立体几何中的最值问题资料

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1、3.立体几何中白最值问题（一）求解立体几何的最值问题主要应用代数中的有关函数知识或不等式有关知识求解。解题 的关键是恰当地引入参变量（一元或二元），建立目标函数，然后由表达式的特点求最值；求 曲面上的两点间距离或多面体中的折线的最短长度问题，可考虑展开后转化为平面上两点间 的最短距离问题，然后用通常的解三角形的方法加以解决。一、面积的最值问题1 .【湖南省怀化市2014届高三第二次模拟考试统一 ,检测】在空间中有一棱长为a的正四面 体，其俯视图的面积的最大值为（）A. a2B. a2C.卫D.2442 .（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（R）数学（理）试题）在半径为R的球内有一内接圆柱

2、，设该圆柱底面半径为r,当圆柱的侧面积最大时，rR为 （）A.2C.D.13A B、C、D在同一个球的球面上,3 .（东北三省三校2013年3月高三第一次联合模拟）点AB = BC=J2 AC =2,若四面体ABCD体积的最大值为2,则这个球的表面积为（3A .125 二 23B.8 二C.25 二D.25 二64164 .（河北省武邑中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）如C.2图，在三棱锥 P-ABC 中，PA，底面 ABC, / ACB=90： AE PB 于 E , AF，PC于 F ,若PA =AB =2, / BPC=e ,则当 &AEF 的面 积最大时，tane的值为（

3、）A. 2B.-25 .（河南省豫东、豫北十所名校2012届高三阶段性测试四理科）已知长方体ABCD-AiBiCiDi的外接球的表面积为16k,则该长方体的表面积的最大值为（）A. 32B. 36C. 48D. 646 .（湖南省株洲市2008届高三第二次质检）已知三棱锥P ABC的四个顶点均在半径为1的 球面上，且满足PA PB = 0, PB PC=0, PC PA = 0,则三棱锥P ABC的侧面积的 最大值为（）A. 2B. 1C. -D. 1247 .设圆柱轴截面的对角线长为定值，为使圆柱的侧面积最大，则轴截面的对角线与底面所成 的角为（），:，：，：5 二A -B、C -D、8 .

4、有一个棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（仍保持为球 的形状），则气球表面积的最大值为（）鹏则A、 aa2B、 2na2C、 3na2D、 4na29 .已知圆锥的母线长为l,底面半径为R,如果过圆锥顶点的轴截面面积的最大值是R 2R 20 R 2D、B B、 = C、三l 2l 2l 210、如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面，则圆锥的侧面展开图的圆心角的取值范围是（）A、 0,nB、（0,V2n ）C、 0, 冗 D、（0,%/2 12211.圆锥的轴截面为正三角形，母线长为 最大时，h的值是（）8,圆锥的内接圆柱的高为h,当内接圆柱的侧面积A、空B、43C、

5、3石D、2 312. 在正三棱锥 P-ABC中，AB=8, PC=475,动点M w PC,则AABM面积的最小值为( )2416 55A、24B、4v37C、4、35D、山电5513.【2014年呼伦贝尔市高考模拟统一考试（二）】设A、B、C、D是半径为2的球面上的四S.ABC - S ABD + S&CD的最大值是点，且满足 AB_L AC,AD _LAC, AB_LAD ,14【东北三省三校2014届高三第一次联合模拟】 正四面体ABCD的棱长为4, E为棱BC的 中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 .答案：1-12 BCCD AABB CCDD 13. 8; 14.4 二

6、3.立体几何中白最值问题（二）二、体积的最值问题1. （2010全国卷2理数）（9）已知正四棱锥S-ABCD中，SA=2翼,那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A. 1B. V3C. 2D. 32. （2010全国卷1文理数）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2, 则四面体ABCD的体积的最大值为（）A.2.34、3B. 3C. 2百3. 【湖北省稳派教,育2014届高三上学期强化训练（三）数学（理）试题】在三棱锥 P-ABC 中，PA,PB,PC两两垂直，且PA = 3,PB=2,PC =1 ,设M是底面AABC内一点，定义 f（M）=（m,n,p）,其中m

7、,n, p分别是三棱锥M - PAB ,三棱锥M - PBC ,三棱锥M - PCA的 体积，若f （M ） =（1, x, y）,且,+旦之8 ,则正实数a的最小值为（）2x yA. 1B. 2C. 2 2D. 44 .【陕西省西工大附中2014届高三第四次适应性训练】已知一个四面体有五条棱长都等于2,则该四面体的体积最大值为（）A.B. 1/- D 25 .（北京市朝阳区 2013届高三上学期期末考试数学理试题）在棱长为1的正方体ABCD -A1BC1D1中，点P , P2分别是线段AB , BD1（不包括端点）上的动点，且线段PR平行于平面AADD1，则四面体PP2AB1的体积的最大值是

