香蕉球空气动力学原理苍松书屋

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1、 编号2010212347 毕业论文（ 2015 届本科）题 目： “香蕉球”的空气动力学原理 学 院： 物理与机电工程学院 专 业： 物理学 作者姓名： 李根旺 指导教师： 王飞 职称： 助教 完成日期： 2015 年 5 月 30 日 二 一五 年 五 月辅导工具a目 录“香蕉球”的空气动力学原理1摘要1Abstract .11绪论21.1 课题研究的意义21.2 目前“香蕉球”原理研究状况21.3研究的主要内容及目的22 马格努斯效应22.1 马格努斯效应22.2 马格努斯效应产生的必要条件分析32.2.1必要条件一32.2.2必要条件二32.2.3必要条件三32.2.4必要条件四32.

2、3 马格努斯效应在球类运动中的应用33 “香蕉球”的运动分析34 CFD和Fluent介绍54.1 CFD介绍54.2 Fluent介绍64.2.1FLUENT 的组成74.2.2FLUENT 软件优点85 “香蕉球”流场数值模拟85.1足球的模型与网格划分85.1.1足球几何模型85.1.2网格的生成95.2边界条件处理96计算模拟结果及其分析107 结论12参考文献14致 谢15 辅导工具a 河西学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他

3、个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本科毕业论文（设计）作者签名： 二一五年五月三十辅导工具a“香蕉球”的空气动力学原理李根旺（物理与机电工程学院 河西学院 734000）摘要：足球在飞行过程中，由于自身旋转引起周围空气流速变化，产生横向的马格努斯力，使足球飞行轨迹发生偏移，这就是香蕉球产生的原理。本文采用计算流体力学的方法分析足球运动中的马格努斯效应。通过三维几何建模，划分四面体网格，利用fluent流体仿真软件分析得出：球在空气中旋转运动的过程中，由于球体两侧气流流速不同，使球体两侧

4、产生气压差，球体由于两侧受力不同，导致球体飞行方向发生变化，这就是“香蕉球”产生的原理，本论文将会对这个过程进行详细的分析。 关键词：马格努斯效应；旋转；计算流体力学；流场数值模拟Abstract :Football in the process of flight, caused by its rotation around the air velocity variation, transverse magnus force, deviation in the football trajectories, this is the principle of banana ball.Objec

5、tive: how to play "banana ball" and "banana ball" formation of the aerodynamics.Method: using computational fluid dynamics analysis in the football magnus effect.By analysis: the ball in the air in the process of the rotary motion, because sphere on both sides of the airflow velo

6、city is different, make the ball from air pressure difference on both sides, sphere because on both sides of the bearing is different, lead to changes in the ball flight direction, this is the principle of "banana ball", this paper will analysis of the process in detail.Key words: Magnus e

7、ffect;Rotation;Computational fluid dynamics;The flow field numerical simulation 1绪论1.1 课题研究的意义 自从贝利1966年在伦敦世界杯比赛中踢出第一个“优美的弧线”后，“香蕉球”便成为越来越多大牌明星们的基本功底和拿手好戏。被球迷誉为“万人迷”和“英格兰圆月弯刀”的贝克汉姆一次次用最优雅的“贝氏弧线”博得世界的喝彩，“金左脚”卡洛斯的“炮打双灯”为足球史留下了一段佳话，而绿茵拿破仑普拉迪斯尼踢出的“香蕉球”横向飘移量竞达5m之多，使他成了至今无人挑战的“任意球之王”。以上种种都使得人们对香蕉球产生了巨大的兴趣

8、，然而对于踢出香蕉球的原理，痴狂的球迷以及众多喜爱足球的人有多少知道呢？ “香蕉球”只是空气动力学这座冰山微末一角，通过对香蕉球空气动力学的研究，一个更加精彩的世界将呈现在我们眼前，等待我们去研究、去探索、去发现。1.2 目前“香蕉球”原理研究状况 从第一个香蕉球出现到现在，以经过去了几十年的时间，在这几十年中，科技飞速发展，尤其是电子计算机的发展，让我们对于“香蕉球”原理的研究更加透彻。所以，可以说香蕉球原理的研究已经到了非常深入的地步，有关的问题基本都得到了解答，我在这里只是对这个问题从不同的角度，将它展现出来，让人一目了然，从空气动力学的角度去了解香蕉球、去感受那道曲线的美。1.3研究的

