偏导数和全微分的概念解

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1、YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念一、偏导数的定义一、偏导数的定义YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念.),(),(lim0000000 xyxfyxxfxfxyyxx YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数),(zyxfu 例如，例如，处，处，在在 ),( zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx

2、 ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的微分法问题。微分法问题。时，时，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 x 求导数即可。求导数即可。时，时，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自变量暂时看成之外的其他自变量暂时看成常量，对常量，对 y 求导数即可。求导数即可。其它情况类似。其它情

3、况类似。YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 解解 xz;2sin2yx把把 y 看成常量看成常量 把把 x 看成常量看成常量 yz.2cos22yx22sin2.zxy 例例求求的的偏偏导导数数YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念 233,0,1 ,1,0 ,0,2 ,2,0 .xxyyfffx yxyxyxyffff例例 设设求求并并求求解：解： 2 ,0,11,1

4、,02;xxfyxffx 23,0,212,2,02yyfxyffy YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. .一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在连续。连续。连续。连续。偏导数存在偏导数存在 连续连续. .例例如如在在点点YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 如

5、图如图xTyT0M),(0yxfz ),(0yxfz YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念几何意义几何意义: : 偏导数偏导数),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线xTM0对对x轴的轴的斜率斜率. 偏导数偏导数),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲线在点所截得的曲线在点0M处的切线处的切线yTM0对对y轴的轴的斜率斜率.YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念二、全微分的定义二、全微分的定义),(),(yxfyxxf x

6、yxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念全增量的概念全增量的概念).,(),(yxfyyxxfz YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念全微分的定义全微分的定义. yBxAdz YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念事实上事实上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf Yunn

7、anUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念. yyzxxzdz ,.xdxydy .dyyzdxxzdz 即即YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念证证)( oyBxAz 总成立总成立, ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在例如，例如，2222220( , ).00 xy

8、xyxyf x yxy 微分存在微分存在全微分存在全微分存在)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 时，时，即，当即，当 0 (0,0)(0,0)xyzfxfy ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即0说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微 分存在。分存在。YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念证证),(),(yxfyyxxfz

9、 ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),( YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念00000000( , )( , )( , )( , )f xx yyf

10、xx yf xx yf xy 0000( , )( ,) 01, 0yxf xx yy yf x yxx 0000(,)(,)yxfxyyfxyxx 0 0000( , )( , )xyfxyxfxyyxy ,fx y这这表表明明 在在点点可可微微。YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.uuududxdydzxyz则则通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的之和这件事称为二元函数的微

11、分符合微分符合 , ,ufx y z 若若YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解,xyxe dyyzdxxzdz 因此，因此，.dyxedxyexyxy .222dyedxedz (2, 1) 处的全微分处的全微分它们均连续。因此，函数可微分。它们均连续。因此，函数可微分。,xyye xxyexz yxyeyz YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念例例5.22,.ux yxydu设设求求解：解：22,uxyyx 22,uxxyy 2222.duxyydxxxy dy,uuxy因因连连续续，故故YunnanUn

12、iversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解,2cos21yzzey ,yzye 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz , 1 xyzeyxxu 2sin yyzeyxyu 2sin zyzeyxzu 2sin YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念证证 （1）令令,cos x,sin y ),(lim)0 , 0(),(yxfyx. 0)0 , 0( f232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念

13、偏导数和全微分的概念),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx )0 , 0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0, 000lim0 yy ),(lim)0 , 0(),(yxfyx232222)0 , 0(),()(limyxyxyx 220cossinlim 0 YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念 )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 22232222)()()()()()(yxyxyx 22222)()()()(yxyx )0 , 0()0 , 0( yfxffy

14、x 则则22222)()()()(xxxx 41 YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念),()0 , 0()0 , 0( oyfxffyx 即即总结：总结： 00,fx yxy证证明明在在点点是是否否可可微微的的步步骤骤： 0000,;xyfxyfxy(1)(1)求求 000000002200,limxyxyfxx yyfxyfxyxfxyyxy 2 考考察察极极限限YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念 000030,xyxy（ ）如如果果上上式式极极限限为为 ，则则在在点点可可微微，如如果果极极限限不不存存在

15、在，则则在在点点不不可可微微。练习练习 222222221sin,0,0,0 xyxyxyfx yxy 设设 ,0 0fx y证证明明在在， 点点可可微微。YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念三、高阶偏导数与高阶全微分三、高阶偏导数与高阶全微分),(22yxfxzxzxxx 22( ,)yyzzfx yyyy),(2yxfyxzxzyxy

16、2( ,)yxzzfx yxyy x 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数.YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解zx,33322yyyx zy;9223xxyyx 22zx,62xy 22zy;1823xyx 33zx,62y 2zy x . 19622 yyx2zx y , 19622 yyxYunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos22

17、2byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念问题问题:混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？相等？定理定理3 ,.xyyxxyyxufx yffx yfx yfy x 设设若若及及在在点点都都连连续续，则则证明：证明：作辅助函数作辅助函数 ,.x yyx yx yfxx yfx y 而而其其中中,xy由由于于 是是固固定定的的，所所以以对对 应应用用中中值值定定理理 有有YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全

18、微分的概念 111,yyyx yyyfxx yyfx yy 其其中中0 1.0 1.x对对 再再用用一一次次中中值值定定理理，就就有有 212,01yxfxx yyx y xyxy如如果果在在上上述述过过程程中中改改变变关关于于 和和 的的顺顺序序，即即先先对对后后对对 施施行行同同样样的的手手续续，可可得得YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念 3434,0,1xyfxx yyfxx yfx yyfx yfxx yyx y 于是有于是有 2134,yxxyfxx yyfxx yy 0,0,.yxxyyxxyffxyfx yfx y 由由假假设设及及皆皆

19、为为连连续续，在在上上式式两两边边取取极极限限即即得得证毕。证毕。YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念 0,.nnnkn kknn kkkufx yfd uCdxdyxy 一一般般地地，若若，则则22222210ln,0.uuuxyxy例例设设证证明明YunnanUniversity1. 偏导数和全微分的概念偏导数和全微分的概念解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0