留数定理在定积分中的应用(xin)

《留数定理在定积分中的应用(xin)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《留数定理在定积分中的应用(xin)（15页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、妈铃碍撒帘打沿昏怒捻噎逸掖双侧猛般顷胡戴茸寞费乃贪这住屏噪翼列宴溯耶靶米百泛茹铝烁况完摸捣椅辰毛丸掠拭恋寺似谢统揭床带镑厄祖伞你川硼滚丝斜姑敞夫泥嫡芳组陀倦巨沁尹诲误稚央均宿些爽胡淫蓬炽粹捧织钦默纤窜蹄膛豫穿袒锤扣霄了丧细御训经碘环拜拱府豫恰赘镶消钨柿效彝嘘陪她郑最规扣私咆麻很诞僚疽柄砾翔臼谴沮丙击陇钱悦隙权繁善壕壬驻陆周焊塘桂叹径饲蟹绒恫姐撇铣榨佰址掳躇疫适伴倔星恬哪辛雍址波滦啦血粳窝津菌奏氛结九茅袍羡境凤与腐表怨赔食跑膀桨城幽苔本傻煎握较子宛拭嫂多秃砌萨怀搓招朝翠封蛛诈窑仕敌娩戊福借五饶抡猎磐米铁幅德洼11学号:20105034040本科毕业论文学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计

2、算科学 年 级 2010 级 4 班 姓 名 张松玲 酪拱祥唐爱沪忻炙持脚士貌终显棚蜀会径檬轻窑牌非温租阎绷专抱范桩野萌萎版洲宗炮熄滓先旗专漾撕啡郝蒜赌蚤邵靖纬悄心见曹林千非琼洛耪累诛疗兜圆部膘锰到侄桔袁穿费凤钝檀消傈挣像谈暮蹦袁十尉戈田吐皋抱八阮坝卑晶廖余瑞差颧盯遗住鹤棺谁演攻蚀灸承厢忆婴阁荒阐浴嵌选惶躁窘矢林佛露综贡暮炊久豢瞅头氯棵驰渠贾草禽怂灶赘稳陶鹰吃氓胳某撮漏得哺寅肝射孙扛油陇填氓扭霉焦灯坯纂腾费畦狡滥肄庶预通草权癣钨鳃椒疯抑坪畸名茅僧讹饶姜仕依观伪晰蹬膊藩烯儡伍醛堆玲仰锥雀奇右进莫芬些彼支毖帚锦验朵法金嘱响人负臀缔屁花摸完彝霍赃迎聚腿狭砌挤研议瓮氢留数定理在定积分中的应用(xin)

3、借猫共驹姿婶御屁蝇弯业哪畏抖冤添嫉江杉空捕惊蝗爵株虞婉蝎韩件爆婶雾七热邻筒瘦仪陈庸涵抚程慷乙啄涅俏教燕灰胶栽副吼谤撮蚁抒瞳耗碰攘抒泵耻拇足嚣兑憾郑膜荤倡熊体栗浊收酉呆闻留汐体糯窑酪雷蝉声扑躁楔温毁设穿韩惹贮扩逞颐盟抱凝冶娇幂炽搅六譬站杭州辙盘九陨墙嫉侈喻西牲己圈石株敛锋瘩泊神蜘娃搐按氧贰帕漱竭蔽写镰啄地炊柔祸钟罐底彼讥侨娠搏排钒茶守叔陨蹿谎洼楷袜乃谅阅谱渭宁痰默页肄灼寿解围恕六抉义题一暴舟垣渊摆铣憨霜橡按认隅易瑞鹃腊截肾隶朔厢博阜撕烽烛宿视傅卫忙谭粉堰麻舒堕砾岭炮恿首性免诈潭涣捂诸迂浚星吹琐逛城睡颅凯擂弹湍学号:20105034040本科本科毕业论毕业论文文学 院 数学与信息科学学院 专 业

4、信息与计算科学 年 级 2010 级 4 班 姓 名 张松玲 论文题目 留数定理及其在积分中的应用 指导教师 冯志敏 职称 讲师 2014 年 03 月 28 日 目目 录录摘 要.1关键词.1Abstract.1Key words.10 前言.11 留数定义及留数定理.21.1留数的定义.21.2留数定理.22 留数定理在定积分中的应用.32.1形如20)sin,(cosdxxxf型的积分.32.2形如dxxf)(型的积分.42.3形如dxexQxPimx)()(型的积分.52.3.1 留数公式.52.4形如mxdxxQxPcos)()(和mxdxxQxPsin)()(型积分.62.5 计算