9、主要内容及目的 首先了解什么是马格努斯效应，这是研究香蕉球空气动力学原理的前提，其次，分析香蕉球运动以及公式推导，从表象对香蕉球做出解释，这是研究香蕉球原理最基础的部分，之后便要从更深层的方面研究香蕉球原理。我们可以通过CFD和Fluent对香蕉球进行深入研究，对香蕉球进行流场模拟、数值分析、画网格等，做出流速、流线、压力、压强等云图，从不同方面进行分析。最终的目的，就是将香蕉球空气动力学原理清晰、简洁的展现出来，让人一目了然。2 马格努斯效应2.1 马格努斯效应要弄清这个问题，就得先了解马格努斯效应，马格努斯效应认为：当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时，在与旋转角速度矢

10、量和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力，在这个横向力的作用下物体飞行轨迹发生偏转。旋转物体之所以能在横向产生力的作用，是由于物体旋转可以带动周围流体旋转，使得物体一侧的流体速度增加，另一侧流体速度减小。根据根据伯努利原理，在流体中，如果流速小对旁侧的压力就大，如果流速大，对旁侧的压力就小。旋转物体在流体运动的过程中，物体一边速度大，一边速度小，相对来说，流体在物体两侧也就一边流速大，一边流速小。流速不同导致两边压力不同，这就是马格努斯效应中横向力产生的原因。同时由于横向力与物体运动方向相垂直，因此这个力主要改变飞行速度方向，即形成物体运动中的向心力，因而导致物体飞行方向改变。

11、2.2 马格努斯效应产生的必要条件分析2.2.1必要条件一 在经典力学中，力是改变物体运动状态的原因，物体的飞行轨迹发生偏转，必然是受到外力的结果，而马格努斯效应中使球体发生飞行轨迹偏转的力就是来自于球体表面的流体的压强差，如果没有流体存在，不可能有马格努斯效应产生。所以产生马格努斯效应的必要条件之一就是：球体必须处于流体中。2.2.2必要条件二 仅仅处于流体中，如果流体不能附着于球体的表面，形成环流，也不可能产生压强差。因此，产生马格努斯效应的第二个必要条件是：流体必须有粘滞性。2.2.3必要条件三 要能产生环流，物体必须旋转且外形均称才能产生均匀稳定的环流，进而产生压强差。所以，产生马格努

12、斯效应的第三个必要条件是：处于流体中的均称物体必须处于旋转状态。2.2.4必要条件四 要产生压强差，流体和环流必须相互作用，也就是旋转的球体必须处在均匀来流中，且旋转轴与来流方向垂直。 2.3 马格努斯效应在球类运动中的应用 以足球为例，球员在踢直接任意球时，那种靠诡异弧线绕过人墙，骗过守门员射门得分的弧线球常被称作“香蕉球”。如果你注意到了足球在空气中不停旋转的话，你就会发现这个答案。不妨用贝克汉姆右脚内侧踢出的香蕉球为例，球向前飞行，在飞行中从足球上方观察这个足球，球是按逆时针方向自转的，飞行过程中，球体表面形成的环流与迎面的空气相互作用，使足球左侧的气流速度大于求右侧的气流速度，球就受到

13、了向左的大气压力，在空中的轨迹便形成了向左的弧线。同理，足球若是以顺时针旋转向前飞行，球的弧线将向右侧偏转。以上是马格努斯效应在足球中的应用，在其它球类运动（篮球、排球、棒球、排球.）中也是一样，这个现象的深入研究，将使得球类运动更为精彩。 3 “香蕉球”的运动分析 由分析得球在飞行过程中受重力，空气阻力，马格努斯力三个力的影响，假设球在空间运动如图所示： G 图3.1 马格努斯力、空气阻力 G重力、 V速度、W角速度 马格努斯力方向垂直于速度方向斜向上，空气阻力方向与速度方向相反，重力竖直向下。 设空气阻力的系数为k，由F=m.u得 在先前的研究,运动轨迹球从试验数据确定。实测轨迹被用来获得

