恒成立与存在性问题的基本解题策略

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1、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：恒成立；2、能成立问题的转化：能成立；3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.4、设函数、，对任意的，存在，使得，则5、设函数、，对任意的，存在，使得，则6、设函数、，存在，存在，使得，则7、设函数、，存在，存在，使得，则8、设函数、，对任意的，存在，使得，设f(x)在区间a,b上的值域为A，g(x)在区间c,d上的值域为B,则AB.9、若不等式在区间D

2、上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；10、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方。在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:j在给定区间上某关系恒成立;k某函数的定义域为全体实数R;l某不等式的解为一切实数;m某表达式的值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类

3、型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、 思路2、如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知

4、识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（二）、赋值型利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，则f(0)=f(),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例（备用）由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f：(a

5、1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,则f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 同理，若在m,n内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于

6、该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10在|a|2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a0)大

7、于0恒成立，则有（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型1：设在R上恒成立，（1） 上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设在区间上恒成立（1） 当时，上恒成立，上恒成立（2） 当时，上恒成立上恒成立类型3：设在区间 (- , a上恒成立。f(x)0a0且Da且f(a)0f(x)0a0且Da且f(a)0a0,D0或-b/2a0f(x)0a0,D0或-b/2aa且f(a)g(a)恒成立，则g(a)f(x)min;若对于x取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分别为f(x)的最大值和最小值)例6.已知三个不

8、等式，要使同时满足的所有x的值满足，求m的取值范围.略解：由得2x3;,构造函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例9. 设常数aR,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围为。解：1）a=0x=a/2=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2=x=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a=2则与g(x)有交点，即：-2=a0x=0时，f(x)=-3x+

9、(-2x+a)=-5x+a0=x=a/2时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a=2时与g(x)有交点，即：0a=2综上所述，-2=a=2时f(x)=3|x|+|2x-a|与g(x)=2-x有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质 1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围。 解：因为的值随着参数a的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当t为何值时，不等式恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t的不等式组：。 解得，即有，易得。2、

10、设点P（x，y）是圆上任意一点，若不等式x+y+c0恒成立，求实数c的取值范围。（二）分离参数，化归为求值域问题 3、若对于任意角总有成立，求m的范围。解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立。根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值。因为 即时，有最小值为0，故。（三）变更主元，简化解题过程 4、若对于，方程都有实根，求实根的范围。 解：此题一般思路是先求出方程含参数m的根，再由m的范围来确定根x的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为主元，则， 由原方程知，得 又，即解之得或。5、当时，若不等式恒成立，求的取值范围。（四）图象解题，形象直观

11、6、设，若不等式恒成立，求a的取值范围。 解：若设，则为上半圆。设，为过原点，a为斜率的直线。在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a的取值范围为。 7、当x(1,2)时，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范围。解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x (1,2),y11,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。故loga21, 10,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。解：令y1=x2+4x

12、=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4, y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2）当直线为l1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a=;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0，a=a的范围为（五）合理联想，运用平几性质 9、不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，求a的范围。分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点A（0，1），而曲线为圆,圆心C（a，0），要使直线恒与圆

13、有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解：，C（a，0），当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，1）必在圆上或圆内，即点A（0，1）到圆心距离不大于半径，则有，得。（六）分类讨论，避免重复遗漏 10、当时，不等式恒成立，求x的范围。解：使用的条件，必须将m分离出来，此时应对进行讨论。当时，要使不等式恒成立，只要， 解得。当时，要使不等式恒成立，只要，解得。当时，要使恒成立，只有。 综上得。解法2：可设，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上

14、的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.11、当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。解：当时，当，即时等号成立。故实数的取值范围:（七）构造函数，体现函数思想 12、设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围。解：本题即为对于，有恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a分离出来，得，对于恒成立。构造函数，则问题转化为求函数在上的值域。由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。（八）利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与

15、集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。例13、当时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1） 当时，则问题转化为 （2） 当时，则问题转化为综上所得：或四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、已知函数，其中，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值，即只需满足即可简解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)对称轴x=a1，即或0an(a) 解得a4/5,（注意到a的范围）从而得a的范围：0a2时，m(a)= fmin(x)=

16、f(2)=5-4a，由m(a)n(a) 解得an(a) 解得或，（注意到a的范围）从而得a的范围：;综合（1）（2）（3）知实数的取值范围是：(0，4/5)1,22、已知两函数，对任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 解析：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上；若在区间D上存在实数使