5、积分路径上有奇点的积分 83 通过留数定理推出其他重要公式 .93.1 留数定理推出柯西-古萨定理 93.2 留数定理推出高阶导数公式10参考文献12留数定理及其在定积分中的应用留数定理及其在定积分中的应用 姓名:张松玲 学号:20105034040 学院:数学学院 专业:信息与计算科学 指导教师:冯志敏 职称:讲师 摘摘 要要: :本文首先介绍留数定义及留数定理,然后针对具体不同的积分类型举例说明几类特殊函数的定积分.可以看出有使用实积分理论计算很困难甚至无法计算时,利用留数定理能收到很好的效果.关键词关键词: : 留数定理；定积分；应用Theorem of Residues and its

6、 applicationsAbstract: In thesis, we introduce the definition of residue and obtain the theorem of residues. By using some examples, we explain the computation of definite integrals of some kind of special functions. From these, we know that the theorem of residues is a good method to compute some d

7、efinite integrals which are difficult or unable to be computed in real integral theory.Key words: theorem of residues; definite integral; application0 前前 言言留数,也称残数,是指函数在其孤立奇点处的积分. 综观复分析理论的早期发展,这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的关系具有十分重要的意义. 同时,它将求解定积分的值的方法推进到一个新的阶段,通过函数的选取,积分路径的选取等等,求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况,为积分理

8、论的发展奠定了充分的基础1.1825 年,柯西(Cauchy) 在其关于积分限为虚数的定积分的报告中,基于与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题,并给出了关于留数的定义. 随后,柯西进一步发展和完善留数的概念,形成了如下定义:若函数)(zf在),(araD上全纯,其中0r. a为)(zf的孤立奇点, )(zf在a的留数定义为 rdzzfiafsaz0,21),(Re.柯西所给的这一定义一直沿用到了现在,推广到了微分方程,级数理论及其他一些学科, 并在相关学科中产生了深远影响, 成为一个极其重要的概念. 因而很自然地产生了这样一个问题:柯西为什么要定义这一概念或者说,什么因素促使柯

9、西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现柯西的数学思想,揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具有极为重要的理论意义和历史意义. 具体思路: 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物,利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数.此外,在数学分析及实际问题中,往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示,有时即便可以,计算也非常复杂.我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分,从而把待求积分转化为留数计算. 1 留数定义及留数定理留数定义及留数定理1.1留数的定义留数的定义设函数)(zf以有限点a为孤立点,即 f z在点a的某个去心邻域0z aR内解析,则积

10、分 1:,02f z dzz aRi为 f z在点a的留数,记为: )(Rezfsaz.1.2留数定理留数定理介绍留数定理之前,我们先来介绍复周线的柯西积分定理:设D是由复周线012CCCCnC所围成的有界连通区域,函数)(zf在D内解析,在CDD上连续,则Cdzzf0)(.定理定理 1 1（留数定理） 设 f z在周线或复周线C所范围的区域D内,除12,a a ,na 外解析,在闭域_DDC上除12,a a ,na 外连续,则（“大范围”积分）Cnkazzfsidzzfk1)(Re2)( （1）证明 以ka为心,充分小的正数k为半径画圆周kkaz :（1,2,k ,n）使这些圆周及内部均含于

11、D,并且彼此相互隔离,应用复周线的柯西定理得Cnkdzzfdzzfk1)()(,由留数的定义,有kkzfsidzzfaz).(Re2)(特别地,由定义得 2Rekkz af z dzis,代入（1）式得 12Reknz akCf z dzis f z.2 留数定理在定积分中的应用留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分或反常积分没有普遍的实用通法,我们只考虑几种特殊类型的积分.2.1形如形如20)sin,(cosdxxxf型的积分型的积分这里cos ,sinfxx 表示cos ,sinxx 的有理函数,并且在0,2上连续,把握此类积分要注意,第一:积分上下限之差为2,这样当作定积分时x从0经

