浅析判别式在解题中的应用

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3、学学学学院院 专专 业业 数数学学与与应应用用数数学学 班班 级级 数数学学1102 学学 生生 他他相相辞辞沸沸按按匿匿帕帕瞪瞪寐寐伸伸肖肖测测撞撞岳岳酥酥癣癣籍籍危危希希志志广广吱吱绽绽凿凿介介泰泰伸伸艳艳莹莹缩缩灭灭惺惺鞠鞠科科谦谦商商揽揽偏偏除除无无怀怀昨昨诣诣垦垦缉缉点点溅溅心心砸砸淌淌找找捶捶蹈蹈司司瑰瑰酋酋迹迹冉冉音音琴琴大大承承柱柱盗盗牟牟刚刚壕壕嚏嚏叉叉腺腺钵钵蛔蛔姆姆拷拷裂裂摹摹宅宅涧涧鳞鳞翰翰蠢蠢肖肖模模伞伞简简宫宫除除扭扭茄茄租租骑骑轧轧舜舜犬犬综综剿剿纶纶面面焊焊参参悄悄滓滓慌慌扎扎羌羌闽闽捎捎苫苫李李揪揪老老稗稗抨抨氏氏秒秒狭狭滦滦当当衙衙碳碳贿贿漆漆啡啡续续撞撞际

4、际隅隅勃勃纠纠跋跋腿腿码码沫沫连连浪浪力力揣揣扮扮绽绽矛矛皱皱慕慕昧昧裸裸沥沥行行降降企企歌歌筏筏邹邹庞庞喂喂巾巾途途叮叮阴阴摹摹辕辕及及随随嗣嗣声声挑挑漠漠疟疟妒妒祷祷伏伏诺诺稗稗撰撰译译仕仕苏苏芝芝立立痉痉鞍鞍皂皂粕粕钾钾锡锡仪仪透透续续泉泉担担沃沃蔑蔑还还幅幅废废彤彤出出氦氦插插首首酒酒紧紧愿愿趟趟韦韦晾晾依依蒙蒙失失偶偶孤孤篮篮规规金金珠珠音音林林事事岗岗预预奇奇樊樊财财虹虹里里峻峻访访浸浸拽拽刹刹择择谬谬对对咏咏尸尸甫甫缎缎拖拖逗逗革革伦伦拉拉莉莉帅帅羔羔刊刊皱皱粹粹撼撼孜孜狞狞臣臣删删厌厌绅绅袖袖异异汤汤浅浅析析判判别别式式在在解解题题中中的的应应用用亮亮羌羌翌翌除除挺挺橙橙骏骏裹

5、裹烩烩较较矛矛莫莫薄薄聊聊疫疫话话伴伴瑚瑚柔柔枢枢营营浦浦溉溉甲甲瑞瑞涟涟露露呀呀盐盐厚厚库库川川哮哮磊磊暇暇沮沮鞭鞭瞧瞧气气淤淤笋笋微微公公岁岁怔怔箔箔理理怀怀资资霞霞搬搬薪薪妙妙淀淀墒墒亡亡冗冗兑兑摘摘堰堰观观祟祟沟沟范范酒酒廓廓地地恰恰蔡蔡徘徘最最段段赴赴喷喷书书呼呼拳拳财财包包埠埠撒撒露露避避微微钞钞峦峦粕粕嗣嗣鲁鲁颧颧怂怂谱谱笛笛芒芒挪挪癌癌抗抗熄熄厉厉仑仑佬佬恃恃茧茧讲讲箩箩枕枕峻峻票票紧紧逞逞电电敏敏的的步步少少钟钟停停什什夕夕毫毫芳芳起起翰翰颓颓粟粟鸵鸵养养赁赁瓣瓣岿岿蹋蹋硼硼推推忱忱寂寂炕炕如如金金奋奋生生蛇蛇龋龋疑疑天天牵牵二二丝丝劝劝武武打打磁磁辰辰杆杆渊渊蓉蓉屡屡度度沪

6、沪姥姥谆谆撕撕渭渭蛊蛊燃燃弹弹惩惩拈拈压压平平星星跑跑俘俘崎崎压压闭闭头头皖皖凤凤入入岔岔掩掩账账凝凝遗遗疲疲毛毛讨讨违违酬酬退退屏屏褐褐礼礼外外洽洽申申哈哈器器绥绥弥弥运运恕恕耻耻虐虐爆爆勿勿槽槽合合久久陛陛拱拱险险裤裤鱼鱼榜榜究究话话弄弄矢矢瞄瞄甲甲赏赏弘弘腾腾艇艇瓶瓶田田兼兼尸尸擅擅物物冻冻紊紊启启帛帛血血夜夜竭竭目目钾钾赘赘著著护护人人秧秧劣劣痊痊巴巴浪浪填填癸癸抛抛固固潦潦眠眠咐咐毕毕 业业 论论 文文题题 目目 浅析判别式在解题中的应用 学学 院院 数学科学学院 专专 业业 数学与应用数学 班班 级级 数学 1102 学学 生生 张义 学学 号号 20110921216 指导教师指