17、不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数，使得不等式有解，则实数的取值范围为_。解：设，由有解，又，解得。1、求使关于p的不等式在p-2,2有解的x的取值范围。解：即关于p的不等式有解,设，则在-2,2上的最小值小于0。(1)当x1时，f(p)关于p单调增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+30,解得1x3;2222(2) 当x1时，f(p)关于p单调减少，故fmin(p)=f(2)=x2-10,解得-1x1；(3)当x=1时，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)1(m0)有解；若命题P和命题Q都是真命题，求m的值范围。解：(1)由P真得：，注意到a在区间-1,1, ,由于

18、|m2-5m-3|x1-x2|对任意实数a-1,1恒成立，故有解得： m-1或m6或0m5(1)由Q真，不等式|x-2m|-|x|1(m0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m1,解得：m1/2由于（1）（2）都是相公命题，故m的值范围：1/2m5或m6.举例（1）已知不等式对于）恒成立，求实数的取值范围.（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.分析：（1）由得：对于）恒成立，因，所以，当时等号成立.所以有.（2）注意到对于恒成立是关于的一次不等式.不妨设，则在上单调递减，则问题等价于，所以或，则取值范围为.小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思

19、考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式对时恒成立，。即的上界小于或等于；不等式对时有解，。 或的下界小于或等于；不等式对时恒成立，。即的下界大于或等于；不等式对时有解，.。 或的上界大于或等于；高中数学难点强化班第四讲（140709）课后练习答案：一填空选择题（每小题6分，共60分）1、对任意的实数，若不等式恒成立，那么实数的取值范围。答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数的取值范围：a-32、不等式有解，则的取值范围是 解：原不等式有解有解，而，所以。O3.若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是（）(A) (B) (C) （D） 解析：

20、对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知，即。答案：选B4当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .解析: 当时，由得.令，则易知在上是减函数，所以时，则.5已知不等式对任意都成立，那么实数的取值范围为分析：已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解。解析：由题设知“对都成立，即对都成立。设（），则是一个以为自变量的一次函数。恒成立，则对，为上的单调递增函数。 所以对，恒成立的充分必要条件是，于是的取值范围是。图31oxy图11xy01xy0图26已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ )A(0，2)

21、 B(0，8) C(2，8) D(，0)分析：与的函数类型，直接受参数的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析：当时，在上恒成立，而在上恒成立，显然不满足题意；(如图1)当时，在上递减且只在上恒成立，而是一个开口向下且恒过定点（0，1）的二次函数，显然不满足题意。当时，在上递增且在上恒成立，而是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数，与的值至少有一个为正数则只需在上恒成立。(如图3)则有或解得或，综上可得即。 故选B。、已知两函数，g(x)=6x2-24x+21。（1）对任意，都有成立，那么实数的取值范围c0；（2）存

22、在，使成立，那么实数的取值范围c-25；（3）对任意，都有，那么实数的取值范围c150；（4）存在，都有，那么实数的取值范围c-175；解析：（1）设，问题转化为时，恒成立，故。令，得或。由导数知识，可知在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，由，得。（2）据题意：存在，使成立，即为：在有解，故，由（1）知，于是得。（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意，都有成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：。 ，在区间上只有一个解。，即.（4）存在，都有，等价于，由(3)得，点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本

23、质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件。二简答题（每题10分）、（10分）若不等式对任意实数x恒成立，求实数m取值范围解：9、对一切实数x,不等式恒成立，求实数a的范围。若不等式有解，求实数a的范围。若方程有解，求实数a的范围。解： 10.已知函数()若的定义域,试求的取值范围.() 若在上有意义, 试求的取值范围.()若的解集为,试求的值. 解答：这三问中,第()问是能成立问题,第()问是恒成立问题,第()问是恰成立问题.() 的定义域非空,相当于存在实数,使成立,即的最大值大于0成立,解得 或.()在区间上有意义,等价于在恒成立,即的最小值大于0.解不等式组

24、 或 或解得 ()的解集为,等价于不等式的解集为;于是有 ,这等价于方程的两个根为2和3,于是可解得.11、对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点。 （1）当a=2，b=2时，求的不动点； （2）若对于任何实数b，函数恒有两相异的不动点，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的图象上A、B两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围。解 （1）当a=2，b=2时， 设x为其不动点，即则 的不动点是1，2.（2）由得：. 由已知，此方程有相异二实根，恒成立，即 即对任意恒成立.（3）设，直线是线段AB的垂直平分线， 记AB的中点由（2）知 化简得：时，等号成立）;又在上单调递减，且值域为（，+），所以h(a)在a(0,2)值域为（，+）。从而g(a)在a(0,2)的值域为，即第 18 页 共 18 页