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1、积分的对称性积分的对称性积分的对称性积分的对称性定积分的对称性定积分的对称性积分的对称性二重积分的对称性二重积分的对称性 利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，不可误用 DdxdyyxfI),(若D关于 x 轴对称时时当当),(),() 1 (yxfyxf 0 I时时当当),(),() 2(yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxD积分的对称性若D关于 y 轴对称时时当当),(),() 1 (yxfyxf 0 I时时当当),(),()2(yxfyx
2、f 1),(2DdxdyyxfI 0,),( ),(1 xDyxyxD若D关于原点对称时时当当),(),() 1(yxfyxf 0 I时时当当),(),() 2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI 0, 0,),(3 yxDyxD积分的对称性 奇函数关于对称域的积分等于0，偶函数关于对称域的积分等于对称的部分区域上积分的两倍，完全类似于对称区间上奇偶函数的定积分的性质、简单地说就是积分的对称性三重积分的对称性使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性 一一般般地地，当当积积分分区区域域 关关于于xoy平平面面对对称称，且且被被积积函
3、函数数),(zyxf是是关关于于z的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数),(zyxf是是关关于于z的的偶偶函函数数，则则三三重重积积分分为为 在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍.积分的对称性 dvzyxfI),(对对 若若关于 xoy 面对称时时当当) ,(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),(),()2(zyxfzyxf 1),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(1 zzyxzyx 若若关于 xoz 面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),(),()2(zyxfzy
4、xf 积分的对称性 2),(2 dvzyxfI )0,( | ),(2 yzyxzyx 若若关于 yoz 面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),(),()2(zyxfzyxf 3),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(3 xzyxzyx 积分的对称性若 L 关于 y 轴对称 Ldsyxf),(对对 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),() 1 (时时当当 LLdsyxfdsyxfyxfyxf1),(2),(),(),()2(时时当当对弧长的曲线积分的对称性对弧长的曲线积分的对称性其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段 0,),( | ),(1
5、xLyxyxL积分的对称性若L关于 x 轴对称 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时时当当 LLdsyxfdsyxfyxfyxf2),(2),(),(),()2(时时当当其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段 0,),( | ),(2 yLyxyxL积分的对称性若 L 关于 原点 对称 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时时当当 LLdsyxfdsyxfyxfyxf3),(2),(),(),()2(时时当当其中 L3 是 L 的对称的部分弧段 00,),( | ),(3 yxLyxyxL与重积分的对称性十分类似积分的对称性对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性对面积的曲面积分有类似与三重积分的对称性 设设对称于对称于xoyxoy （或（或yozyoz ，或，或 zoxzox ）坐标面）坐标面若若 f f（x x , , y y , , z z ) ) 关于关于z z（或（或 x x ，或，或 y y ）是奇函数）是奇函数 0),(dSzyxf则则若若 f f（x x , , y y , , z z ) ) 关于关于z z（或（或 x x ，或，或 y y ）是偶函数）是偶函数 1),(2),(dSzyxfdSzyxf部部分分位位于于对对称称坐坐标标面面一一侧侧的的是是其其中中 1对面积的曲面积分的对称性对面积的曲面积分的对称性
积分的对称性课件