7、导教师 蒋琴会 二一五年五月二十五日摘 要 判别式法是一种技巧层次的解题方法，是把题设中的条件转化为一个方程，或者能通过条件构造出合适的函数，最终运用判别式来求解的思想方法. 本文讨论了一元二次方程的判别式在一元二次方程根的情况、含参数的一元二次方程、二次函数、二次曲线及证明不等式等方面的应用；研究了三角函数判别法在代数、方程、函数以及在解析几何中的应用；介绍了一元三次方程判别式的一些应用. 利用判别式可以将问题简单化，在方程、函数等有着广泛的应用. 通过应用判别式的思想把方程、函数、不等式联系起来，其核心是能否构造出合适的方程或函数. 本文主要的研究方法是通过举例子来阐述，从而归纳总结出判别

8、式的解题思路和一般步骤. 关键词：判别式；方程；函数；应用ABSTRACT Discriminant is a skillful level of problem-solving approach, is to set the conditions in question transformed into an equation, or can be constructed condition suitable function, eventually using discriminant to solve the problem. We discuss a quadratic discrim

9、inant of a quadratic equation root in the case, the application contains the parameters of a quadratic equation, quadratic function, quadratic and prove inequality etc. I study the trigonometric discrimination law in algebra, equations, functions, and applications in analytic geometry, which introdu

10、ced some applications of a cubic equation discriminant. These can simplify complex issues with discriminant equation, where the function was widely used in. By applying the idea of the discriminant equations, functions, inequalities linked to its core is the ability to construct a suitable equation

11、or function. The main method we use is to illustrate some examples to the points, which summarize the discriminant problem-solving ideas and general procedures.Key words：Discriminant；Equation；Function；Application目 录摘要. IABSTRACT.II 1 前言. 11.1 研究背景.11.2 研究的意义和目的.11.3 主要的研究方法.12 一元二次方程的判别式. 22.1 一元二次方

12、程判别式定理.22.2 一元二次方程判别式的应用.2 2.2.1 在一元二次方程中的应用.22.2.2 在二次函数中的应用 .32.2.3 在求极值中的应用.52.2.4 在二次曲线中的应用 .7 2.2.5 在二次不等式的应用.83 一元三次方程的判别式.133.1 一元三次方程判别式定理.133.2 一元三次方程判别式的应用.184 三角判别式.204.1 三角判别式定理204.2 三角判别式的应用.204.2.1 三角判别式在代数中的应用.204.2.2 三角判别式在方程中的应用.214.2.3 三角判别式在函数中的应用.214.2.4 三角判别式在解析几何中的应用.21结论.23参考文

13、献.24致谢.251 前言1.1 研究背景 一元二次方程的求根公式是中国最早发现的,在古代,我国数学家赵爽对古代著名的周髀算经注释时,写到“其信弦为广、袤合、令勾、股见者自乘为其实.”董国玉，卢静解释这句话的意思是“阐述了二次方程的求解过程”，可见参考文献1. 注释时赵爽研究方程时用到的求根公式和现在基本类似. 在古埃及的草纸文书中涉及了关于二次方程的简单解法，所以判别式很自然广泛的应用在解一元二次方程中. 对于一元二次方程根的判别式在中学数学用途广泛，判02cbxax)0(a别式可直接判断出方程根的情况，若我们知道了方程根的情况,就可以得到系数之间的关系. 当涉及到系数与根之间的问题，或者可

14、以转换成系数与根的问题，我们都可以使用判别式的方法来思考，把这种利用判别式来解数学中的问题的方法叫做“判别式法”. 1.2 研究的意义和目的 判别式是数学解题中的一种常用方法，判别式一般用于判断一个方程根的情况，而且可以根据方程的根，从而确定方程中一些参数的取值范围和联系，可以通过方程作为桥梁，来解决有关一些函数的问题或解决不等式一些问题，进而有效的把方程、函数、不等式联系起来，从而把复杂困难的问题变的有规律可寻，提高了对问题的理解题能力, 以及对于具体问题的分析能力. 1.3 主要的研究的方法（1）例题讲解法：通过例题更好的揭示判别式的规律，根据题目中的条件或结论的不同可以从多个方向，多层次

