L?BN?1BTPL?L?(BN?1BTP?E)L?RL （3-3-9） V?BXLL 式中 R?BN ?1 BPL?E T 值得指出的是，上式中的N、PL均是在初值(3-3-3)下的计算值，因此，R也应是在上述初值 下的计算值，严格地讲，应记为R(0)。 顾及等式L-BX?，则有 ?L?BX?BX?BX?LV?BX ?BX)?(L?BX)?(BX?(BN?(BN?(BN?R? ?1?1 BPLL?BN TT T?1 BPLBX)?(L?BX) T （3-3-10） BPL(L?BX)?(L?BX)B

24、PL?E)(L?BX) ?1 其二次型为 VPLV?RPLR? (3-3-11) 因 VPLV?tr(VPLV)?tr(?RPLR?)?tr(RPLR?) T T T T T T 对上式取期望，并顾及E?T?D?D?L?,则得 E?VPLV T ?tr?E(R T T PLR?)? TT ?trRPLRE? T?tr(R 2 PLRD?) (3-3-12) ?tr(RPLRD?L?) T 由（331）式知，所需估计得方法协方差因子?01,?012和?02已包含在D?L?中，将上 2 2 ?02,?02和?02。 式左边得期望符号去掉，则可得方差协方差因子得估值?1122 为把（3312）式表示

25、成方程组的形式，可将（336）式代入（3312）式的 左边，得 E?VPLV T ?E?V i=1 3 T ? PVi 代入（3312）式的右边，得 3 3 T tr(RPLRD?L?)? T ?tr(R i?1 j?1 ?) ?RQPijj 因此有等式 3 ? i=1 ?E?VPVi T ?tr(R i?1 j?1 33 T ?) （3313） ?RQPijj 很显然，上式为一具有3个未知数的线性方程组，去掉数学期望符号，并将它写成矩阵形式： ?RQ?trRTP11 ? ?RQ?trRTP21 ? ?RQ?trRTP31? ?tr?Rtr?R T?trRPRQ12 T ?RQP22?RQP3

26、2 T ? ? T?trRPRQ?02?VTPV13 1?1?T?2T?trRP2RQ?012?VP2V3 ? 2?V?VTPT?3trRP3RQ3?02? ? ? ? (3-3-14) ? 顾及 ?V1?V? ?V2? ?的含义，上式也可表示为 及符号Pi ?RQ?trRTP11 ? ?RQ?trRTP21 ? ?RQ?trRTP31? ?tr?Rtr?R T?trRPRQ12 T ?RQP22?RQP32 T ? ? T?trRPRQ?02?VTPV?13 1111?1?T?2T? (3-3-15) trRPRQ?2VPV?0?231122? ?12?T 2?VPV?T?trRP3RQ3?

27、02?2222? ? 上两式是用改正数的二次型，即用残差得平方和估求的计算公式，若将（339）式，即将V=RL代入（3314）式，可得用观测值L的二次型估求的计算公式： ?RQ?trRTP11 ? ?RQ?trRTP21 ? ?RQ?trRTP31? ?tr?Rtr?R T?trRPRQ12 T ?RQP22?RQP32 T ? ? T?trRPRQ?RL?02?LTRTP13 1?1? ?T?2TT?trRP2RQ?012?LRP2RL?3 ? 2?RL?LTRTPT?3?trRP3RQ3?02? ? (3-3-16) 下面将两类观测值的方差协方差得估计公式扩展到m类观测值得一般情况，此时，

28、观测值L的方差阵为 ?D?L1? D?L2、L1? D?L? ?D?Lm、L1? D?L1、L2?D?L2?D?Lm、L2? ? 2 D?L1、Lm?01Q11 ?2T ?QD?L2、Lm?01212 ? ? 2TD?Lm?Q?01m1m ?0Q12 12 2 ? ?Q22 ? 2 02 ?0Q2m 2m 2T ? ? ?Q2m? ?2 ?0mQmm? 202m 2 ?0Q1m? 1m 式中待估量共有m?m?1?/2个，令 k?m?m?1?/2 其中有m个各类观测值得单位权方差因子?0，以及m?m?1?/2个两类观测值之间得单位 i 2 权协方差因子?02，将待估量用向量表示，并记为 ij 2

29、 ?01 ?k?1 ? 2 012 ? ? 202 ?k?1 2013 ?k? T 2023 ? 203 ? ? 2 0?m?1?m ? 20m ? T ?1 ?2?3 (3-3-6)式相应地扩展为 k D?L? ? i?1k ?Qii? ? ? ? (3-3-17) ? D0?L?D0?L? ?Q i?1 i ?P i?1 k i (3-3-13)式则变为 k ? i=1 ?E?VPVi T ?tr(R i?1 j?1 33 T ?) （3318） ?RQPijj 去掉期望符号，并将上式写成矩阵形式，即得m类观测值得方差协方差估计公式： ?RQ?trRTP11 ? ?RQ?trRTP21 ?

