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1、线性代数模拟试卷五一、选择题（每小题3 分，共 30 分）（1）若 A 为 4 阶矩阵，则 3A =（）(A)4 A(B)34 A(C) 43A(D)3 A（ 2）设 A ，B 为 n 阶方阵， A0且 AB0 ，则（）(A)B 0(B) BA0(C) ( A B)2A2B2(D) A0或 B0（ 3） A，B，C 均为 n 阶方阵，则下列命题正确的是（）(A)ABBA(B) A0, B0则AB0(C)ABA B(D)若 ABAC,则BC（4） (A B)2A22 AB B2 成立的充要条件是（）(A) ABBA(B)A E(C) BE(D)A B（ 5）线性方程组( k 1)x 2 ya 有
2、唯一解，则 k 为（）2x (k1)yb(A) 任意实数(B)不等于5(C) 等于5(D) 不等于 0（6）若 A 为可逆阵，则 (A ) 1 =（）(A)A A(B)AA(C) A11A(D)A A（ 7）含有 4 个未知数的齐次方程组 AX0 ，如果 R( A)1，则它的每个基础解系中解向量的个数为（）(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3第1页（共 3页）（ 8）设 A 为 mn 矩阵，齐次方程组 AX0 仅有零解的充要条件是A 的（）(A)列向量线性无关(B)列向量线性相关(C) 行向量线性无关(D)行向量线性相关（ 9）已知矩阵31,下列向量是 A 的特征向量的是（）A=11(A)
3、1(B)11(D)102(C)12（ 10）二次型 f (x1, x2 , x3 )x124x224 x322x1x22x1x3 4x2 x3 为正定二次型，则的取值范围是（）(A)21(B) 12(C)32(D)2二、计算题（第1、2 小题每题 5 分，第 3、4 小题每题 10 分，共 30 分）xaaa1、计算行列式axaa。（5 分）D4axaaaaax3212、设 A= 315，求 A 的逆 A-1 。（5 分）323第2页（共 3页）01011、求矩阵方程AXBX，其中A111 , B20。（10 分）3101534、求向量组TTT1=-1143，2=2-135，3=1078 ，4
4、=5 -3T2 7 的秩，并求出它的一个最大无关组。 （ 10 分）第3页（共 3页）三、证明题（第1小题 9分，第 2小题 6分，共 15分）1、已知向量组1, 2, 3线性无关，11, 212, 3123，试证向量组 1,2 , 3 线性无关。（9 分）2、设 A 、B 分别为 m，n 阶可逆矩阵，证明：H0A 可逆，且H10B 1。（6 分）B0A 10第4页（共 3页）四、综合题（第1 小题 15 分，第 2 小题 10 分，共 25 分）x1x2x311、取何值时，非齐次线性方程组x1x2x3，（ 1）有唯一解；（2）x1x2x32无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解
5、。（15 分）第5页（共 3页）2、已知 A 为 n 阶方阵，且满足 A22 A3E 0（ 1）证明： A 2E 可逆，并求 A2E1 。（5 分）（2）若 A1，求 4A6E 的值。（5 分）第6页（共 3页）线性代数模拟试卷四参考答案与评分标准一、选择题（ 30分）每题 3分，共 10题，共 30 分(1) B（ 2）D（3） C（ 4）A（5） B(6) C(7)D(8) A(9) D（ 10）A二、计算题（ 30分）第 1、 2 小题每题5 分，第 3、4 小题每题 10 分，共 30 分。1、x aa axaaax 3aaaaa x a a a x x a000x a00D4=0x
6、a0=0x a0a a xa a x0a a ax a x00x a000x a= ( x a)3 ( x 3a)或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得5 分。2、对 ( A, E) 作初等行变换，当A变为 E时， E则变为 A1 ,321100100723632(A,E)315010010 112 (E,A 1)4分32300100110122723则 A 1632112. 5 分10122也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分。3、由 AXBX ，得 ( AE) XB ，求 X ，我们同样可以用上面题目的方法，对AE, B进行初等变换，当AE变为E时，B则变为X(AE)
7、 1B，第1页（共 3页）1101111011AE,B1012001111.5102530033310031 01020 =E,( AE) 1B.80011131X( AE) 1B= 20. 1011121511034A12343742358710150112R(A) 21,2,3,4000000002.61，2.101519261511 ,2 ,31122330.21 (1 )2 (12 )3 (123 )0.4( 123)1(23 )2330.6第2页（共 3页）12301,2,323083012301, 2,3.9.0A0B1E02HH1n.4B0mEmA 100EnHH 10B 1.6
8、A 10251152102511111A11011(1)2 (2).6110022A01 当1且2时.822时21111010B12 1201 1011240001R( A)2, R( B)31031时11111111B1111 0000R( A)R( B)1.1211110000第3页（共 3页） x11x2x3 (x2 , x3可任意取值 )x1111x2c1 1c2 00,( c1 , c2 R). 15x301021A22 A3E0A(A2E)3E. .1AnA A2E 3E3n0.3A2E0A 2EA(A 2E) E31 AA2E. .532A22A3E 0A22 A3E. .12 A24A6E2A24A6EA 1.34 A6E2 A22n22n.5A第4页（共 3页）
线性代数模拟试卷五及答案