14、升力系数和阻力系数。相比之下,在这项研究中,轨迹预测是基于CFD模拟的阻力和升力,因此,反映出足球的模拟空气动力学。图3.1展示了一个足球受到的阻力,马格努斯力和引力的情况。如果足球绕水平轴旋转，旋转方向垂直于球的速度矢量，根据牛顿第二定律,控制球的运动方程可以写成足球的质量、g矢量重力加速度、球的加速度矢量、阻力和升力向量,分别被定义为 和，x和y组件可能会写成： 和之间的夹角表示球的速度矢量和水平线(x轴),如图3.1所示。上述方程组由两个二阶非线性常微分方程组成，其方程数值为球的x和y坐标,因此,升力系数和阻力系数被假定常数。 4 CFD和Fluent介绍4.1 CFD介绍 计算流体力学

15、（Computational Fluid Dynamics，简称 CFD）是20世纪60年起，伴随着计算机技术迅速崛起的学科。经过半个世纪的迅猛发展，这门学科已经相当成熟，成熟的一个重要标志是近十几年来，各种 CFD 通用性软件包陆续出现，成为商业化软件，为工业界广泛接受，性能日趋完善，应用范围不断扩大。至今，CFD 技术的应用早已超越传统的流体力学和流体工程的范畴，如航天、航空、船舶、动力、水利等，而扩展到化工、核能、冶金、建筑、环境 等许多相关领域中去了。 目前在我国设有代理或办事处的著名CFD通用软件有PFOENICS、 FLUENT、STAR-CD、CFX-TASC flow 与 NU

16、MECA 等，PFOENICS 软件是最早推出的CFD通用软件，FLUENT、STAR-CD 与 CFX-TASC flow 是目前国际市场上的主流软件，而 NUMECA 则代表了 CFD 通用软件中的后起之秀。 FLUENT、STAR-CD 与 CFX-TASC flow 堪称目前 CFD 主流商业软件， FLUENT(包括其多种专用版本)的市场占有率达 40%左右，显然是应用面最广、 影响最大的 CFD 软件；STAR-CD 在日本销量占首位，在汽车工业中广泛用于内 燃机计算；而 CFX-TASC flow 则在叶轮机、核能工程等领域广泛使用。这几种 软件有不少共同的特点，例如它们都采用了

17、压力校正法作为低速不可压流动计算方法，而可压缩流动则采用耦合法。它们在前、后处理上都下了极大功夫， FLUENT 还根据用户的不同需求推出多种专用版本，如用于电子设备冷却的ICEPAK、用于空调分析的AIRPAK、用于化工搅拌的 MIXSIM 等，为用户带来 很大便利，这是它们取得商业化成功的重要因素。STAR-CD 是按非结构网格设 计的软件，FLUENT 与CFX在其版本FLUENT5与CFX5中采用了非结构网格。非结构网格由于其表面方向的多变性，使一些在结构型网格中成功应用的高精度离散格式，如基于矢通量分裂或通量差分分裂的二阶上风格式及其限制器，不能直接推广应用于非结构网格；QUICK

18、格式用于非结构网格时精度也降低 FLUENT 采用的二阶上风格式是 Barth 与Jespersen 针对非结构网格提出的多维梯度重构法(multi-dimensional gradient reconstruction)这个方法也是第一个较成功地用于非结构网格的二阶上风格式，它后来进一步发展，采用最小二乘法估算梯度，能较好地处理畸变网格的计算。FLUENT 等率先采用非结构网格使它们在技术上处于领先，然而总的说来，非结构网格技术还不十分成熟，对于复杂的流态，结构型网格能获得较高的计算精度FLUENT与STAR-CD都提供了结构型、非结构型以及两者混合的多种网格类型供用户选择。此外，在非定常流

19、计算中十分重要的滑移网格(moving mesh)技术方面，FLUENT 与STAR-CD 也有领先优势。在湍流模型、多相流模型等方面，这几个软件都相当丰富。 各种CFD通用软件的数学模型的组成都是以纳维-斯托克斯方程组与各种湍流模型为主体，再加上多相流模型、燃烧与化学反应流模型、自由面流模型以及非牛顿流体模型等。大多数附加的模型是在主体方程组上补充一些附加源项、附加输运方程与关系式。随着应用范围的不断扩大和新方法的出现，新的模型也在增加。离散方法采用有限体积法(FVM)或有限元素法(FEM)。由于有限体积法继承了有限差分法的丰富格式，具有良好的守恒性，能像有限元素法那样采用各种形状的网格以适

