求阴影面积的常用方法

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1、O 膃计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常 常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和 分析图形，会分解和组合图形。现介绍几种常用的方法。 芀一、转化法 袇此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利 用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。 蚄例 1.1.如图 1 1,点 C C、D D 是以 ABAB 为直径的半圆 0 0 上的三等分点，AB=12AB=12 则图中由弦 AC ADAC AD 和围成 的阴影部分图形的面积为 _ 。 芇有

2、一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这 些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 c 1 肂例 2.2.如图 3 3 是一个商标的设计图案，AB=2BC=BAB=2BC=B 丄为.圆，求阴影部分面积 蚀分析：经观察图 3 3 可以分解出以下规则图形：矩形 ABCDABCD 扇形 ADEADE分析：连结 CD OC 0DCD OC 0D 如图 2 2。易证 AB/CDAB/CD，贝 U U和在OCD 的面积相等，所 以图中阴影部分的面积就等于扇形 OCDOCD 勺面积。易得 v -，故 6060址 6 62 2 360360 和差法

3、90 490 42 2 360360 5-討心4 4十 所以, B _ 2 劇腮0OD _ =%障思心+ %私一 %直進配= 蚈就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由 几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。 螄例 3.3.如图 4 4,正方形的边长为 a a,以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积 蚩 厅； 解：因为 4 4 个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等 于 4 4 个半圆的面积和与正方形面积的差。故 蒀四、补形法 螅将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规

4、则图形的面积 薆例 4.4.如图 5 5,在四边形 ABCABC 冲，AB=2 CD=1AB=2 CD=1 Z3 = ZD= Z3 = ZD= 9090，求四边形 ABCDABCD 所在阴影 部分的面积。 E / ,i * * * * M 图& 解：延长 BC ADBC AD 交于点 E E,因为Zj4=60# 二网，所以= = 3030，又 ZDC= ZDC= 90%90%所以込 2CD 2CD DE = 43，易求得 盹=2羽，所以 1 = BE-CD = - 膆五、拼接法 羄例 5.5.如图 6 6,在一块长为 a a、宽为 b b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平

5、宽 都是 c c 个单位），求阴影部分草地的面积。 苑 厂一 解：（1 1）将小路沿着左右两个边界剪去； c c 个单位；（3 3）得到一个新的矩形（如图 7 7）。由于新矩形的纵向宽仍然为 所以草地的面积为城口-町二必-民。 （2 2）将左侧的草地向右平移 b b,水平方向的长变成了六、特殊位置法 薇例 6.6.如图 8 8,已知两个半圆中长为 4 4 的弦 ABAB 与直径 CDCD 平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的 面积等于 _ 。 在大半圆中， 任意移动小半圆的位置， 阴影部分面积都保持不变， 所以可 将小半圆移动至两个半圆同圆心位置（如图 9 9） 图7 7 聿 图 9 9

6、解：移动小半圆至两半圆同圆心位置，如图 9 9。设切点为 H,H,连结 OH OBOH OB 由垂径 定理，知 。又 ABAB 切小半圆于点 H,H,故，故 羈* Sd W 膄七、代数法 肃将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 衿例 7.7.如图 10,10,正方形的边长为 a,a,分别以两个对角顶点为圆心、以 a a 为半径画弧，求图中阴影部分的面 积。 祎解：设阴影部分的面积为 x x，剩下的两块形状、大小相同的每块面积为 y y，则图中正方形的面积是 ?， - ,0 = a2 x = (-l)a2 而：r 是以半径为 a a 的圆面积

7、的：。故有 f 。解得 。即阴影部分的 面积是。 袂需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方 法。 罿思考吧 如图 1111,正方形的边长为 1 1,以 CDCD 为直径在正方形内画半圆，再以点 C C 为圆心、1 1 为半径画弧 BDBD 则图中阴影部分的面积为 _ 。 芃例 6 6:如图，已知 ABCABC 内接于。0 0,且 AB AB = BC BC = CA CA = 4cm4cm,则图中阴影部分的面积是 _ cmcm2 膅 卫1 1 L L 图1 袅A A 羃 蒈例 7 7:如图，A A、B B、C C、D D 是圆周上的四点，且

