概率论和数理统计答案解析第四版第2章[浙大]

《概率论和数理统计答案解析第四版第2章[浙大]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论和数理统计答案解析第四版第2章[浙大]（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 概率论和数理统计答案解析第四版 第2章浙大（总21页） -本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可- -内页可以根据需求调整合适字体及大小- 1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万 元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，2 则公 司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为，因其他愿意死亡的概 率为，求公司赔付金额的分布律。 解：设X为公司的赔付金额，X=0, 5, 20 P (X=0) = (X=5)= P (X=20)= X 0 5 20 P 2. （1） 一袋中装有5只球，编号为1,2, 3, 4, 5.

2、在袋中同时取3只球，以X表示 取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律. 解：方法一：考虑到5个球取3个一共有&二10种取法，数量不多可以枚 举来解此题。设样本空间为S S二 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245. 345 易得，P X=3 二占；P X=4 二； P X=5 二舊； X 3 4 5 Pk 1/10 3/10 6/10 方法二：X的取值为3,4.5 当X=3时，1与2必然存在,P X二3 二善氓； C彳 2 当X二4时，1,2,3中必然存在2个，Px二4二刁咗； 当X=5时,1.2,3. 4中必然存在2个,pX=5 =刁二缶

3、 X 3 4 5 Pk 1/10 3/10 6/10 （2）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律. 解：P X=1 = P （第一次为1点）+P （第二次为1点）- P （两次都为一点） 1 1 1 it 二 6 + 6 36 = 36； P X二2 = P （第一次为2点，第二次大于1点）+P （第二次为2点，第 一次大于1点）- P （两次都为2点） 15 15 1 9 V I * 一 6 6 6 6 36 一 36 P X=3 = P （第一次为3点，第二次大于2点）+P （第二次为3点，第 一次大于2点）- P （两次都为3点） 14 14 1 7 6 6

4、6 636 - 36,3 P X-4 = P （第一次为4点，第二次大于3点）+P （第二次为4点，第 一次大于3点）- P （两次都为4点） 13 13 1 5 二- X- +- X- -二 6 6 6 6 36 36， P X二5二P （第一次为5点，第二次大于4点）+P （第二次为5点，第 一次大于4点）- P （两次都为5点） 12 12 1 3 V 1- * . 一 6 6 6 636 一 36 P X二6二P （第一次为6点，第二次大于5点）+P （第二次为6点，第 一次大于5点）- P （两次都为6点） 3设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作 不放

5、回抽样以X表示取出的次品的只数. （1）求X的分布律. 解：P X二0=黔; PX=4.g； PW2二礬; X 0 1 2 Pk 22/35 12/35 1/35 画出分布律的图形. T 分布律图形 4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为P,失败概率为q=1p （0p1)=1-P(X=O)=1-O.95= 7设事件A在每次试验发生的概率为。A发生不少于3次时，指示灯发出信 号。 (1) 进行了 5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。 (2) 进行了 7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。 解：设进行5次重复独立试验指示灯发出信号为事件B,进行7次重复独立试 验指示8 8 一 1 1

6、 3 33 3- -8 8 6 灯发出信号为事件C。用X表示n次重复独立试验中事件A发生的次 数，则 P(X=k) = cS*03k*0.7nkr k二 1,2, 3 . (1) P(B)= P (X=3) +P(X=4) +P(X=5) = C?*0.33* 0.72+d * 034 * 0.7+0.35% 或： P(B)= 1 -P (X=0) -P (X=1) -P (X=2) =1 - 0.75- Ci 痢 03 * 0.74- C? * 032 0.73 (2) P(C)=1- P (X=0)-P (X=1) -P (X=2) =1-0.77- Cl * 0.3 0.76- C? *

7、 0.32 0.75 8. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为，.今各投三次，求： (1) 两人投中次数相等的概率 (2) 甲比乙投中次数多的概率 解：记投三次后甲投中次数为X,乙投中次数为Y,设甲投中a次，乙投中b 次的概率为 P (X二a, Y二b) (1) 设两人投中次数相等为事件A 因为甲、乙两人每次投篮相互独立且彼此投篮相互独立 则 P (A) = P (X二0, Y二0) +P (X=1, Y=1) +P (X=2, Y二2) +P (X=3, Y=3) =(0.4)3 x (03) 3+Cj * 0.6 x (0.4)2 x & x 0.7 * (0.3)2+C3 * (0.6)2

8、 x 0.4 x C? x (0.7)2 x 0.3 + (0.6)3X (0.7)3 (2) 设甲比乙投中次数多为事件B 则 P (B) =P (X=1, Y二0) +P (X=2, Y=0) +P (X=3, Y二0) +P (X二2, Y=1) +P (X=3, Y=1) +P (X=3, Y=2) =C5 x 0.6 x (04)2 x (O.3)3+C5 X (0.6)2 x 0.4 x (0.3)s+(0.6)3 x (0.3)5+ C5 x (0.6)2 x 0 4 xcl x 0.7 x (0.3)2+(0.6)3 x cl x 0.7 x (0.3)2+(0.6)3 x C?