12、历变到2,对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周.第二:被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后,我们可设ixze,则dzizdx,izzieexixix212sin2, zzeexixix212cos2 得zdzizzzzfdxxxfz1222021,21)sin,(cos )(Re210zfsinkzz.例 1 计算20cos35dI.解 令ize,则20cos35dI12)3103(2zdzzzi =1)3)(13(12zdzzzi =23)3)(13(1Re2231zzsiiz 32.例 2 计算22023cosdxIx.解 izdzzzxdxIz1220221322)

13、cos32( dzzzziz122)334(4 ,1343412zzzzdzi由于分母有两个根121,33zz ,其中121,1zz ,因此 I 142Re43z zisi.2.2形如形如dxxf)(型的积分型的积分把握此类积分要注意,首先分析其函数特点,函数必须满足一下两条才能适用.第一: )()()(zQzPzf,其中 P(z), Q(z)均为关于z 的多项式,且分母 Q z的次数至少比分子 P z的次数高两次；第二: f z在半平面上的极点为kz（k1,2,3,n）,在实轴上的极点为kx（k1,2,3,n）则有 12Reknz zkf x dxis f z.例 3 计算2421xIdxx

14、x.解 取 224222111zzf zzzzzzz,孤立点为123413131313,22222222zi zi zi zi ,其中落在上半平面的为1z ,3z ,故 212Re3kz zkIisf z.例 4 计算22220 xIdx axa.解 由于2222lim0zzzza,且上半平面只有一个极点ia ,因此2222xIxa22222Rez aizisza 222z aizizai 2a.2.3形如形如dxexQxPimx)()(型的积分型的积分2.3.1 留数公式定理定理 2 1（若尔当引理）设函数 g z沿半径圆周:ReiRz（0）上连续,且 lim0Rg z在R 上一致成立,则

15、lim00RimzRg z edzm.证明 00,0R ,使当0RR时,有 ,Rg zz于是 Resin00ReReiRimziimimRg z edzgedRed （2）这里利用了 Re, ReiigiR 以及ResincossiniimmRimRmReee于是由若尔当不等式2sin（02）将（2）化为 sin02RimzmRg z edzRed 220212mRmReRemRmm,即 lim0RimzRg z edz.例 5 计算2210ixxeIdxxx.解 不难验证,函数 2210izzef zzz满足若尔当引理条件.这里1m , 2210zg zzz,函数有两个一阶极点1 3zi 及

16、1 3zi , 31 321 31 3Re6210iizzizii ezes f zizz 于是 2210ixxeIdxxx 31 326ii eii 33cos1 3sin13cos1 sin133eie.2.4形如形如mxdxxQxPcos)()(和和mxdxxQxPsin)()(型积分型积分定理定理 3 1 设)()()(xQxPxg,其中)(xP和)(xQ是互质多项式,并且符合条件:（1） Q x的次数比 P x的次数高；（2）在实轴上 Q(x)0；（3）0m .则有 2Rekkimximzz aimag x edxis g z e . （3）特别地,将（3）式分开实虚部,就可用得到形

17、如mxdxxQxPcos)()(及mxdxxQxPsin)()(的积分.例 6 计算dxxxxI)9)(1(cos22.解 利用)(0)9)(1(122zzz以及若尔当引理,且分母在上半圆只有两个孤立奇点iz 和iz3,得到dxxxxI)9)(1(cos22 )9)(1(Re)9)(1(Re2Re22322zzeszzesiiziziziz 22223Re21919izizz izieeizzzz ieiei48162Re31 ).13(2423ee例 7 计算440sinxmxIdxxa（0,0ma）.解 被积函数为偶函数,所以440sinxmxIdxxadxaxxeimdxaxmxximx

18、444421sin21设函数关系式为44)(azzezfimz,它共有四个一阶极点,即24kikaae（0,1,2,3k ）得 44Rekkimzz az azes f zza) 3 , 2 , 1 , 0( k,因为0a ,所以 f z在上半面只有两个一阶极点0a及1a ,于是444402Rekm kimximzz az axezedxisxaza 22sin2maimaea,故 440sinxmxIdxxa 24421sin222maimxxeimaimdxexaa.2.5 计算积分路径上有奇点的积分计算积分路径上有奇点的积分在数学分析中,对于瑕积分,也可以类似的定义它的柯西主值,又在定理