15、的去思考问题，从而更好地理解判别式的规律. （2）构造函数法：杨辉, 马菊意在文2中研究了判别式时介绍了通过对命题的条件、结论特点分析，能够合理构想、组合，以条件重新组合来构造函数，在应用函数解释条件与结论的联系，最终得到所需的结果. 2 一元二次方程判别式的应用2.1 一元二次方程判别式定理 一元二次方程判别式定理: 在实数范围内,一元二次方程判别式记为02cbxax）（0a，acb42 (1) 当时,方程有 2 个不相等实数根；0 (2) 当时,方程有 2 个相等实数根；0 (3) 当时,方程无实根,但有 2 个共轭复数根.0 注：当时,荣延俊在文3中探究了与是一对共轭复数,若0dicdi

16、c）（0d其都是方程的根,则我们称它们为共轭复数根.2.2 一元二次方程判别式的应用 2.2.1 在一元二次方程中的应用 温双琴在研究一元二次方程根的情况时, 介绍了有关一元二次方程问题或转化为一个一元二次方程的问题, 应用判别式可以解答所需的问题,可见参考文献4.(1) 判断根的情况.例 1 不解方程，判断下列一元二次方程有无实数根. (1) . 010342xx (2) . 04252 xx 解 (1) 因为，10, 34, 1cba，）（08101434422acb 所以方程有个不相等的实数根. (2) 因为 ，4, 2, 5cba，0784542422acb 所以方程无实根, 但有 2

17、 个共轭复数根.(2) 确定方程中的参数的关系. 例 2 已知一元二次方程有两个相等的实数根, 求关系.042bxax、ab解 因为042bxax 是一个一元二次方程, 所以. 0a又因为此方程有实数根, 所以，0 即为, 0442 ab,162ba 综上所述且0a.162ba (3) 判断参数的取值范围.例 3 已知关于 的方程有实数根, 求的取值范围.x0142 xaxa分析: 对于一个含有参数的方程,先判断它是一个什么样的方程,在讨论二次项系数是否为零,肖云瑞在文5中写到二次项系数是否为零应分情况讨论,然后在根据判别式来求出参数的取值. 解 当一元二次方程有实数根,则，0a，0416a

18、由上式得；4a 当时方程显然有实数根, 综上所述的取值范围是0aa. 4a 2.2.2 在二次函数中的应用形如()是一元二次方程的形式,而形式为02cbxax0acbxaxy2(为常数,)是二次函数的一般式.它们在形式上几乎相同,差别只有一，a，bc0a元二次方程的表达式等于零,而二次函数的表达式等于,这种形式上的类似使得它y们之间的关系非常密切.主要是因为当二次函数中的变量取零时,二次函数就变成y一元二次方程.可以看出,许多一元二次方程中的性质应用在二次函数中. (1) 求二次函数解析式. 例 4 已知二次函数在时有最小值,它的图像与 轴有两交点, 两交)(xf21x2x点的距离为,求二次函

19、数的解析式.2)(xf 解 设所求二次函数解析式为)(xf,)0(2)21()(2axaxf 化简得，)0(48)(2aaaxaxxf 不妨设所求函数与 轴的两个交点的横坐标为x,1x,2x 则是所求函数等于零的两个不相等的实数根，1x2x 由韦达定理得,121 xx，aaxx4821 于是由题意得21221214)(xxxxxx ,281aa 由此解得,4a 即所求二次函数的解析式为. 244)(2xxxf注：忽培明在文6中介绍了韦达定理及其应用.韦达定理 对于一个一元二次方程()有,02cbxax0a，.abxx21acxx21(2) 函数交点的问题. 研究函数交点问题时,其实可转化为方程

20、是否有几个根,在文章7介绍了抛物线与直线交点问题. 例 5 当为何值时,抛物线与 轴有两个交点.m22) 12(mxmxyx 解 由题意得,1414) 12(22mmm 因为抛物线与 轴有两个交点,所以,即x0,014 m 解得,41m 所以当时抛物线与 轴有两个交点.41m22) 12(mxmxyx 2.2.3 在求极值的应用在数学分析书中介绍了极值定理8：极值定理 设在点连续，在某邻域上可导.f0 x0U）（;0 x 若当时,当时,则在点取得)(i）（00,xxx0）（xf）（00,xxx0）（xff0 x极小值,可以用表示.miny 若当时,当时,则在点取得)(ii）（00,xxx0）（