8、AB AB + CD CD = AD AD + BCBC,如果弦 ABAB 的长为 8 8,弦 CDCD 的 长为 4 4,那么图中两个弓形（阴影部分）的面积和是 _ 。（二取 3 3） 蚇5 5、环形 袃例 8 8:如图，在两个同心圆中, 积是 _ 。 薅 蒁 薈 羂6 6、扇形 薄例 9 9:如图，在矩形 ABCDABCD 中，AB AB = 1 1, AD AD =，以 BCBC 的中点 E E 为圆心的 MPNMPN 与 ADAD 相切于 P P,则图 中阴影部分的面积为（）（） 袀二、组合图形 羇1 1、四边形与圆组合 袈例 1010:如图，四个正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相

9、等的图形个数是（）（）（A A） 0 0; （B B） 2 2; （C C） 3 3; （D D） 4 4。 P P 是大圆上任一点，PAPA 切小圆于点 A A，设 PAPA= 4 4,则图中阴影部分面 2 二，、3 : 蚈(A) (A) 丁 (B)(B)亍(C)(C) (D)(D) 蚄B 节E 蚅C 袃 蚂2 2、圆与圆组合 蚈4 4、扇形与圆组合 螄例.1313:如图，O 0 0 半径为 2cm2cm，直径 ABAB 垂直于直径 CDCD，以 B B 为圆心，BCBC 的长为半径作 CEDCED，则 CEDCED 与 CADCAD 所围成的阴影部分的面积是 ； 蚃三、动态图形 蒀1 1、

10、翻折腿例 1111:如图，ABAB、AEAE 分别为两个半圆的直径，弦 部分的面积为 _ 。 CD CD / ABAB，且与小圆相切，若 CD CD = 1212,则图中阴影 螃例 1212:如图， 设计一个商标图案 （如图阴影部分） ， 圆心，ADAD 长为半径作半圆，则商标图案面积为 =8cm8cm， 以点为 袁莃A 螁E薈0 羁B 蒄A 膈0 薁B 螃 2BC2BC,且 ABAB 蚆 螅例 1414:矩形 ABCDABCD 的长、宽分别为 5 5 和 3 3,将顶点 C C 折过来，使它落在 ABAB 上的 C C，点（DEDE 为折痕），那 么阴影部分的面积是 _ ； 薆2 2、旋转

11、蒂例 1515：如图，将边长为 1 1 的正方形 ABCDABCD 绕 A A 点按逆时针方向旋转 6060，得正方形 A A/B B/C C/D D/，则旋转 前后两个正方形重叠部分的面积是 _ 。 蕿组合图形 膆1、求下列组合图形阴影部分的面积。 2cm 5 3cm 袂 羈 肃 衿 膅 祎 聿 蝿 /2 8 K - 3 蒃下图中长方形长 6cm，宽 4cm，已知阴影 莂比阴影面积少 3cm2，求 EC 的长。 图中阴影比阴影面积小 48 平方厘米, AB=40cm，求 BC 的长。2芃 薀 罿2、求它的周长和面积。 （单位：厘米） 肅长方形的面积和圆的面积相等，已知圆 蚃的半径是 3cm，

12、求阴影部分的周长和面积。 求直角三角形中阴影部分的面积。 （单位： 分米） j?j? A腿 螈 ii 芈 袅 V $ 匕 羀 莈 羃 蒈 (11)求阴影部分面积。(单位：cm) 賺求阴影部分的面积。 蚃已知 AB=8cm , AD=12cm ,三角形 ABE 和三角形 ADF 的面积，各占长方形 ABCD 的 1/3,求三角形 AEF 的面积。 蚇(12)梯形面积是 48 平方厘米，阴影部分比空白 袃部分 12 平方厘米，求阴影部分面积。 (13)阴影部分比空白部分大 6cm2,求 S 阴。 膅平行四边形的面积是 30cm2, 一个圆的半径是 4cm，求阴影部分面积。 芆梯形上底 8cm，下底 16cm，阴影 莅部分面积 64cm2，求梯形面积。 葿 薈3、求下列图形的体积。（单位：厘米）