9、 x (0.7)2 x 0.3 9. 有一大批产品，其验收方案如下，先作第一次检验：从中任取10件，经检 验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从 中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品。若产品的次品率为10%, 求： (1) 这批产品经第一次检验就能接受的概率 (2) 需作第二次检验的概率 (3) 这批产品按第二次检验的标准被接受的概率 (4) 这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过的概率 (5) 这批产品被接受的概率 解：记第一次检验抽取的10件中次品个数X,则XB (10 ,)第二次检验抽 取的5件中次品个数Y,则YB (5 ,) (1) 设

10、事件A为“这批产品第一次检验就能接受”， P (A) =(0.9)1 怯 (2) 设事件B为“需作第二次检验”，即第一次检验次品数为1或2 P (B) = P (X=1) +P (X=2) =cAx (0.9)9X0.1+CIV (0.9)8 x (0.1 )2 7 (3) 设事件C为“这批产品按第二次检验的标准被接受” P (C) =(0.9)5 (4) 设事件D为“这批产品在第一次检验未能作决定且第二次检验时被通过” 由(2) (3)知事件B、C相互独立 P (D) = P (B) x P (C) U X (5) 设事件E为“这批产品被接受的概率”，其中包括事件A和事件D, A与 D互斥

11、P (E) =P (A) +P (D) 10. 有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能 将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。 (1) 某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少 (2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推 断他是猜对的，还是他确有区分的能力(设每次试验是相互独立的) 解：(1)设事件A为“试验成功一次“,题意为在8杯中挑4杯，恰好挑到事 件A 由题意知P (A)詁吩 (2)设事件B为“他连续试验10次，成功3次” 由于每次试验相互独立 则 P (B) =co X X (等) 10000 此概率太小在试验中竟然发生了，按

12、实际推断原理，认为他确实有区分的能 力。8 门尽管在几何教科书中已经讲过用圆规和直尺三等分一个任意角是不可能的, 但每年总有一些“发明家撰写关于仅用圆规和直尺将角三等分的文章。设某 地区每年撰写此类文章篇数X服从参数为6的泊松分布。求明年没有此类文章 的概率。 解： 设明年没有此类文章的概率为P,又X服从泊松分布，得 P (X = k)= k! 令入二6,则p (X = 0)二写=6 = 2.5 x 10心 12. 一电话总机每分钟收到呼叫的次数服从参数为4的泊松分布。求 (1) 某一分钟恰有8次呼唤的概率； (2) 某一分钟的呼唤次数大于3的概率。 JIJ f1 设每分钟收到呼叫的次数为随机

13、变量X,呼叫k次的概率为P,同理有 令k=8,则有 4ke4 48e-4 P (X = 8) = = = 0.0298 k! 8! =1 -P (X = 0) -P (X= 1) P (X = 2) -P (X = 3) 42e4 43e-4 2! ye = 0.5665 13. 某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼叫的次数X服从参数为 (1/2) t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)。 (1) 求某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率； (2) 求某一天中午12点至下午5点至少收到1次紧急呼叫的概率。 解： (1)设某一天中午12点至下午3点未收到紧急呼叫的概率

14、为P,时间间隔 长度t=3, 依题意有 占J!百呎 3 P (X = 0)=亍=才=“丁 = 0.2231(2)依题意，X3即 P (X3 = 1 -P (X1 = 1 -P (X = 0) t tk -2 (2) e =1 =1 - 5 =1 -e = o.9179 14某人家中在时间间隔t (小时)内接到电话的次数X服从参数为2t的泊松 分布。 (1) 若他在外出计划用时10分钟，问其间有电话铃响一次的概率是多少 (2) 若他希望外出时没有电话的概率至少为，问他外出应控制最长时间是多少 解： P (X = l) (2)外岀时没有电话的概率至少为. 即为 P (X = 0) 0.5 即 严艺