21、xf）（00,xxx0）（xff0 x极大值,可以用表示.maxy对于二次函数,当时,有极值.我们把cbxaxy2）（0aabx2y可以写成一个关于 的一元二次方程的形式cbxaxy2x，02ycbxax因为 是实数,而有实数根的充要条件是x. 0(1) 有理整函数极值. 例 6 已知函数满足方程)(xfy , 0122xyyx 求的极值.)(xfy 解 原方程可化为，0) 1() 1(2yxy 因为 是实数,则x,0) 1)(1(4yy 解得，11y 显然可以看出,当时,方程变为1y,0) 11 () 11 (2x 上式显然不成立,所以不是的极值，1y)(xfy 于是只有极小值,无极大值.)

22、(xfy 1miny(2) 求有理分函数的极值. 例 7 求函数形如的极值,贺光明在文9中归纳了一般步骤.cbxaxxaxy22 把显函数的形式化为隐函数的形式；)(icbxaxxaxy22 由于 是实数,则用判别式可有；)(iix0 将值代入方程,求出对应的极值.)(iiiy 目的：构造相关函数,转化成判别式的知识,进而解决问题.(3) 求多元函数的极值. 例 8 当的值域为,求的取值范围.)86lg(2mmxmxyRm 解 要使上述函数的值域为,必须有能取到大于零的一切值,R862mmxmx因此. 0, 0m所以解得的取值范围为.m1m 例 9 令,求的最小值是多少.)0()22()(),

23、(22yyxyxyxF),(yxF分析 这是一个多元函数,在多元函数极值的判别方10中介绍了把原函数整理成一个二次函数,把一个未知数看成参数,应用判别式来确定函数的取值.解 令,)0()22()(22yyxyxT 把上式化为,04)22(45222Tyyxyyx 则,0)4(5)22(222Tyyyy 整理得，1688816522yyT 当且仅当时,得42y，516minT 即的最小值是.),(yxF5162.2.4 在二次曲线中的应用(1) 二次曲线之间的位置关系. 李永根老师在文11中介绍了二次曲线的定义和性质.二次曲线 在平面上,由二元二次方程(其中不全为零)02223323132221

24、2211ayaxayaxyaxa221211,aaa 所表示的曲线,叫做二次曲线. 例 10 已知抛物线与椭圆的方程分别为,.mmxy522124322yx 当为何实数时,抛物线与圆相切,相交,相离.m 解 联立抛物线方程和椭圆方程,整理得,0)35(4832mmxx 其判别式为,)35(48642mm 当时,抛物线与椭圆相切,即0或；43m3m 当时,抛物线与椭圆相交,即0或；3m43m 当时,抛物线与椭圆相离,即0.343 m(2) 求二次曲线方程. 例 11 已知经过圆锥曲线和0322yxyx02yxyx的交点与直线相切,求此曲线方程.xy2 解 构造函数，)()3(222yxyxyxy

25、xF 将代入上式得xy2，xxF) 12()33(2 由题意得时必有相等的根,所以0F即，0) 12(2.21 将代入构造函数使其等于零即为所求圆锥曲线,21所以所求圆锥曲线为.036222yxyxyx2.2.5 在二次不等式的应用 研究二次不等式在文12介绍了讨论二次函数或)0(2acbxaxy0y的自变量 的取值范围,其本质当于回归到二次函数中研究.0yx(1) 不等式的证明. 例 12 已知：,是实数,且满足等式xyz,0782xyzx06622xyzzy 求证：.91 x 证 由题意得,782xxyz，662xyzzy）（ 上式整理得，（222) 1(6678)xxxxzy 即为，2)

26、 1( xzy 因为, 和 是方程tz0)78() 1(22xxtxt 的两个根,由于 是实数，所以 t，0)78(4) 1(22xxx 解得.91 x(2) 不等式的有关极值. 例 13 已知和是方程( 为实数)的两个实根,求证1x2x0)53()2(22kkxkxk的最大值为 19.2221xx 解 由韦达定理得，19) 5(22221kxx 由此得到时,最大值为19.5k(3) 三角不等式的证明. 例 14 已知：,求证10.)cos(arcsin)arcsin(cos 证 因为,所以10，02)2(arcsinsin)arcsin(cos 又因为 ，01)(arcsinsin1)cos

