备战高考黄金100题解读与扩展系列之解三角形：专题5 正余弦定理在实际中的应用 Word版含解析

《备战高考黄金100题解读与扩展系列之解三角形：专题5 正余弦定理在实际中的应用 Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战高考黄金100题解读与扩展系列之解三角形：专题5 正余弦定理在实际中的应用 Word版含解析（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、I题源探究·黄金母题【例1】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上。行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高CD.【解析】在ABC中，根据正弦定理得，=7.524（km）,=1047（m）.答：山的高约为1047米.精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第14页例5【母题评析】本题考查正弦定理在测量的高问题中的应用，是一道典型的正余弦定理应用题【思路方法】先根据图形和已知条件得到A，B，DBC的度数和AB的长度，再利用正弦定理求出BC的长度，利用解直角三角形B

2、CD即可求出山高CD【变式】一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在高空测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是27°和39°，计算这个海岛的宽度.（人教版A版必修5第19页习题A组第4题) II考场精彩·真题回放【例2】【2015年高考湖北理科数学第13题】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. 【解析】依题意，在中，由，所以，因为，由正弦定理可得，即m，在中，因为，所以，所以m.【例3】【2014全国课标1,16】如图，为测量山高，选择和另一座山

3、的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高_.【例4】【2014高考四川卷文第8题】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（ ）A B C D【答案】 C.【解析】，所以.选C【例5】【2009全国课标17】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 【例6】【2014高考上海理科第21题】如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分

4、别为.（1） 设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？【答案】（1）米；（2）米【解析】（1）由题得，且，即，解得，米【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理解决实际问题的能力、空间想象能力及计算能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，考查正余弦定理的理解与应用，考查空间想象能力、运算求解能力和应用意识【难点中心】解答此类问题的关键是读懂题意，根据题意画出图形，将实际问题转化为数学问题III理论基础·解题原理考点一 仰角和俯角在同一铅垂

5、平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图(a)考点二 方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图(b)考点三 方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度IV题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般难度中档，考查对正余弦定理的理解和应用正余弦定理解决实际问题的能力，考查考生计算能力和应用意识【技能方法】1. 解三角形应用题的一般步骤(1) 阅读理解题意，弄清问题

6、的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.2.解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【易错指导】1.对应用正于弦定理解决测

7、量高度问题，要准确理解仰、俯角的概念，准确把握仰角、俯角与三角形内角的关系 2.对水平面的测距问题，要准确理解方位角与方向角的概念，准确把握方位角与方向角与三角形内角间的关系V举一反三·触类旁通考向1 距离测量问题 【例7】 【2016届江西吉安一中高三三模】如图，为了测量、两点间的距离，选取同一平面上、两点，测出四边形各边的长度（单位：km），且与互补，则的长为 km.【答案】【方法总结】对与距离测量问题，根据题意画出图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程,要注意

8、方位角、方向角与图形内角的关系.【跟踪练习】【2015-2016学年安徽省合肥中国科大附中高一下期中】隔河可以看到对岸两目标、,但不能到达，现在岸边取相距的、两点，测得，（、在同一平面内），求两目标、间的距离.考向2 高度测量问题【例8】【2016届海南师大附中高三第九次月考】已知在海岛上有一座海拔千米的山，山顶设有一个观察站，上午 时，测得一轮船在岛北偏东，俯角为的处，到时分又测得该船在岛北偏西，俯角为的处小船沿BC行驶一段时间后，船到达海岛的正西方向的 处，此时船距岛有 千米.【解析】由已知可求得,所以,在中，,由正弦定理可求得.【方法总结】对与高度测量问题，根据题意画出空间图形，标出图中

9、已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程,要注意仰角、俯角与图形内角的关系【跟踪练习】【2016届湖北武汉华中师大一附高三5月月考】为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距100米，在地听到弹射声音的时间比地晚秒，在地测得该仪器至最高点处的仰角为.（1）求两地的距离；（2）求这种仪器的垂直弹射高度（已知声音的传播速度为340米/秒）.（）在中，米

10、，由正弦定理，可得，即所以（米），故这种仪器的垂直弹射高度为米考向3 航行问题【例9】【2015-2016学年四川省双流中学高一下期中】如图，某观测站在港口的南偏西方向的处，测得一船在距观测站海里的处，正沿着从港口出发的一条南偏东的航线上向港口开去，当船走了海里到达处，此时观测站又测得等于海里，问此时船离港口处还有多远？【方法总结】对与航行问题，根据题意画出图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程,要注意方位角、方向角与图形内角的关系.【跟踪练习】【2016届湖南师大附中高三下

11、学期高考模拟三】如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救在处南偏西30°且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（ ）A B C D【答案】A考向4 最优化问题【例10】【2015-2016学年河北省正定中学高一下第一次月考】甲船在岛的正南处，甲船以的速度向正北航行，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】根题意可作出如下所示的示意图，设两船航行小时后，甲船位于点，乙船位于点，如下图.则,此时两船间的距离最近，根据余

12、弦定理得，所以当时，取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是，故选A.【方法总结】对正余弦定理应用中的最值问题，根据题意画出图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后根据分析将所求的量表示为某个量如角或时间的函数关系式，再利用函数求最值的方法求出最值.【跟踪练习】【2015-2016学年江苏省泰州、靖江中学高一下期中】某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向 匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由（2）设小艇与轮船在处相遇.则，故，即，解得又时，故时，取得最小值，且最小值等于此时，在中，有，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.