30、T?trRPRQ?k1? ? ?tr?R? T?trRPRQ12 T ?RQP22 ? ? ? ? T?trRPRQk2 ? T?trRPRQT?1k 1?1?VPV?T?T?VtrRP2RQ?2?VPk2 ? ? ?VTP?VT?k?trRPkRQk?k? ? ? ? ? （3319） ? 或写为 ?RQ?trRTP11 ? ?RQ?trRTP21 ?T?trRPRQ?k1? ? ?tr?R? T?trRPRQ12 T ?RQP22 ? ? ? ? T?trRPRQk2 ? T?trRPRQTT?1k ?1?LRP1RL? ?TT?T?trRPRQRL?2?LRP2k2? （3320） ?

31、? ?LTRTP?T?RL?k?k?trRPkRQ?k? ? ? ? 简记为 k?kk?1 T?WV （3321） k?1 和 k?kk?1 T?WL (3-3-22) k?1 式中 T?)Tij?tr(RPRQijT? WVi?VPVi WLi ?RL?LRPi T T ?i,j?1,2,?,k? 常称（3321）或（3322）式为赫尔默特型方差协方差的估计公式。 至于（3321）式的解，则取决于系数矩阵T的性质，当T为满秩矩阵，即它的秩为 rk?T?k 时，方程有唯一解 ?1 ?TWV (3-3-23) 或 ?1 ?TWL (3-3-24) 当T为降秩矩阵，即当 rk?T?k 时，方程（3

32、321）式有唯一的最小范数解 ?TWV （3325） 或 ?TWL （3326） 式中，T为矩阵T的最小二乘最小范数逆， 方差协方差估计的具体计算步骤如下： （1） 将观测值按等级或按不同观测来源分类，并选取单位权方差和单位权协方差因子得 初值，即确定（0），然后定权P0(L)； T? （2） 进行第一次平差，求得VPV； i （3） 按（3321）式求得单位权方差因子?0和单位权协方差因子?0ij的第一次估值?0 i 222 i ?02，将它们代入（3323）式，估计观测值L的方差阵，并以此重新定权； 和?ij （4） 反复进行第2项和第3项，直至 ?1?2?k 为止。 进行方差协方差估计应

33、注意以下几个问题： （1） 必须有足够多的多余观测值，以使估值具有良好的统计意义。即方差 协方差估计应在大子样的条件下进行。 （2） 为避免方程（3321）出现病态或降秩，应选择适当的m值，即不要 将观测值分类过多。 （3） 在估计过程中，单位权方差因子?0有可能出现负值，即出现了负方差，i2 应分析并找出其原因，然后在重新分类估计。 赫尔默特方差估计的严密公式是方差协方差估计公式的一个特例，即在Qij0条件下的一种特殊情况。 34 二次无偏估计法 本节介绍两种二次无偏估计法：一是Rao于1970年提出的最小范数二次无偏（简记为MINQUE法），二是Koch于1980年提出的最优不变二次无偏估

34、计法（简记为BIQUE法）。 二次无偏估计法的主要目的是：如果存在不同类型观测值，那么该法可估计各类观测值得方差分量，即估计各类观测值得单位权方差因子?0；如果同类观测值的方差存在着不i2 同因素的不同影响，则该法也可估计这些不同因素的方差分量。例如，在距离或高差测量中，人们通常把它们的观测误差分为于距离有关的一部分和与距离无关的一部分。 二次无偏估计的基本途径：先提出估计应具有的性质，然后把满足这些性质所加的条件构成一个极值问题，在MINQUE中，是所谓的最小范数（也可叫最小迹）问题；在BIQUE中，是所谓的最小方差问题，求极值问题的解，即可得到所要的估计结果。 1 最小范数二次无偏（MIN

