6.2二次型化为标准型的三种方法基础教学

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1、2 二次型化为标准型的三种方法二次型化为标准型的三种方法2,(),)TT1nf(x ,x ,x )X AX AA 对对于于二二次次型型一一个个最最基基本本的的问问题题是是找找一一个个可可逆逆( (非非退退化化 线线性性替替换换X X= =C CY Y化化f f为为只只含含平平方方项项的的简简单单形形式式22221122,1nnn(y ,y ,y )d yd yd y g gf.上上 式式 称称 为为的的 标标 准准 型型 非非退退化化得得线线性性问问题题替替换换是是非非存存：在在？(1)XCY(2)如果存在，如何求如果存在，如何求C?定理定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性任何一个二次型都

2、可以通过非退化线性替换替换 化为标准形。化为标准形。21211 11212112222222:( ,.,)2. 2. 2.nnnnnnnnf x xxa xa xxa xxa xa x xa x 证证 设设(1)若若aii不全为零不全为零,设设a110则上式可写成则上式可写成 21211211111211112222222(,.,)2.2.nnnnnnnnaaf x xxaxxxxaaa xa xa x 21 211 1121 11 121 221 3311 1222 2222.1.2.nnnnnnn nnaaaxxxaaaxaxaxaaxaxax配方配方 令令121112111122.nnn

3、naayxxxaayxyx改改写写上上述述关关系系得得到到： 1 211121 11 122.nnnnaaxyyyaaxyxy它是非退化的它是非退化的,代入后代入后 21222223232223332132131,.,2. 2. 2.nnnnnnnnf x xxa ya y ya y ya ya y ya ya y对对y2,y3,yn的二次型的二次型.当当aii不全为零时不全为零时,继续上述方法继续上述方法.否则用下述否则用下述(2)(2)若若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一个但至少有一个aij0,设设a120,则则 12 1 21213 1 31123 2 3221 ,1( ,.

4、,)2. 22. 2.22.nnnnnnn nnf x xxa xxa xxa x xa x xaxxxxa1121233. . .nnxyxyyxyxy 令令它是非退化线性的替换它是非退化线性的替换,代入后代入后1212 11213 1 311231232121,1( ,.,)2() 2. 22(). 2().2nnnnnnnnnf x xxa y yya yya yyayy yayy yayy 12 1 213231 31212323221,1212 122(). 2()2. 2.22nnnnnnnnna yyaayyaayya y ya y yayyya211220,(1).ya 的的系

5、系数数再再用用化化简简反复使用反复使用(1)与与(2),可以在有限步内将二次型可以在有限步内将二次型化为标准形化为标准形.因为因为 x=Cy, |C|0y=Dz,|D|0则则 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0也是非退化线性替换也是非退化线性替换.以上做法中以上做法中,每一步都是非退化线性替换每一步都是非退化线性替换.因此可以找到一个非退化线性替换化为二因此可以找到一个非退化线性替换化为二次型为标准形次型为标准形.定理定理 对任意对称阵对任意对称阵A,存在可逆阵存在可逆阵C使得使得CTAC为对角阵为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵即任何对称矩阵合同于一个对角阵.上述定理的证明实绩

6、上给出了一种化二次上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：型为标准型的方法：配方法配方法.1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形 . ixix拉格朗日配方法的步骤拉格朗日配方法的步骤.,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 1解解32312123222

7、162252xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 22232344xxx x 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC 将将二二次次型型化

8、化为为标标准准形形例例22211213223322224xx xx xxx xx解解:配方化简配方化简2221121322332224xx xx xxx xx 222221123232322 332 () ()()24xx xxxxxxxxxx 221232232xxxxx x 222123233xxxxxx 112322333yxxxyxxyx 令令11222333xyyxyyxy 即即11001110001C 代入可得标准形为代入可得标准形为222123yyy100010001B 它它的的矩矩阵阵为为111122121A 原原二二次次型型矩矩阵阵非退化线性替换矩阵为非退化线性替换矩阵为11

9、0011| 10001CC 且且100111110110122011011121001TC AC 可可验验证证111110011011001001 100010001B kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再化二次型为含有平方项的二次型，然后再按按 1 中方法配方中方法配方.,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,6

10、22 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例3 3由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以111223311011 0,001X CYyxyxxy 即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得1122233101012,001YC Zyzyzzy即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为12110101110012001001CC C.100111311 .02 C正正交交变变换换法法11

11、2n,(,)nAQQAQdiag 由由实实对对称称矩矩阵阵的的理理论论，对对任任意意 阶阶实实对对称称阵阵存存在在正正交交矩矩阵阵使使得得12T12,.f(,)=X(),AnTnAxxxAX AA 其其中中为为 的的特特征征值值 对对任任意意一一个个实实二二次次型型由由于于 为为实实对对称称，则则存存在在正正交交矩矩阵阵Q Q使使得得112( ,),TnQ AQQ AQdiag 1 12 2n n于于是是线线性性替替换换X X= =Q QY Y( (称称为为) )化化f f为为标标准准正正交交变变换换型型22212.nyyy 1 12 2n n对对于于任任意意 元元实实二二次次型型都都存存在在

12、正正交交变变换换X X= =Q QY Y化化f f为为标标准准型型其其中中为为的的特特值值理理征征定定222212 n,(),A(i=1,2,n).1nTTnif(xxx )X AX AAyyy正正交交变变换换的的特特点点是是保保持持向向量量长长度度不不变变：X=QY设设为为正正交交变变换换，则则2(,)(,)() ()TXX XQY QYQYQY 2.TTTY Q QYY YY用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤; .1A写写出出二二次次型型的的矩矩阵阵;,. 221nA 的的所所有有特特征征值值求求出出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于

13、特特征征值值的的特特 ;, , .4212121nnnPPPCPPP 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,.52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 解解step1step1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A.,844141417 323121232221化化成成标标准准形形通通过过正正交交变变换换将将二二次次型型Pyxxxxxxxxxxf 例例172221442414E A 9182 从而得特征值从而得特征值.18,9321 23180,E A x 将将代代入入得得基基础础解

14、解系系,)0 , 1 , 2(2 T .) 1 , 0 , 2(3 T step2step2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 091 xEA .)1,1,21(1T ,11 取取,22 3233222(,),(,) 得正交向量组得正交向量组.)1 ,54,52(3 T ,) 0 , 1 , 2(2 T ,) 1 , 1 , 21 (1T step3step3将特征向量正交化将特征向量正交化,051522 ,3,2,1, iiii 令令得得,3232311 .4554544523 step4step4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P.4550

15、3245451324525231 P 所所以以于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有 1 12 2n n1 12 2n n1 12 2n n设设实实二二次次型型的的矩矩阵阵的的特特征征值值例例为为证证明明：对对任任意意维维实实向向量量都都有有12 (,),max,min,.,Tnf xxxX AXAcdnX12n12n(,).TTdX Xf xxxcX X AQf证证为为 实实 对对 称称 阵阵 ， 则则 存存 在在 正正 交交 矩矩 阵阵使使 得得经经 过过 正正 交交 变变 换换 X X= =Q QY Y化化 为为1 12 2n n 222112222212(,).nnnTTfxxxyyyc yc yc yc YYc XX 1 12 2n n1 12 2n n1 12 2n n设设实实二二次次型型的的矩矩阵阵的的特特征征值值为为，则则求求 在在应应条条件件用用极极值值1222212(,),max,min,1.Tnnf xxxX AXAcdfxxx12n12n(,).TTdX Xf xxxcX X