代数综合题习题含详细答案

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1、代数综合题2010年5月1.已知关于x的方程。（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果a是关于的方程的根，其中，、为方程的两个实数根，且，求代数式的值。答案：2已知关于x的一元二次方程（）.（1）若方程有一个正实根c，且.求b的取值范围；（2）当时，方程与关于x的方程有一个相同的非零实根，求 的值.解：（1） c为方程的一个正实根（）， .1分, ，即.2分 ， .解得 3分又（由，） 解得 4分（2）当时，此时方程为 .设方程与方程的相同实根为m， 得 .整理，得 . m0，.解得 .5分把代入方程得 .，即. 当时，.7分 解法二：解关于b、c的方程组 可以解得：，

2、可以求出3当k是什么整数时, 方程(k21)x26(3k1)x+72=0有两个不相等的正整数根？答案： k=24. 关于x的一元二次方程与的根都是整数，求m的整数值, 并求出两方程的整数根. 答案： 当m=1时，x=0, 1,1,5; 当m=1时，x=0,3,1,35.若关于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x1=0的两实数根为x1 、x2 ，且x1x2=, x1x2=,两实数根的倒数和是S.求：（1）m的取值范围；（2）S的取值范围.解：（1）b24ac=12m90 m 1分 又 m20 m且m0 2分 （2）S=2m3 m= 即 S 3分 又 m0 即 0S3 S且S3 4分6已知关于

3、x的方程 ，其中a、b为实数. （1）若此方程有一个根为2 a（a 0），判断a与b的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b的取值范围. 答案：（1） 方程 有一个根为2a ， .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1分 整理，得 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2分 ， ，即.- - - - - - - - - - - - -

4、 - - - - - - - - - - - - - - - - 3分（2） .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4分 对于任何实数此方程都有实数根， 对于任何实数都有0 ，即0. - - - - - 5分 对于任何实数都有b. ，当 时，有最小值.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6分 b的取值范围是b. - - - - - - - - - - -7分7.关于x的方程有两实根x1和x2，关于y的方程有两实根y1和y2，且，当时，求m取值范围. 答案：

5、且m 0 8. 已知x1，x2 是关于x的方程（x2）（xm）=（p2）（pm）的两个实数根（1）求x1，x2 的值；（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值 答案：（1） 原方程变为：x2（m + 2）x + 2m = p2（m + 2）p + 2m， x2p2（m + 2）x +（m + 2）p = 0，（xp）（x + p）（m + 2）（xp）= 0，即 （xp）（x + pm2）= 0， x1 = p， x2 = m + 2p（2） 直角三角形的面积为=， 当且m2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的

6、面积最大，最大面积为或9.已知抛物线（1）求证抛物线与轴有两个不同的交点；（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；解：（1）证明：令，则.因为 =，1分所以此抛物线与x轴有两个不同的交点. 2分 （2）因为关于x的方程的根为， 由m为整数，当为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点. 设（其中n为整数），3分 则 因为与的奇偶性相同， 所以或 解得 . 经过检验，当时，方程有整数根. 所以. 5分10.已知点A（1，1）在抛物线上,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,（1）求的值和点B的坐标；（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线?如果存在,求出符合条件的直线的解析式;如果

7、不存在,简要说明理由.解： (1)根据题意,将x1, y1, 代入抛物线的解析式, 得解得 由于, 所以. 1分. 抛物线的解析式是,对称轴为直线.点B和点A(1,1) 关于直线对称, . 2分.(2)存在. 3分.理由如下：设经过点B的直线的解析式是,将B点坐标代入得. 又要使直线与抛物线只有一个公共点,只要使方程 有两个相等的实数根,方程整理得,得= 将 代，解出，,它的解析式是. 4分.又有过点B,平行于轴的直线与抛物线仅有一个公共点,即. 5分.答：直线的解析式是或.11、已知抛物线.（1）当a=-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；（2）若代数式的值为正整数，求x的值；（3）当a=a

8、1时，抛物线与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a2时，抛物线与x轴的正半轴相交于点N（n，0）.若点M在点N的左边，试比较与的大小.答案：（1）当a=-1时，顶点坐标为（），对称轴为直线（2）设代数式的值为正整数1或2或解得：或或。（3）当a=a1时，抛物线与x轴的正半轴相交于点M（m，0）当a=a2时，抛物线与x轴的正半轴相交于点N（n，0），点M在点N的左边，且M、N均在轴正半轴12.设关于x的一次函数与，则称函数（其中）为此两个函数的生成函数（1）当x=1时，求函数与的生成函数的值；（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由答案：（1）2

9、；（2）在。13.已知两个关于的二次函数与 ， ，当时，；且二次函数的图象的对称轴是直线（1）求的值；（2）求函数的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由解：（1）由得 又因为当时，即， 解得，或（舍去），故的值为 （2）由，得， 所以函数的图象的对称轴为， 于是，有，解得， 所以 （3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为； 故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点14.已知：某函数的自变量时，其相应的函数值。（1）请写出一个满足条件的一次函数的解析式；（2）当函数的解析式为时，求的取

10、值范围；（3）过动点C（0，）作直线轴，点O为坐标原点。当直线与（2）中抛物线只有一个公共点时，求的取值范围；当直线与（2）中抛物线相交于A、B两点时，是否存在实数，使得AOB的面积为定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。答案：（1）答案不唯一，例如：；（2）；（3）；存在实数，。15.已知抛物线，（）若，求该抛物线与轴公共点的坐标；（）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由解（）当，时，抛物线为，方程的两个根为， 该抛物线与轴公共点的坐标是和 2分（）当时，