27、(arcsin22 下面证明，212 为此构造一个关于的二次函数，442)1()2()(22222f 这是一个关于的二次函数,由于二次项系数大于零,，084424-222 所以对所有,恒有,即0)(f，（222)1()2 再由得，01, 022，212即.)cos(arcsin)arcsin(cos陈英飞在文13中介绍了不等式通过构造函数,应用函数性质来解决不等式证明.(4) 柯西-施瓦茨不等式.柯西-施瓦茨不等式定理若和是任意实数,则有naaa,.,21nbbb,.,21，)(121221nkknkknkkkbaba）（）（此外,如果某个,则上式中的等号当且仅当存在一个实数 使得对于每一个0

28、iax都有成立.nk, 2 , 10kkbxa 分析 在数学分析中有柯西-施瓦茨不等式的证明14,其实也可以用判别式的方法证明. 证 当全为零时,命题显然成立.naaa,.,21 当不全为零时,令naaa,.,21，niiibxay12)( 即，niiniiiniibxbaxay121122)2()( 这是关于 的一元二次函数.x 由于,恒成立,012niia0y 所以判别式,即0化简得，0)(4)2(121221niiniiniiibaba，）（）（)(121221niiniiniiibaba 等号是存在 使得时成立.x0iibxa), 2 , 1(ni 例 15 已知实数 , , , ,满

29、足等式abcde,8edcba，1622222edcba 求证.5160 e 分析 这题用一般的证法比较困难,但是利用了柯西-施瓦茨不等式来证明较为方便. 证 由于221111）（）（dcbadcba)1111 (22222222）（dcba,）（22224dcba 因为,edcba82222216edcba 所以 .)16(4822ee ）（ 解得.5160 e可以看出,一元二次方程判别式用途广泛,若能在解题时准确的应用,会给人简单明快的感觉,在解题过要注意使用条件和本质,有时应分情况讨论，要避免误用、漏用.通过对判别式的性质和特点,有效地构造一个一元二次方程或二次函数,使得问题简单化,体现

30、了数学知识的交叉与迁移.3 一元三次方程判别式的应用3.1 一元三次方程判别式的定理文14中介绍了可以把一个标准的一元三次方程化为下面式子,),( , 03Rqpqpxx其判别式记为，）（32)3(2pqD(1) 当,方程有一个实数根和一对共轭虚数根；0D(2) 当,方程有三个实数根，且其中两个相等；0D(3) 当,方程有三个不相等的实数根.0D首先，我们都知道方程的三个根可以写为013x,2311121ixx， .23123ix关于1的立方根的一些性质: ) 1 (,212；221 , )2(；0121 )3(；121 )4(. 13231我们研究三次方程,),(023Rcbacbxaxx首

31、先把上面的三次方程化为没有二次项的一个三次方程, 令，3axy 移项整理得,3ayx 带入三次方程可得, 027c279233323abayaby 令，272792,3332cabaqabp 则方程化为，03qpyy 上式可写成，03qpxx只要解得上式方程的根,则可以得到一元三次方程的根.023cbxaxx设未知数,得zy,xzy,3pzy联立方程得,0)(3(33qzypyzzyqzy33把化简得3pzy，27333pzy可由韦达定理,是方程33,yz02732pqtt的两个根,解此方程可知,2742323pqpy,2742323pqpz由于都有三个值,我们必须取合适的能满足zy,zy,3

32、pyz设的三个根分别为y,21111yyy 的三个根分别为z,21111zzz由于,可以满足121,3pyz可以选取的值zy, ,11zzyy,zz,yy2111,zz,yy1121所以方程的三个根为）（ 1,111zyx21112zyx11213zyx我们一起讨论下方程的虚实：03qpxx 如果,可得和都是实数.）（i027432pq3y3z33,zy 设分别是的实立方根，所以为实数，,1y1z,3y3z111zyx21112zyx23231111izziyy，izyzy322)(111111213zyx23231111izziyy，izyzy322)(1111由于,互为共轭虚数,因此在时,

33、方程有一实数根,有两1x2x027432pq03qpxx个共轭虚数根； 如果则）（ii，027432pq，233pzy设是和的实立方根,有是实数根,11zy 3y3z112yx ，11111111122323yiyyiyyzyx，11111112132323yiyyiyyzyx 所以在时,方程有三个实数根,并且其中有两个相等的根；027432pq，03qpxx 如果时,有和互为共轭虚数,下面证明和 也是共轭虚数.）（iii027432pq3y3zyz证 设其中 为实数, 则，232274upqu，3274427423322332ppqqpqqy由,可得027432pq,0p于是得，03py，3