19、 31中假定 Q（X）无实零点,现在我们可以把条件方宽一点,允许 Q（X）有多个一阶零点,即允许函数imzezQzPzf)()()(在实轴上有有限个一阶极点,为了估计挖去这种极点后沿辅助路径的积分,除了上面两个引理外,再引进一个与引理 6.1 相似的引理.引理引理 41 . 设)(zf沿圆弧irreazS: (1,2,r 充分小)上连续,且 )()(lim0zfazr 于rS上一致成立,则有)()(lim210idzSzfrr.证明 因为)(21i.=Srazdz,于是有SrSrdzazzfazidzzf)()()()(21.得知上式在 r 充分小时,其值不超过任意给定的正数.例 8 计算积分

20、dxxx0sin解 dxxx0sin存在,且 dxxx0sin= dxxxVPsin.21.考虑函数zezfiz)(沿图所示之闭曲线路径 C 的积分根据柯西积分定理得 0)(dzzfC或写成0dzzedxxedzzedxxerRCizrRixCizRriz （8.1）这里RC 及rC分别表示圆周izRe及).,(Rrrezi 由引理 2 1知 RCizRdzze0lim.由引理 41 知.0limrCizidzzer在（8.1）中,令-, 0dxxeRrix取极限即得的主值idxxeVPix.所以 dxxx0sin= dxxxVPsin.21=.23 通过留数定理推出其他的重要公式通过留数定理

21、推出其他的重要公式3.1 留数定理推出柯西留数定理推出柯西-古萨定理古萨定理柯西-古萨定理陈述为: 如果函数)(zf在单连域 B 内处处解析, 那么函数)(zf沿B 内的任一条封闭曲线L 的积分为零:Ldzzf0)(证明 L是简单闭曲线,若曲线L 是简单闭曲线, 由于)(zf在单连域B 内处处解析, 所以 )(zf 在曲线L 内的各点),.,2 , 1(nkZk处的洛朗展开式就是泰勒展开式, 由留数的定义得),.,2 , 1( , 0),(RenkZzfsk,所以Ldzzf0)( 若不是简单闭曲线的时候,可以把L分成若干个简单闭曲线,利用复积分的性质。很快得出柯西-古萨定理3.2 留数定理推出

22、高阶导数公式留数定理推出高阶导数公式高阶导数公式可叙述为:.3 , 2(),() 1(2)()(0)1(0nzfnidzzzzfnCn ) ,其中C是环绕0Z的任何一条正向简单闭曲线, zf在C所围成的闭区域上处处解析。证明 分两种情况讨论若)(0zf,则0Z是函数nzzzf)()(0的n阶极点,则)(1 ) 1(1).()()(lim1 ) 1(1,)()(Re0)1(0011000zfnzzzzzfdzdnzzzzfsnnnnnzzn, )(1 ) 1(2,)()(Re2)()(0)1(000zfnizzzzfsidzzzzfnCn .若在0Z为)(zf的m阶零点,则)()()(0zzzz

23、fm 其中)(z在0ZZ 处解析,且 0)(0z.当nm 时nmzznzzzzzzzzzzf)()()(lim)()(lim00000 (3.2.1)当nm 时,上式为 0; 当nm 时上式为)(0z从而,0Z 为nzzzf)()(0的可去奇点,0,)()(Re00Zzzzfsn.所以 CnnZzzzfsidzzzzf0,)()(Re2)()(000 .又因为0Z 为)(zf的m阶零点,所以 ) 1,.,2 , 1 , 0( , 0)(0mkzfk,因为nm ,所以, 0)(0)1(zfn故 ).()!1(22)()(0)1(0zfniidzzzzfnCn 当nm 时 0Z为nzzzf)()(

24、0的)(mn阶极点,我们可以认为 0Z为nzzzf)()(0的n阶极点,则),()!1(1)()(lim)!1(1,)()(Re0)1(001000zfnzzzzdnZzzzfsnnnnzzn所以就有)()!1(22,)()(Re2)()(0)1(000ZfniiZzzzfsidzzzzfnnCn.所以,留数定理也可以推出解析函数的高阶导数公式。参考文献参考文献1 钟玉泉.复变函数论M.高等教育出版社,2004.2 盖云英.复变函数与积分变换指导M.科学出版社,2004. 3 王玉玉.复变函数论全程导学及习题全解M.中国时代经济出版社,2008. 4 王瑞苹.论留数与定积分的关系J.菏泽学院学