11、抛物线为，且与轴有公共点对于方程，判别式0，有 3分当时，由方程，解得此时抛物线为与轴只有一个公共点 4分当时， 时，时，由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有 即解得综上，或 6分（）对于二次函数，由已知时，；时，又，于是而，即 7分关于的一元二次方程的判别式， x抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方8分又该抛物线的对称轴，由，得，又由已知时，；时，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点 10分16、（1）用配方法把二次函数变成的形成（2）在直角坐标系中画出的图象（3）若是函数图象上的两点，且，请比较的大小关系（直接写结果）（4）把方程的根在函数的图象上表示

12、出来17.如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.（第22题）642246yxO18如图，曲线C是函数在第一象限内的图象，抛物线是函数的图象点（）在曲线C上，且都是整数（1）求出所有的点；（2）在中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率解：（1）都是正整数，且，4分（2）从，中任取两点作直线为：，不同的直线共有6条9分（3）只有直线，与抛物线有公共点，从（2

13、）的所有直线中任取一条直线与抛物线有公共点的概率是12分19已知二次函数y1=ax2bxc（a0）的图象经过三点（1，0），（3，0），（0，）（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象； （2）若反比例函数y2=（x0）的图象与二次函数y1=ax2bxc（a0）的图象在第一象限内交于点A(x0，y0)，x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数y2=（x0，k0）的图象与二次函数y1=ax2bxc（a0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2x03，试求实数k的取值范围解：（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(

14、x+3)1分（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）将（0，）代入，解得a=.抛物线解析式为y=x2+x- 3分（无论解析式是什么形式只要正确都得分）画图（略）。（没有列表不扣分）5分（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图象7分由图象可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。9分（3）由函数图象或函数性质可知：当2x3时，对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k0），y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2y1，即22+2-，解得K5。11

15、分同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1y2，即32+3，解得K18。13所以K的取值范围为5 K1814分20已知：关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为，（其中）若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，解：（1）证明：是关于的一元二次方程，当时，即方程有两个不相等的实数根2分（2）解：由求根公式，得或3分，4分12344321xyO-1-2-3-4-4-3-2-1即为所求5分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象待添加的隐藏文字内容16分

16、由图象可得，当时，7分21已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.（1）求的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围. 解：（1）由题意得，为正整数，（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根综上所述，和不合题意，舍去；符合题意AOxy864224B当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为

17、（3）设二次函数的图象与轴交于两点，则，依题意翻折后的图象如图所示当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得由图象可知，符合题意的的取值范围为22.已知：关于x的一元二次方程(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个实数根分别为a、b（其中ab)，若y是关于m的函数，且,请求出这个函数的解析式；（3）请在直角坐标系内画出（2）中所得函数的图象；将此图象在m轴上方的部分沿m轴翻折，在y轴左侧的部分沿y轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，动点Q在双曲线被新图象截得的部分（含两端点）上运动，求点Q的横坐标的取值范围.23解：（1）依题意，得1分此方程有两个不相等的实数根 2

18、分 （2）解方程得x=m或x=m-13分ab，mm-1 a=m，b=m-1y=3b-2a=m-34分（3）y=m-3在坐标系内图象如图所示， 设该图象与m轴交于点A，与y轴交于点B则点A坐标为(3,0)，点B坐标为(0,-3)5分翻折后图象如图所示， 设翻折后图象与交于C、D两点可得射线AD的解析式为y =m+3射线AD与双曲线交点D的坐标为（4，-1）同理可得射线BC与双曲线交点C的坐标为（1，-4），直线y=m-3与双曲线无交点点Q的横坐标的取值范围是6分23.已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k3)x+k3 = 0有两个不相等实数根（k0）（I）用含k的式子表示方程的两实数根；（II

19、）设方程的两实数根分别是，（其中），若一次函数y=(3k1)x+b与反比例函数y =的图象都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式解：（I） kx2+（2k3)x+k3 = 0是关于x的一元二次方程 由求根公式，得 或 （II）， 而，由题意，有 解之，得 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为24.已知: 关于x的一元二次方程. （1）求证: 方程有两个实数根;（2）若m-n-1=0, 求证方程有一个实数根为1;（3） 在（2）的条件下,设方程的另一个根为a. 当x=2时,关于m的函数y1=nx+am 与y2=x2+a(n-2m)x+m2-mn的图象交于点A、B（点A在点B

20、的左侧），平行于y轴的直线l与y1、y2的图象分别交于点C、D. 当l沿AB由点A平移到点B时，求CD的最大值.（1）证明：= (n-2m)2-4(m2-mn)=n2. 1分 n20, 0. 方程有两个实数根. 2分（2）解: 由 m-n-1=0, 得m-n=1. 3分当x=1时, 等号左边=1+ n -2m+m2-mn=1+n-2m+m(m-n)= 1+n-2m+m=1+n-m=0.等号右边=0.左边=右边. x=1是方程的一个实数根. 4分（3）解: 由求根公式，得. x =m或x=m-n. m-n=1, a=m.当x=2时, y1=2n+m2=2(m-1) +m2= m2 +2m-2, y2=22+ 2m(n-m-m) +m (mn)=4 +2m(-1-m)+m =-2m2 -m+4. 5分如图，当l沿AB由点A平移到点B时， CD= y2- y1=-3m2 -3m+6=-3(m+)2 +.6分由 y1=y2, 得 m2 +2m-2=-2m2 -m+4.解得m= -2或m=1. mA= -2, mB=1. -21, 当m=时, CD取得最大值. 7分