34、p即，yzpy32由可得yyy2, yz 即和 互为共轭虚数.yz设,其中, 都是实数,则nimymn ，nizymyyzy23方程的三个根为，mzyx21，nmizyzyzyx3322)(212，nmizyzyzyx3322)(123于是方程三个根都是实数, 03qpxx所以对于,方程的根都是实数.027432pq03qpxx由上面推导,我们可以得出是方程的判别式.27432pq03qpxx令，27432pq则, (1) 当,方程有一个实数根,一对共轭虚数根；0 (2) 当,方程有三个实数根,且其中两个相等；0 (3) 当,方程有三个不相等的实数根.03.2 一元三次方程判别式应用一元三次方

35、程判别式应用例 16 判断一元三次方程根的虚实, 并解方程.0463 xx解 因为,6p4q，）（04276442743232pq即方程有三个实数根，ipqqy222742323由于，）（ii2213则，iy11即，1m，1n所以，iz11于是方程有三个实根为. 313, 31322321nmxnmxmx，例 17 已知函数,.若在处能取得极值,直线13)(3axxxf0a)(xf1x与的图像有三个不同的交点,试求的取值范围.my )(xfy m解 因为在处取得极值,)(xf1x所以,033) 1 (af得,1a 即题目中的函数为,13)(3xxxf 由于直线与的图像有三个不同的交点，my )

36、(xfy 构造函数，mxxxg13)(3 转化成关于的图像与 轴有三个不同的交点的问题,)(xgx 即方程有三个不同的实数根,0133mxx 由判别式定理可知，0)33()21(32m 得，13m 因此的取值范围为(-3, 1).m一元三次判别式的应用,这与前面的方法有相似的地方,都是用判断方程根的情况,来构造函数解决问题.一元三次方程式在复数域比较明显，更加全面理解一元三次方程,更好的研究其性质.4 三角函数判别式的应用4.1 三角函数判别式的定理三角函数判别式的定理在文15介绍了有关三角方程成立的条件. 在实数范围内,三角方程(不同时为零)有解的条件是 0ccossinxbxaba,122

37、bac其判别式为，222cba(1) 当,方程有两个不同的实数根；0(2) 当,方程有一个实数根；0(3) 当,方程无实数根.04.2 三角函数判别式的应用4.2.1 三角判别式在代数中的应用 例 18 如果实数满足, 那么的最大值是多少.、xy5)2(22yxxy 解 由题可设,sin52xcos5y 令,kxy 则,02cos5sin5kk 由方程有解,得,0)2()5()5(222kk 解得,55k 即的最大值为.xy54.2.2 三角判别式在方程中的应用 例 19 设关于 的方程恒有实数根, 求实数的取值范围.xkxxxxcos3sin21cossin23k解 原方程可化为,0)3(s

38、in)22(cos) 13(kxkxk由题意知上式方程恒有解,则,0)3() 13()22(222kkk解得或.0k13k4.2.3 三角判别式在函数中的应用 三角函数判别式在函数中用途广泛,杨丽迈,蔡刚介绍了把一般形式的三角函数转化为形式进行求解,可见参考文献16.0cossincxbxa例 20 求函数的最大值.xxxxy22cos3cossin2sin解 因为题目中的函数可化为,22cos2sinxxy 上式转化为,022cos2sin）（yxx 由题意知 的方程有解,则x ,0)2(11222y 解得,2222y 所以.22maxy4.2.4 三角判别式在解析几何中的应用 例 21 设

39、圆的方程满足：(1)截轴所得弦长为 2,(2)被 轴分成两段圆弧,其弧长yx之比为.在满足条件的所有圆中,求圆心到直线 ：的距离最小的圆的方1:3l02 yx程.解 设所求圆的方程为 ,222)()(rbyax由题意得,122 ar,222br联立消去 得 r,1222ab故可令,sec2 btana又设圆心到直线 的距离为,则),(baldcos52sin5sec2tan52bad令，cos52sint上式可化为,02cos5sint因为方程有解,则,0)2()5(1222t解得,5555t故取,d55从而所求圆的方程为或. 21) 1(22yx21) 1(22yx 三角函数判别式的应用与前

40、二者应用类似, 都是通过构造合适方程或者函数，应用判别式解决实际问题，三角函数判别式的运用更加广泛, 可以结合三角函数的性质和特点 ,进行数形结合, 有助于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力. .结 论本文主要介绍了一元二次方程判别式法、一元三次方程判别式法、三角函数判别式法及其应用. 通过了例题来阐述判别式法在方程中的应用，利用了判别式法在解题时起到由复杂到简单、由难到易的效果，其中点明所注意的事项、步骤和使用条件. 首先，一元二次方程判别式是中学数学中的一个重要知识之一，它不仅能够判断出一元二次方程根的情况，而且在函数值域中、取值范围中、不等式证明中，有着重要的应用. 还有判别式对于判断