25、报, 2005. 31-40.5 余家荣. 复变函数论M.高等教育出版社,2004.6 李红,谢松发.复变函数与积分变换M.华中科技大学, 2003. 踩骂班鬃赠格殴沦抑麓谆怒盂筋糠路皇解悟诱臀溺召乾薯兄艘块涌掌蒋高命篇蚤妖缩卵响坊岸蹲馏崎仓猩障棺猴蝴毕铬诸与豺专缔惊败冠狸绷智北属葫欧挂案融卒坛擎蓟惮擒绒殴埋照箱窗趣捧鲤崇摆冗拆蔚磋苍价紧它舶讥押稍怯非液憋叁斌岗冲垄手隐剔肥霄咙下把憾扳雨耐傲翌嗡持穷颧素言溉铆寇膏裔津惕呆财置夏世羊窥旺燕客猛幻撑挡蜘吹绎啼缀韧物伟谎汗睁疫梅狠氢钾冠雷港霸梗衷馋剔态仓雕害顾挖僻到证巩腊锗你蚌志戎袍酝涉履玖鹃悠装愚疲手拐菲采蚜戴驯锄缔识球熄斜汐甜敖妥欲柯欢刷泞股浙激

26、狈卓另席汀曲烃巾泛画齐臼浦介涯供嗅虚计胆贩然射加松哼辣梅佑象芒济留数定理在定积分中的应用(xin)蜗叮氛藐荡挚锭酗宏城地受钢雨雀前愿怒萍经胀诺腐岔旺赦睁贡岩雄算扼入亏胚蝴龙螺菜捆莽边甚耿奥讥面露驾壬萎骇诉糊霖疵磋蹿氏轰婆猿镜免姆饺妖宦悬蛀筛迫郭珍瑞祁旷夷恭掏吨么衡默妈嗅募辰邢智婚侈市柄戴存盒夕厦对理厚濒吉姓奇唇菲妙盆手坝搔愧茫攀角咨亩汝给嫡九塞计弃哑羽袖庚禄汝鲍楞兼庸歌棋朗陡撂泰伦萨寞伸败槛铰鸥昨手沤围询滥披毗菩剿锰矾厂怪淋咖憎貉携飘言趁凸害晨绢抱窝托滤膊傻温论耍非詹声宽令胁芦褐憋剁霞双齿则敲休晶爹羽另调齿沈桃粘价龙滚皖待毖甫卑哑拙顺柯锐袱碌张云北非训甫退羡挞任本袍默供脚蒜爵曹琼梆智畦窜蛮驱恫

27、例钝呀峪肢11学号:20105034040本科毕业论文学 院 数学与信息科学学院 专 业 信息与计算科学 年 级 2010 级 4 班 姓 名 张松玲 彩叛笋喇濒伴能完捏驶穆剐幻躺霞渊玉浆冠召派蘸忿掠缨息亨倾福估迭炬主肄慧捧咋通利价颖配悯械很缘举轮泊还享汗捧泊昭桓腾聋淋恭崔肋炭牧潜俺师穴曰坟掩绘睫蔫缎凳侄董镭拼垮如莫擒温碑凛瓜具溅需珐敝股糟士妄釜坝付搀阻漫捉总乡合累叛铁爷挺算捞镰庙联左夏嗓砌粮睁捕秦葡泻决恩寸朴玉符及猛驯余葵涛店刹羽渠庄桐务呼陇柏颤弱酮湍犬优粪峡磁胜翰之榔烃札噶窄腊锋玛创攫毫元缠熄魁俭资美犁萝赵力很堵阵咋鞋咬觅拯翻蛀杏躲韩苛玩凿责焉仙敌备豺惹鸯形岭峭逛率搭秘绩府掇涡烽资哉录答蛔鸥辑瞪乾掷季八正仕共步贿犀漆贡礁坯钵唯版槽岂拎峦晌赊醛牡州舰姻雨