20、应复杂的边界几何形状，却比有限元素法简便得多， 因此，现在大多数 CFD 软件都采用有限体积法。然而，有限元素法也有其优点，它对高阶导数的离散精度高于有限体积法，低速黏性流动与非牛顿流体运动采用有限元素法可以提高精度。有限元素法也更适合流体力学与固体力学相耦合的问题，如气动弹性振动噪声等，因此在 CFD 方法中将有其自己的领域。 PHOENICS、FLUENT、STAR-CD、CFX-TASC flow 和 NUMECA 等都采用有限体积法。而ANSYS中包含着流体力学计算模块，适于流固偶和计算。 目前，PHOENICS、FLUENT、CFX 和STAR-CD等都采纳了对流项二阶迎风插值格式-

21、QUICK 格式(Quadratic Upwind Interpolation for Convection Kinetics scheme)。它的数值耗散明显低于一阶上风与杂交型格式，因此有较高精度，其构造也较简单，从而被通用软件广泛采用，然而 QUICK 格式作为一种高精度的线性格式，同样会导致振荡，即存在格式的有界性问题，尤其流场变化强烈的地方。为了改进QUICK格式，人们仿照构造可压缩流动二阶TVD格式的做法，对它引入各种非线性的限制器(Limiter)来抑制振荡发生，如PHOENICS推荐的SMART以及HQUICK等格式就是这样构成的。PHOENICS 的说明文本中详细列出了包括

22、QUICK 系列在内的各种离散格式的表达式，并利用一个简单算例对它们的耗散性和有界性作了检验。4.2 Fluent介绍 FLUENT软件，是由 FLUENT Inc.公司于1983年推出。该软件使用有限体积法来求解 N-S 方程组；可进行结构化正交网格、非正交和曲线坐标系网格等多种网格的划分；使用 Power-law 格式、二阶迎风格式和四阶QUICK格式来进行3个空间步长的离散，使用一阶Euler隐格式实现时间步长的离散；压力与速度的耦合由SIMPLE等算法来实现求解；提供了 Standard，RNG，Realizable-湍流模型和雷诺应力模型(RSM)等对多种模型来模拟湍流流动。使用FL

23、UENT同样可以进行多相流动、热传输、化学反应以及可压、不可压、定常、非定常等大量工程问题的模拟计算，而且其良好的图形化界面及图形输出能力可以方便问题的定义、求解以及结果的处理。 4.2.1FLUENT 的组成 FLUENT 软件包包含以下几个模块： GAMBIT 模型建立和网格划分的前处理模块 PrePDF PDF燃烧建模的前处理模块 Tgrid 网格生成主要是对表面网格是三角形网格时的边界层的生成 Filters 导入其他建模软件（例如 Pro/E，UG，NASTRAN，Ansys）的数据转换模块 Fluent 求解器模块 GAMBIT 是一个方便灵活的建摸和网格生成软件。它支持二维三角形

24、、四边形网格，三维四棱锥，六面体网格，而且网格密度调整十分方便。对于结构规则的几何形体，它提供了以六面体为单元的边界层生成方法。Tgrid 作为它的 一个补充软件，对表面网格是三角形的情形，给出了更贴体的以三棱台为单元的边界层生成方法。该方法特别适合与汽车等复杂几何形体构成的流场的数值模拟。 FLUENT是一个求解器程序。它采用有限体积法，根据质量守恒、动量守恒、能量守恒双方程湍流模型来确定流体介质的流动特征，如压力差、速度分布、流动方向及轨迹、升力和阻力等。Fluent可以将生成的图形以BMP，JPEG等多种形式进行输出。CFD计算中，网格的生成非常重要，而FLUENT具有极强的网格适应性，

25、对结构化网格、非结构化网格、半结构化网格均能进行计算。这对于工程实际非常重要。 FLUENT 程序可以求解的问题： （1）可压缩与不可压缩流动问题； （2）稳态和瞬态流动问题； （3）无黏流，层流及湍流问题； （4）牛顿流体及菲牛顿流体； （5）对流换热问题（包括自然对流和混合对流）； （6）导热与对流换热耦合问题； （7）辐射换热； （8）惯性坐标系和非惯性坐标系下的流动问题模拟； （9）用 Lagrangian 轨道模型模拟稀疏相（颗粒，水滴，气泡等）； （10）一维风扇、热交换器性能计算； （11）两相流问题； （12）复杂表面形状下的自由面流动问题。 4.2.2FLUENT 软件优点