15、0.5 求解得 t 0.5 (2)C 10 16有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内 出事故的概率为。在某天的该时间段内有1000辆汽车通过。问出事故的车辆数 不小于2的概率是多少(利用泊松定理计算) 解：设某天该时段汽车站汽车出事故的辆数为X,则)Cb (1000.), 所求为 P XM2 =1-P X二0 -P X=1 . 其中，根据泊松定理,X=np=1000 x0.0001 =0.1. P X二k =dpk(l - P)iQ詈. 所以，p XM2二 1-P X=0 -p X=1 0.0047 17. (1)设 X 服从(0-1)分布,其分布律为 PX=kJ

16、=pk(1-p)1Ak=0, 1,求 X 的分布函数，并作出其图形。 (2)求第2题(1)中的随机变量的分布函数。 解： (1) X服从(0-1)分布，即，当X=0, Pk=l -P；当 X=1, Pk = p. 当 x0.F(x)= 0: 当 0WxV1,F(x)=1-p; 当 x1. F(x) = (1-p) +p=1. 0, x 0 X的分布函数为F(x)= 1-P，OX x 乂 1 6 H (2)第2题(1)中，X的分布律为 X 3 4 5* p 0.1 0.3 0 所以9 当 X3, F(x) = 0; 3X4, F(X) = 0.1; 4 X 5, F(x) =0.1 + 0.3

17、= 0.4; 5X, F(x) = 0.4 + 0.6= 1. 所以，X的分布函数为 0X3, 0.1,3 x4, F(x)= 0.4,4 x5. 18在区间0, a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标。设这个质 点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例。试求X 的分布函数。 解：当 xVO, P(x)二0; 当OWxWa, P(x)二kx,(其中k表示概率与区间长度的比例关系) 由于题中说明，在区间0,1上任意投掷质点，所以，质点落在区间内是 必然事件，所以P(OWxWa)=kah,所以kg 所以X的分布函数为 0,xa 19以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个

18、顾客到达的等待时间(以分 计)，X的分布函数是欣(x) =f eo, x0.求下列概率： (1) P至多3分钟. (2) 卩至少4分钟. (3) P 3分钟至4分钟之间. (4) P至多3分钟或至少4分钟. (5) 卩恰好分钟. 解：(1) P至多 3 分钟=PXW3=Fx (3) =1-e- -4*3 二 1-茁山 (2) P至少 4 分钟 =PX4J =1 -PX4 =1 -Fx (4)二严* (3) P3 分钟至 4 分钟之间=P3WXW4二玖(4) -Fx (3) = (1-e 0-4*4)- (1弋心巧=e-1.2_e-1.6 (4) P至多 3 分钟或至少 4 分钟=PXW3UXM

19、4=PXW3+PXM4= (1- e1-2) + 严 =*|+e-1.6_e-1.2 (5) 卩恰好分钟=PX=0 1 0, x, 1 20设随机变量X的分布函数为Fx (x) = Inx 1 xe. 1. x 兰 e.12 (1) 求 PX2), P0VXW3, P2X). (2) 求概率密度fx (x). 解：(1)根据连续型随机变量的分布函数的定义和性质可得 PX2)=Fx (2) =ln2 P0VXW3=Fx (3) -Fx (0) =1-0=1 P2VXV二Fx () Fx (2)= (2)根据概率密度的定义可得 fx (x) = dF仏) Kxe 0.其他 21 设随机变量X的概率

20、密度为 (1) f (x)二 2 (1言),lx2 0,其他. 13 x, 0 xl, 2-x, 1 x2, 0,其他 求X的分布函数F (x),并画出(2)中f (x)及F (x)的图形. 解：(1) F (x) =P (XWx) =Pj(t)dt 当 x1 时，F (x) =PO00dt=0 当 1 WxW2 时，F (x) J /d；2(1 *) dt =2 (x+i -2) 当 2x 时，F (x)二丿打0击+尺2 (1 -*) dujodt =1 0, xl 故分布函数为F (x) =2(2), lx2 (2) F (x) =P (XWx) J(t)dt 当x VO时，F (x)二匚

21、丿出二0 当 0WxV1 时,F (x) 三 当 1WxV2 时,F (x) =/Odt+/*tdt+/,(2 - t)dt=2x-羊 T 当 2Wx 时，F (x) =/Odt+/dtJ,(2 - t)dt+JOdt =1 14 22. (1)分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦(Maxwell)分布，其概率密度 为： r / _(Ax2e-xA x0, f(X)一往 其他 其中b二m/(2kT), k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度，m是分子的质量， 试确定 常数A。 (2)研究了英格兰在1875年951年期间，在矿山发生导致不少于10人死 亡的事故的频繁程度。得知相继两次事故之间的时间T (日