8、（）A.124B.126 .（河南省十所名校2013届高三第三次联考数学（理）试题）四面体 ABCD中，AD与BC互 相垂直，AD=2BC=4,且AB+BD=AC+CD=2 714，则四面体 ABCD的体积的最大值是（ ）A. 4B. 2而C. 5D.商7 .（吉林省实验中学2012届高三第六次模拟理科）已知正四棱锥S ABCD中，SA= 2曲，那么当该棱锥的体.积最大时，它的高为（）A. 1B. 73C. 2D. 38 .（四川省成都市新都一中高2008级12月月考）已知一个四面体有五条棱长都等于2,则该四面体的体积最大值为（）12A、2B、亍C、1D、29 . （2009湖南师大附中第五次

9、月考）如图，三棱柱 ABC A1B1C1的侧面A1ABB11BC,且A1 C与底面成45角，AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为（）A. 4V3B. 3J3C. 410 .【湖南省衡阳市八中2014届高三上学期第三次月考试卷数学 （理）】在三棱锥D-ABC中, 已知BC AD, BC=2 , AD=6,AB+BD=AC+CD=10, WJ三棱锥 D 一 ABC的体积的最大值是11 .【山东省东营市高三4月统一质量检测】已知直角梯形 ABCD, AB_lAD, CD _l AD , AB =2AD =2CD =2 ,沿AC折叠成三棱锥,当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积 为.12 .【20

10、12高考真题上海理14如图，AD与BC是四面体ABCD中互 相垂直的棱，BC =2 ,若 AD = 2c,且 AB +BD = AC +CD = 2a ,其 中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 。13 .(河南省焦作市2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题)已知正四棱住ABCD-A1B1C1D1 的底面边长AB=6,侧棱长AA1=27 ,它的外接球的球心为 。，点E是AB的中点，点P是 球O上任意一点，有以下判断：(1)PE的长的最大值是9; (2)三棱锥P-EBC体积的最大值是323(3)存在过点E的平面,截球O的截面面积是9n ;(4)三棱锥P-AEC1体积的最大值是20

11、其中判断正确的序号是答案：1-9 CBABA ACCC 10. 2压；11. ; 12. 2cv a2 -c2 -1 ; 13. 333.立体几何中白最值问题（三）三、距离和长度的最值问题1. （2009全国卷I理）已知二面角a-l- B为60o ,动点P、Q分别在面a、B内，P到B的距离为 曲,Q到a的距离为2卮 则P、Q两点之间距离的最小值为（）A. . 2B.2C.2 3D.42 .【辽宁省五校协作体2014届高三上学期期中考试理】棱长均为.3三棱锥S-ABC,若空间一点P满足SP=xSA + ySB + zSC （x+y+z=1）贝“Sp的最小值为（）A. v6B、1C、fD、13 .

12、【台州市2013学年第一学期高二年级期末质量评估试题】 如 图，空间直角坐标系Oxyz中，正三角形ABC的顶点A, B分别在xOy平面和z轴上移动.若AB = 2 ,则点C到原点O的最远距 离为A.-1B.2C.向+1D.34 .（河北省武邑中学2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）某几何体的一条棱长为 木,在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 乖的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为（）A. 2也B. 273C. 4D. 2邓5 .（浙江省新梦想新教育新阵地联谊学校 2013届高三回头考联考数学（理）试题 ）棱长为2的正方体AB

13、CD ABGDi在空间直角坐标系中移动，但保持点A. B分别在x轴、y轴上移动，则点C1到原点O的最远距离为（）A. 22B. 23C. 5D. 46 .【湖北省部分重点中学2012届高三起点考试】已知在AABC中，NAC B= 900,BC =3, AC =4. P是AB上的点，则点P到AC , BC的距离的积的最大值是（）A. 2B. 3c 3.3C. D. 3我7.（湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试 相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段） 这三条弦长之和的最大值是（）A. 6B.境5）点P在直径为旄的球面上，过P作两两互,若其中一条弦长是另一条弦长的 2倍，则2五2 .而5C

14、D8 .（河南省许昌市2008年上期末质量评估）若点A、B、C是半径为2的球面上三点，且AB =2,则球心到平面ABC的距离最大值为A.乎B.当C. 2D.艰9 .（山西大学附中2008届二月月考）平面a、P、两两互相垂直，点A三a,点A到P、的距离都是3, P是a上的动点，P到P的距离是到点A距离的2倍，则点P的轨迹上的点 到尸的距离的最小值是A. 33B. 3-273C. 6#D. 7310 .【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】已知正四面体ABCD的棱长为1, M为AC的中点，P在线段DM上，则（AP + BP）2的最小值为;11 .【陕西省咸阳市范公中学2014

15、届高三上学期摸底考试数学】 在单位正方体abcd-ABCD的面对角线 A B上存在一点P使得AP +DF最短，则AP + DP的最小值12 . （2013年高考北京卷（理）如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E为BC的中 点，点P在线段DiE上，点P到直线CCi的距离的最小值为 .13 .（四川省成都市高中数学 2009级九校联考）正方体ABCD-ABCQi中棱长为a,点E为AA的中点，在对角面BB1DD1上取一点M ,使AM WE 最小，其最小值为。14 .二面角a - AB -P的平面角为 y ,在面a内，AB J_a于B, AB=2,在面P内，CD _La于3a ;14. 26D,CD=3, BD=1,M是棱a上的一个动点，求 AM+CM的最小值.答案：1-9 CACCD BDBA 10. 1-6; 11., 2 2 ;12. 2-5 ； 13.35