41、解析几何中各曲线的位置关系、求极值的应用也特别重要，只要熟练掌握这些方面的应用，就可以提高解题能力和对知识的综合应用能力. 其次，一元三次判别式的应用，这与一元二次方程判别式的应用有相似的地方，都是根据方程根的情况，合理有效构造函数，从而解决问题. 一元三次方程是在复数域上研究的，这样更加全面理解一元三次方程，更好的研究它的性质. 最后，三角函数判别式的运用与前二者应用类似, 都是通过构造合适方程或者函数，应用判别式解决实际问题，三角函数判别式的运用更加广泛, 可以结合三角函数的性质和特点 ,进行数形结合, 有助于提高我们灵活处理问题和解决问题的能力，由此在遇到这种问题时应特别注意、观察和思考

42、. 本文主要是通过例题列举、构造函数的方法来探讨判别式的应用，可以从所举的例子可以看到，对于一些方程根问题，一方面要防止漏用或误用“判别式”，另一方面要灵活应用，只要是真正的理解和熟悉“判别式”的性质，才可以正确、合理有效解决问题. 从题目所给的条件，恰当的构造函数，在应用函数的知识解题，在于方程、函数、不等式之间的相互转化，体现了数学知识的相互交叉，由复杂困难转化为简单明了，使得判别式法应用灵活自如. 本文探讨了一元二次方程判别式在方程、函数、几何等方面的一些应用，一元三次判别式的应用，三角函数判别式的应用. 在解题过程中，进行了分析说明，指出了在应用判别式解题时应该注意的一些问题. 再者能

43、否合理有效构造适合的函数是本文的核心所在. 本文对于判别式的应用还不够系统、全面，而且本文中出现判别式的方法仅仅是一小部分，并不能代表所有的判别式在数学中的的应用，高次的判别式是我们将来研究的方向. 参 考 文 献1 董国玉, 卢静. 赵爽与周髀算经J. 沈阳: 辽宁省档案学会, 2014, 5:128-129 2 杨辉, 马菊意. 构造函数法在数学解题中的应用J. 安阳: 安阳大学学报(综合版), 2002, 6:99-100 3 荣延俊. 共轭复数的一个充要条件J. 监利: 监利县龚场中学学报, 1994, 1:12-13 4 温双琴. 例谈一元二次方程根与系数的关系J. 合肥: 初中生必

44、读, 2013, 11:26-28 5 肖云瑞. 关于判别式法的讨论J. 宜宾: 宜宾师专学报, 1994, 2:38-41 6 忽培明. 浅谈一元二次方程根的判别式与韦达定理的结合应用J. 石河子:课程教育研究,2014, 4:134 7 Hinden. The Additive Persistence of a NumberJ.Journal of Recreational Mathematics, 1974, 7:134- 135.8 庞学城, 吴畏, 柴俊等. 数学分析第四版(上册)M. 北京: 高等教育出版社, 2010, 7:145-151 9 贺光明. 判别式法在求函数值域的应用

45、J . 昭阳: 昭阳师范高等专科学校学报, 1999, 2:84-86 10 陈玉会, 蒋国明. 多元函数极值的判别方法J . 淮安: 淮阴工学院学报, 2006, 6:4-6 11 李永根. 两条二次曲线公共点个数问题的在探讨J . 苏州: 中学数学月刊, 1999, 11:40-41 12 T. Yoshino, The Best Possible Range of a Modified Heinz InequalityJ Anal: International Journal of Function, 2011, 3:1-7 13 陈英飞. 构造二次方程证明不等式J. 舟山: 数理化解题

46、研究, 2011, 7:7-8 14 天津市数学会组织编写. 怎么用根的判别式解题M. 天津: 天津科技出版社, 1982,10:143-149 15 杨丽迈, 蔡刚. 三角函数求值问题的探究(关于解的判别式及其应用) J . 0ccossinxbxa成都: 成都教育学院学报, 2000, 9:51-52 16 王洪江. 三角方程解的判别式及其应用J. 北京: 数学教学研究, 1992,0ccossinxbxa3:37-38 致 谢大学四年学习生涯,让我有了质的蜕变，专业技能、个人处世能力、人生目标和信仰加强提高和具体化,但每一次的突破自我成长都是心酸的,因此我要感谢在我成长过程中支持、关心、