22、)服从指数分布， 其概率密度为 f心、齐心1, t0, tT (t) 4o? 其他 求分布函数F(t),并且求概率P (50T100). (1) 解：由题意可知FjU)dx= 1, 可得 F0 时，FT =JJT t) dt = J0dt + 几品皿= 1-e】故分布函数为F (x)= 0, x0 f, 0 xl 7 - 1, 1 x2 1, 2 x F (x)和F (x)的图形如下 15 故所求的分布函数为 (1 241 FT (t) =o, 而 P50T100)= FT (100) - FT (50)二/o创 7.100/241 23某种型号器件的寿命X (以小时计)具有概率密度 现有一大

23、批此种器件(设各种器件损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至 少有2只寿命大于1500小时的概率是多少 解：任取一只该种器件，其寿命大于1500h的概率为 任取5只这种器件，其中寿命大于1500小时的只数记为X,贝IJXb2/3). 故所求概率为 PX2=1-PX=0-PX=1) 二1- (1-|) 24.设顾客在某银行的窗口等待服务时间X(min)服从指数分布，其概率密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10mim他就离开，他一个月要到银行5次, 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求 P(Y1) 解：顾客在窗口等待服务超过10min的概率为 P 二 叔 x)dx

24、= /e X，5dx = e $ 故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为从而Yb(5, e-2) 那么，Y 的分布律为 PY=k)=Ce-2)k(l-e-Vk k 二 0, 1,2, 3. 4, 5. PYM1 = -PY 二 0 = -(1 弋2产 25、设K在(0.5)服从均匀分布，求x的方程4x*4Kx+K+2二0有实根的概率。 解： 4x*4Kx+K+2二0 有实根 即(4KF.4x4x (K + 2)N0 解得 K2 由题知K在(0,5)服从均匀分布 即 0K5 设方程4x2+4Kx+K+2二0有实根为事件A P(A)=P(2K 1000, 其他. 2灯5 fx(x)=k x0,

25、 其rioo f(x)- 16 26、设 XN(3, 22) 求P2X5, P-4X2, PX 3 (2) 确定 c 使得PXc = PX d 0.9,问(1至多为多少? 解：Z = N(0,1) (1) P2X5) = P241 = 0(l)-0(-0 = 0(1)- 1 + 0 = 0.5328 P - 4 X 10 = P( - 2 = PX 2= Ppv b + 卩宁 * =0(鸟+0( =0.6977 , /X-3 3-3 PX3=1.P|c = PXd 0.9 即P宁 导卜0 9 即0.9 即导31.29 即d W0.42 17 则d至多为 27、某地区18岁的女青年的血压(收缩压

26、，以mmHg计)服从N (110, 122)分 布，在该地区任选一 18岁的女青年，测量她的血压X,求 (1) PXl05, P100Xx 00.05. 解：z =竽N(0,l) (1) PX1O5 = P = 0(-0.417) = 03383 , X110 P100X120 = P 0.833 0(0.833)- 1 = 0.5952 (2) PXx 0.05 即枠普 即 pf4F 129.8 则x最小为，使得PXx0)的正态分 布，若要求P120X200 0.80,允许最大为多少 解：由正态分布图形得，。越小时X落在口附近的概率越大。 当 P120X 200 = P160-40X 160

27、 + 40 = 0.8 时 /40 e U =09 根据标准正态分布表查得， 40 =1.28 a 031.20 即最大为31.20. 30设在一电路中，电阻两段的电压(V)服从N(120, 22),今独立测量了 5次，试 确定2次测定值落在区间118.122之外的概率。 解：设第 i 次测定值为 Xi, i=1F2r3r4F5,则 Xi-N (120.22) P118WXiW122 = 4)( 122120 ) -0 2 e (1)-4) (-1) 2 0 (1)T PXi年【118,122 =1-P118X122J =(i=1,2,3,4,5) Xi之间相互独立 若以Y表示5次测量其测定值

28、Xi落在118J22之外的个数 Yb (5,) 所求概率 PY=2=C；()八2八3 31.某人上班，自家里去办公室要经过一个交通指示灯，这指示灯有80%时间 亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮。 等待时间在区间0, 30(以秒 计)服从均匀分布。以X表示他的等待时间，求X的分布函数F (x) o画出F (x)的图形，并问X是否为连续性随机变量，是否为离散型的(要说明理由) 解当他到达交通指示灯处时，若是亮绿灯则等待时间为0,若是亮红灯则 等待时间X服从均匀分布。记芍旨示灯亮绿灯为事件A。则对于固定的 xNO,全概率公式有 PXX = PXX|AP(A)十 pxx AP(A) (118-1