35、QUE法） 设间接平差的数学模型为 函数模型： n?1LBX?，rk?B?t （341） n?tt?1n?1 随机模型： ?,E?0?E?L?BX? (3-4-2) 2?1D?D?L?0P? 为推导公式更具一般性，现设观测误差向量具有如下形式： n?1 ?H1?1?H2?2?Hm?mH? (3-4-3) n?n1n1?1 n?n2n2?1 n?nmnm?1 式中 H?H1 H2 ? Hm? ? T ? T 1 ? T2 ? Tm i 是随机误差分量，Hi为已知的 2 nni阶系数矩阵，且 E?i?0，D?i?0iEi?i1，2，?，m?，D?i，?j?0?i?j?。由此 m m i m 2 0

36、i D?L?D? ?H i?1 D?i?HTi ? ? i?1 HiH Ti ? ? i?1 20i Ti （344） 式中 Ti?HiHi T 在上式中，Hi是已知的，所以Ti可以计算，而单位权方差分量?0是未知的，为书写方 i 2 便，设 ?0m?1 2 1 ?0 2 2 ? 2 ?0?1 m T ?2 ? ?m? T 在设上述方差分量的任意线性函数为 m ?1?m?i?0i? （345） i1 2 0120m 2T 式中 m?1 ?1 ?2 ? ?m? T 是已知的m维向量（任意）。现选取观测值向量L的某个二次型去估计，即取 ?LTML (3-4-6) ? 式中，二次型对称矩阵M待定。在

37、MINQUE法中，要求选出的待定矩阵M能使估计量具有如下三个性质：（1）不变性；（2）无偏性；（3）最小范数条件。 （1） 不变性 所谓不变性，是指二次估计LTML与未知参数X的选择无关。下面说明，仅当对称矩阵M满足条件 n MB0 （347） nn t 时，则二次估计LTML是不变的。 设 X?X0?X 作为未知参数，则观测方程变为 L?BX?BX0?B?X? 即有 lB?X? 式中 lL-BX0 此时，T的估计应为lTMl，即?L?BX0?M?L?BX0?,我们要求它对所有的X0恒等于LTML，这个要求是合理的。因为现在估计的是m个方差分量，它们的估计量应该对于均值?是不变的，由于 E?L

38、?BX T ?LBX0? T M?LBX0?LML?2LMBX0?X0BMBX0 T T T T T T?为易知，当MB=0的条件下，则对任意的X0，二次型LML的值不变。特别是当取式中X X的最小二乘估值，此时 ?BX?LV LBX0LBX ? 则 ?LBX0? 顾及（348）式，则 T M?LBX0? T ?LBX ? T ?VTMV (3-4-9) MLBX ? VMV?LML (3-4-10) TT 由上式可知，一个观测值向量L的二次型可以用它的改正数向量V的二次型来表达。 （2） 无偏性 这里指的是在满足不变性条件下的无偏性。即二次估计LTML应满足等式： E?LML? T T m

39、? il 2 0i （3411） 应用二次型的期望公式，则得 E?LML?tr?MD?L?E T T ?L?ME?L? (3-4-12) 将 ?E?L?BX m D?L? ? l 2 0i Ti 代入（3412）式，则得 E?LML? T ? l m 20 i ?TBTMBX tr?MTi?X 由不变性可知，上式中的MB=0，故 E?LML? T ? l m 20 i tr?MTi? （3413） 由（3411）和（3413）两式可知，欲使LML为?i?02的无偏估值，则M还必 i T m l 须满足条件 ?i?tr?MTi?，2，?，m? (3-4-14) ?i1， 换言之，当待定阵M满足条

40、件?i?tr?MTi?时，则LML为?i?02的无偏估值，顾 l i T m 及（3410）式，则在相同条件下，VMV也是?i?02的无偏估值。 l i T m （3） 最小范数条件 这里指的是在不变和无偏条件下的最小范数条件，也叫最小范数准则，在这个准则下， 即可具体确定待定矩阵M。 现假设随机变量?i是已知的，则?0的理论估值应为 i 2 ni?1 ? T 20i ?j i T ni （3415） 则?的理论估值为 ?1 ?i? ?n1 T 20i?m?T?T ?m?m?1?1?n?m? ?1 (3-4-16) ? ?TR? ? ?m?Em? T ?1? ? ?1 ?nE1?1?T ?m? ? ? ? ?mnm 式中 ? R?diag?1E1 ?n1 ? ?m nm ?Em? ? 前已提及，二次无偏估计是选取观测值向量的某个二次型LTML去估计，在满足不变性的条件下，即在MB=0的条件下，并顾及?H?,则?T?的实际估值为 ?LTML?BX?TM?BX?TM?THTMH? (3-4-17) ? 由（3416）和（3417）两式可知，