26、功能强，适用面广泛，包括各种优化物理模型，如：计算流体流动和热传导模型(包括自然对流、定常和非定常流动、层流、湍流、紊流、不可压缩和可压缩流动、周期流、旋转流及时间相关流等)；辐射模型、相变模型、离散 相变模型、多相流模型及化学组分输运和反应流模型等。对每一种物理问题的流动特点、有适合它的数值解法、用户可对显式或隐式差分格式进行选择、以期在计算速度、稳定性和精度等方面达到最佳。 高效、省时。Fluent 将不同领域的计算软件组合起来，成为计算机CFD软件群、软件之间可以方便地进行数值交换、并采用统一的前、后处理工具，这就省却了科研工作者在计算方法、编程、前后处理等方面投入的重复、低效的劳动，而

27、可以将主要精力和智慧用于物理问题本身的探索上。 建立了污染物生成模型。包括 NOX 和 ROX(烟尘)生成模型。其中NOX模型能够模拟热力型、快速型、燃料型及由于燃烧系统里回燃导致的NOX的消耗。而ROX的生成是通过使用两个经验模型进行近似模拟，且只使用于紊流FLUENT同传统的CFD计算方法相比，具有以下的优点：稳定性好，FLUENT经过大量算例考核，同实验符合较好；适用范围广，FLUENT含有多种传热燃烧模型及多相流模型，可应用于从可压到不可压、从低速到高超音速、从单相流到多相流、化学反应、燃烧、气固混合等几乎所有与流体相关的领域；精度提高，可达二阶精度。 5 “香蕉球”流场数值模拟5.1

28、足球的模型与网格划分5.1.1足球几何模型 对于足球的几何模型，这里采用国际核准合格标准，圆周在68.5-69.5厘米之间，足球重量介于420-445克之间，由此推算出其直径在22.293-21.6561厘米之间，近似用球体代替真实的足球形状。 图5.1足球几何模型5.1.2网格的生成 网格生成是计算流体力学(CFD)作为空气动力学工程应用的有效工具所面临的关键技术之一。因为我们所要处理的是近乎球体的足球，参数变化梯度小，所以我们采用均匀的密度划分网格。本次计算采用FLUENT前处理软件GAMBIT对计算区域进行网格划分。具体划分方案为：第一步，在球体表面生成三角形面单元；第二步，在整个计算区

29、域生成四面体网格。最后的效果为，球体周围生成均匀的网格，如下图所示： 图5.2足球网格5.2边界条件处理 边界条件不能随意给定，它要求在数学上满足适定性，物理上具有明显的意义。边界可分为物理边界和人工边界两种。 物理边界由问题的性质决定，并且边界上的物理性质很明显。沿着足球表面、因为足球本身物理特性，可以近似的认为此处的气流运动不受足球表面形状的干扰。 人工边界是针对无限或半无限区域，或我们感兴趣的范围远小于实际区域时而引入的，边界的选取带有任意性和经验性。对足球无限远边界的处理可采用有限截断法，尽管计算足球外流场的实际区域延伸至无限远，但没有必要对长度远大于足球直径的整个外部流场进行计算。实

30、际计算时可把足球无限远边界人为的选在大概20倍足球直径的地方，这是足球运动过程中，使得周围空气产生明显变化的大体范围。6计算模拟结果及其分析 使用FLUENT对香蕉球的数值模拟过程进行处理，得到如下所示足球运动的速度云图、压力云图、流线图、速度矢量图。 图6.1速度云图 从图6.1可以看出，足球向前飞行的同时做旋转运动，其周围的空气受到球体运动的影响发生变化。图中云状图颜色深浅清晰的表明了足球周围空气的流动速度。根据坐标轴，红色表示X轴方向的气流速度，绿色表示Y轴方向的气流速度，蓝色表示Z轴方向气流速度。知道气流速度，根据伯努利原理可以判断出足球周围气压状况。 在X轴方向：看图可知，足球下侧颜

31、色比足球上侧颜色深，与边上数据比较，则可以看出下侧流速比上侧大，根据伯努利原理，流速越大压力越小，由此可知，足球受到一个足球上侧指向足球下侧的力。 同理，在Y和X轴上，由于气流速度不同，足球同样受到一个气压力。我们将X轴Y轴Z轴上的三个力合成，就得出了我们前文所说的马格努斯力，也就是让足球做香蕉球运动的横向力。 以上是分析速度云图所得出的结论，我们通过伯努利原理得出了足球所受压力的情况，下面我们通过图6.2的压力云图，对前面的分析结果进行验证。 图6.2压力云图 看图6.2进行分析，压力云图中颜色的深浅表示足球周围气压的大小。红色表示X轴方向气压大小，绿色表示Y轴方向气压大小，蓝色表示Z轴方向