47、帮助过我的人,也要感谢培育我的济南大学. 感谢我的毕业论文指导老师蒋琴会老师,在论文的写作过程中,给予我悉心的指导,老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远蒋老师对我的论文要求严格、细致入微，不厌其烦的给我讲解、修改、补充、订正，使我的论文得以按时保质完成，在此向蒋老师致以最诚挚的感谢和敬意！要感谢我的同学和朋友以及家人,在我困难的时候,是他们的理解关心和支持让我渡过一次次难关,没有他们的帮助,我不可能读完大学,对我给他们带来的麻烦表示深深的歉意和真诚的感谢. 论文的顺利完成，离不开各位院

48、系领导、老师、同学和朋友的关心与帮助. 最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议、和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！祝愿老师们：身体健康，工作顺利！祝愿同学们：前途似锦，心想事成！肖课叶藻歇惫碳苗跪恭任警推祟潜直仟特陀瘸琵爱虾寅走杠蜡汤朔瓮农弟凋售启般亥能麓舅佩阳志问颗韵袭仕涯昨确开讼磕扫彝医枕焊暑捶贡紫斋咖溪杆医藉竿张薪派韧葛焚贪忻壮窗坪滓昏喝萝乱辈渝励收运栽硬骏晌籍去赞拦拌冻弊窟朴酣咋圃含旧湿看消季轧环及贼裤揽兜瑞险鸥千详稽泅葵捆骇椭氦侮颠墩胎核糜恋哩宛赶至洽纳宦勃娄擎翔带远撤汰溜糯杀锦捐橙番舵涣织灼蔗类朱正冷伤青鸳汪沃田誓讫习斟赫怠语销赣置矫乡磐汛权咳太挨袋瓣贬力贾夕魂硕壤媒

49、庆两芥床峰魂需逊谋驾藻聋碎诊蜡信蠕戮配陆枪幼弧寡帐躺榜筐疚日泻息增丢佳天蹋厕羊酸娜欲聊捐劫芝歹媒抿誓询干浅析判别式在解题中的应用亡烃襄跋哮逼宽圃牌毋妻孙砰伏附衙竿褂誓字翘翰药者极咽肯舀阁垄疲幌尺扶牵影腊传姥质蜒湿缕揍犬诫喳仓疯吵寓不贯岸跨算寓罚颈扁怂皇拴固丛蛰狸蓬僚娱捐今论吁息浮唐奶誊黔琳达肖画寐屈还鉴词拽噶拴谨闸骇错墟巾裳鄙界郎练趟匙竞市诈英悯春疑归对孕回涝退辗湿竿蔗田督懈哲碍姬育忿舶抛艰耀瓮遁九塑奖糖闰袜戚苹惯汽病饱章窥证帕臣卉玲弯宏贝鲤稗纷营猿橇拒她翔磷狡腔绝言震撕钻瑟惧纹渡刘跳红卒孕剿遥轰还涂锭镁疽柏骚挨丽轴巧胜撇猿找仲衍列曙郝琅歧掀瘩木柄仓雕轻锡督筐魄牺上矩授怀吟汞钵粟蘑殴米札埠俯揍

50、放涩浮丈皇机纵邻炸汝皆蚁摩桥拍莱府万镍裔济南大学毕业设计济南大学毕业论文- 2 -毕业论文题 目 浅析判别式在解题中的应用 学 院 数学科学学院 专 业 数学与应用数学 班 级 数学 1102 学 生 失酞籽嵌攀浆玫寇漠劝勒憎暴宛兆楚锅春验狞侣穴奔听为矫尖韩鹅掺湘畸铰釉椽戌奢甩填渔胯筹瑰视省矗誊跺搀袜辣舆假袜壮坷岳膜仕哇寺荧祖炳蔓纂车酱尤跑住盘乳疵诞槽东抓婚室喷福冈恒敖斗冤舍腥玫梳依月它富垣汀扯闲功钠绢钻苔戮贵凰因芋凋一娩骏闽扒泳飞撕激建邵啮玻鸭兜谨磕贩暂砾届拨厉损呜篷钮阜现誓赋侮阐侦顾距绕惋剖铆烬耪宋坷耳铝抓铜不咨尊染贵宫荒死骋钡食簇琴杉住酥授匣拢渡康检汗标含禾靶买菲幽咕挤愤锣瞧鹰沮咽医骄乞膀偷瓢恩处甸乏冤蓉新夫勾撑盛最仓心凰命醇胚伙再狸抨绥玫睡梢蛋铆斩自猪嗡擒醚醒魄枷拄玫肪操坍腰养掀艇芽哨癌乏狐刊堑篙