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1、力学中的几何问题 PB05000634 梁慧 众所周知，物理学在长期的发展过程中，数学是一样非常有用的工具，尤其是在微积分的发明之后，物理学的发展更是大大加快了。而我们必须看到的是，其实在数学的诸多分支学科中，并不仅仅是微积分，欧氏几何也起到了杰出的作用。尤其是在微积分出现以前，物理学家们在欧氏几何的帮助下，借助几何直观性，将数学的美感完全融入到物理学中，发明了一个又一个伟大的定律，形成了一座座令后人景行行止的高峰，比如说开普勒三定律的，等等。 下面根据几个具体的例子谈一谈力学中的几何问题1 天体运动的轨道问题图形如下 在教材中处理质点在有心力场中的运动时，p264中，通过角动量守恒与机械能守
2、恒，列出了方程，从而得出了 r= 课本上对于这个公式进行了非常复杂而且繁冗的推导，最后居然得出了上面这个公式，其实仔细看看就可以发现，这是圆锥曲线的极坐标方程，其中r 为极径，为离心率，为极角，由圆锥曲线的定义 时圆锥曲线为椭圆； =0 时为圆； 时为双曲线； =1时为抛物线； 我们知道,由于自然科学的统一, 客观事物的规律总是有最简单的, 最普a遍的规率, 物理学也是.开普勒所处时代的数学水平并不是非常的先进, 至少不能符合其他自然科学的发展的需要,他只能通过最简单,最直观的方式进行观察,并且统计一些数据,得出了定性的规律,也就是开普勒三定律. 然而在牛顿所处的时代, 由于微积分的发明, 物
3、理学的研究多了一项非常好用的工具, 也就是推出了上述轨迹方程.可是从某种程度上来说,这个结论,只是有着更多的数学意义,而并没有更加重要的物理意义, 因为我们都知道,行星确实是按照椭圆轨道运动的,其余的解都不适合于研究天体的一般规律,可以说,只是把开普勒定律定量化, 证明了开普勒定律的正确性. 由此可见,我们假如要进行科学研究,要得到一般的规律,尤其是在天体物理中研究行星的运动规律,几何也是很重要的. 2 利用几何直观判断以太假说的错误性 我的目的并不是为了通过数学工具来对物理中的一些问题进行非常严密的证明. 对我们现在的绝大多数人来说,用严密的数学来对物理学中的问题进行高深的论证,并不是很现实
4、. 但是我只是对某些假说进行猜想, 用最简单的几何方式来说明, 有些时候遇到很困难的问题, 我们可以通过最原始的角度对它进行探究, 自然科学是完美的, 那些看上去繁琐的问题, 其实也许可以在简单的图形中找到答案. 这也是一种科学的探究方式. 首先,假设宇宙中充满以太, 因为宇宙的整个空间中, 星体所占的空间相对而言是非长小的, 所以可以将整个宇宙看成是密度均为以太密度r的空间. 拿太阳系进行考虑由机械能守恒,绕太阳运动的物体,在近地点速度大于远地点速度.而将以太看作是连续的质点模型,也就是流体模型(或许这个假设是不对的, 但是在提出以太假设时,基本上也是将以太看作是连续介质), 所以,由两辆船
5、只,在迎面驶向对方时,中间会产生一股很强的拉力,按照书上的说法, 像一只大手将两只船拉到一起, 极易产生事故. 即使并不是很了解流体产生这种拉力的具体原因, 也可以通过这个事实知道, 流体在较窄的空间内的运动速度应大于在较宽的空间(这个说法可能不是太确切), 假如存在一个运动中心,就像太阳系的椭圆轨道,如图,在较窄的地方速度就应该很大.(下面还有,因为是用CAD作的图,图形大小无法控制,请见谅)以下通过几何图形分析来进一步了解以太假说的错误假设太阳系是圆形的，如下面的圆P，圆P 的圆心P是星体的椭圆轨道的中心，长轴两端为E,F,作出椭圆轨道，其中，以长轴来区分椭圆轨道，则作出的两椭圆轨道为BE
6、, AD,A,B为近日点，ABCDEF在同一直线上首先可以知道，有机械能守恒可知，远日点速度小于近日点速度，即 而在流体模型中,ACDF,所以AC,BD流体中的速度分别为，必有 又因为B,E是AC,DF之间的点,则 也就是近日点速度小于远日点速度,这与机械能守恒是矛盾的.由此可说明以太假说的错误性.其实这个假说是错误的, 这很久以前就为人所知,只是我们可以借鉴一下很多相似问题的考虑方法.对于某些问题的考虑,简化在几何问题中,可能会从一个特别的方面来说明问题,尽管不能像数学手段那样深入实质,但还是有一定的启发作用.力学本来就是一门基础科学,力学的学习,对以后学习更深层次的物理,起着无法替代的作用.在学习力学时,如果能做到举一反三,触类旁通,当然会很好.也正是由于物理学是一门实验科学,.个人以为,虽然课程要求的微积分等一些数学水平不是很高,但了解数学中的思想方法,比如几何方面的一些知识,对我们学习不单单是力学,甚至物理学,都是非常有好处的,它有助于对定理的理解,对新的未知的规律的发现.附注:非常感谢杨维纮老师对我们班学生的关怀与厚爱,以及这半学期付出的努力5 / 5文档可自由编辑打印
力学中的几何问题