32、气压大小。 在X轴方向：越接近球体表面，气压越大，根据伯努利原理，气压越大则流速越小。将所得结论在图6.1中进行比对，就可以看出，与图6.1完全相符，则结论正确。同理，在Y轴和Z轴方向，用同样的方法进行比较，得出相应结论。 以上是我们通过压力云图对速度云图进行的验证，接着我们再次通过图6.3对以上结果继续进行分析验证。 图6.3速度矢量图 看图6.3进行分析，速度矢量图中箭头颜色深浅表示气流流动速度大小，小箭头密集稀疏表示气流在这片区域的流速大小。仔细比对图6.1与图6.3可以看出，图6.3就是对图6.1的另一种表示。图6.1中，速度云颜色越深的地方，表示气流速度越大，速度云颜色越浅的地方，表

33、示气流速度越小，与速度矢量图6.3正好相互对应。再将图6.3与6.2用同样的方法进行比对分析，我们可以判断出足球以逆时针方向旋转，沿X轴方向运动。那么我们前面提出的足球所受到的马格努斯力，也就是让足球做香蕉球运动的横向力，在以上三图中也得到了验证。这个马格努斯力从图中分析可知，是足球周围空气对球体压力的合力。从以上分析可知，足球逆时针旋转运动，产生一个横向的马格努斯力，使得足球做香蕉球运动。 图6.4为香蕉球运动的流线图，流线图表示气流在某一瞬间的运行状况，流线上处处都与相应点的风向相切。从图6.4我们可以看出，足球周围涡流迁移明显，所以，通过对流线图的观察，让我们对以上的分析结论有了更为直观

34、的看法。以上这些就是我对球场上那道优美曲线的理解，就彷如一颗拽着七彩流光的彗星划过夜空，在我们欣赏它的美的同时，也会忍不住去研究它、探索它，渴望找到它所蕴含的科学原理。 图6.4 流线图 7 结论在本文中，通过对“香蕉球”空气动力学原理的运动分析，以及应用FLUENT软件进行了足球流场的三维模拟，得到了一些初步的结论，整个过程主要做了以下工作（1）为了本项研究，学习大量了空气动力学的基础知识，让我的知识库得到充实。（2）熟悉FLUENT软件的操作过程。（3）建立简单的“香蕉球”空气动力学模型。（4）对足球进行流场数值模拟，得到速度云图、压力云图、速度矢量图、流线图。 参考文献1 郑秀媛.运动生

35、物力学进展M.国防工业出版社.1998.2 王伟.浅谈“香蕉球”的力学原理J.体育科技文献通报.2008.3 王福军.计算流体动力学分析M.北京清华大学出版社,2004.4 严敬.赵琴.工程流体力学M.重庆大学出版社.2006.5 韩占忠.FLUENT流体工程仿真计算实例与应用M.北京理工大学出版社.2004.6 李勇.介绍计算流体力学通用软件FLUENTJ.水动力学研究与进展.2001.7 徐华舫.空气动力学基础M.北京航空学院出版社.1987.8 傅德真.流体力学数值模拟M.国防工业出版社.1993.9Pouya Jalilian,Patrick K.Kreun,MohammadHady

36、M.Makhmalbaf,William W.Liou.Computational aerodynamics of baseball, soccer ball and volleyballJ.American Journal of Sports Science .2014.10 S.Barber,S.B.Chin,M.J.Carre.sports ball aerodynamics:A numerical study of the erratic motion of soccer ballsC.computers & fluids.2009.11 江健康.马格努斯效应的深入研究及在球类运动中的应用D.徐州工程学院体育学院.2010. 致 谢 本文的工作是在导师王飞老师的悉心指导和亲切关怀下完成的。他的严谨治学态度，求实的工作作风，待人处事的原则和研究领域的真知灼见，使我感受颇丰，受益匪浅。在此，我谨向导师的精心培养和关怀致以最诚挚的谢意，同时感谢身边朋友同学的帮助和支持，感谢所有关心和帮助过我的人！辅导工具a