29、20) 2 19 当 0WxV30 日寸，PXx = l x0.2 + x0.8=0.2十詈20 当 xM30 日寸，PXx=l xO.2+1 xo.8 = l 于是得到X的分布函数为 0 F(x) = PX x) = 02 += 1 F (x)的图像如图所示 因F(x)在x二0处有不连续点，故随机变量X不是连续型，又因不存在一个可列 的点集，使得在这个点集上X取值的概率为1,所以随机变量也不是离散型 的，X是混合型随机变量。 32设f (x) , g(x)都是概率密度函数，求证 h (x) = a f (x) + (1 a ) g (x) 、 也是一个概率函数。 解因为f (x) , g(x

30、)都是概率密度函数，故有 f (x) MO, g(x)MO 且厂:f (x) dx= 1, j：g(x)dx=l. 因0 故1-a0,所以有 a f (x) MO , (1 a ) g (x) MO,于是 h (x) MO. 又厂Qh(x)dx = aJ2f (x) dx+ (1 -a)广g (x) dx = a+ (1 -a) = 1 8 - CO 00 所以h (x)是一个概率分布函数。 33设随机变量X的分布 吉为 -1 0 1 3 X -2 Pk 1 1 1 1 11 5 6 5 15 30 求Y=X2的分布律。 解Y=X2的所有取值为0, 1, 4, 9. PY = 0 = PX =

31、 0 = | PY= 1 = P(X = 1) + PX =- 1 =+；=丄x0 0 x 0 21 PY = 4 = PX = 2=- pY = 9 = PX = 3 = 所以Y的分配率为 Y 0 1 4 9 Pk 1 7 1 11 5 30 5 30 34设随机变量X在区间(0.1)服从均匀分布。 (1) 求y = ex的概率密度。 (2) 求y = -21nX的概率密度。 解：由x服从均匀分布可知/v(A-)=r 話 y = g(x) = “，在(o,i)恒有g(x)= wo 故g(x)在(0,1)严格单调递增 由 V = e 可得 x = /z(y) = ln y 1 y e 其他 2

32、 y = g(x) = -21nx,在(0,1)上恒有y(x) = 一一 0, x 故g(x)在(0,1)严格单调递减 由 y = _2In 兀可得 x = h(y) = R(y) = 门 )= 2e () 0 y 0 y 由X服从均匀分布可知 其他 0 x 1 22 (2) 求v = 2X2的概率密度. (3) 求Y = X的概率密度. 解：由 XN(O, 1)可知 f c -cox 故g(x)在(-O0,+O0)严格单调递增 py(y) = P(Yy) = P(2X2 + (灯l时， 讣孕卄片*朽1)=片7 (-号) 综上 1 空 Q P 4 V 1 九(y)= 2応二门匕 0 y (3)

33、 Py(y) = P(Yy) = P(X 0时，P(|X| y) = P (yX 0 y y0 y ,o 0 y 0 g(X)在(-S, + S)严格单调递增 A(y) = |p/(yb,)o FY(y) = P(Yy) = P(X2o,p(x2y)=p(-V7X77)=FX(77)-FY(-77) 综上九(宀打八 ! 0 y0 37、设随机变量X的概率密度为f (x)= r蔷 0 xo(y = O) 24 38、设电流I是一个随机变量，它均匀分布在9A11A之间。若此电流通过2Q 的电阻，在其上消耗的功率W二2|2。求W的概率密度。 解：电流i的概率密度为f(.)= r , 9i0时，g (

34、i)严格单调増加 且反函数h (w)p协 W g (9) =162 g (11 )=242 由书中定理(),可知w二22的概率密度为 f (w)= 0 即 162w242 其他 162w1 时，f (y) =0 当0WyW1时，Y的分布函数为 F(y)二P YWy二P OWYWy二P OWsinXWy =P (OWXWarcs i ny) U ( n-arcs i nyWXW n ) =P OWXWarcs i ny +P 口一arcs i ny WXW n farcsiny2x 5 Jo 詁+J眉dx =(arcsiny) 2 +1(n-arcsiny) 9 =評 csiny 当 0WyW1 时，f (y)二护(y) =7= 所求概率密度为： 0WyW1 其他 25 39、设物体的温度T ( F)是随机变量，且有厂N (.2), 已知Y冷(T-32)，试求Y ( C)的概率密度。 1 (t-9S6): 解：T的概率密度为f (t)莎盂eT- , -ootoo 将Y的分布函数记为F (y),则 F (y) =P YWy二P | (T-32) Wy 9 =P TW刿+ 32 羽严fdt 关于y求导得关于Y的概率密度 f (Y) =f (+ 32)X： 9 1 l / 歸Xe汨32. 9如 9 81(y- P): f(丫)庐 r-