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1、过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论贺 斌 （谷城县第三中学，湖北 441700） 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： 文1回答了过哪些点可以作三次函数图像的三条切线受文1启发，一个自然的问题是：过哪些点可以作三次函数图像的一条切线、两条切线？本文在文1的基础上给出过一点所作三次函数图像切线条数的完备结论引理、三次函数（）的图像上的点是的唯一对称中心定理 设三次函数图像C在其对称中心N处的切线为，M是三次函数图像C所在平面上的一点，则（1）过点M能且仅能作C的一条切线，当且仅当点M位于C和所夹的上、下两个区域内（边界除外），或点M与点N重合；（2）过点M能且仅能作C的两条切线，当且仅当
2、点M位于图像C或切线上（点N除外）；（3）过点M能且仅能作C的三条切线，当且仅当点M位于C和所夹的左、右两个区域内（边界除外）为方便读者形象直观的理解，我们根据三次函数首项系数的正（如图）负（如图）画出相应的示意图如下：证 设三次函数为 （），点M的坐标为，点为三次函数图像C上的一点则点A处收稿日期:2007-10-作者简介:贺斌(1961)，男，湖北随州人，湖北省谷城县第三中学高级教师的切线方程为 于是，切线过点M，等价于存在实数，使 (1)注意到（1）是关于的三次方程（易知的系数不为0），故过点M最多可作图像的三条切线记 ，则 若，则，为R上的单调函数，方程有且仅有一个实数根即过直线上的任
3、一点能且仅能作图像的一条切线若，则在点附近的函数值异号，在点附近的函数值也异号，故和都是的极值点于是结合函数的单调性知：（1）方程有且仅有一个实数根，当且仅当函数的极大值（如图，仅画出了首项系数大于的情况，后同）或极小值（如图）即 ， 或亦即 即 （2）由引理知，三次函数的图像有唯一对称中心而C在点N处的切线的方程为故直线与C及的交点纵坐标分别为 及 由于，故上述两纵坐标不相等注意到不等式组（2）的第二式为关于的一元二次不等式，并且项的系数为正，故满足上述不等式组的点位于C和所夹的上、下两个区域内（边界除外）（2）方程有且仅有两个相异实数根，当且仅当，或（如图5，）即，或亦即当且仅当点M位于的图像上，或点M位于过三次函数对称中心处的切线上（点N除外）时，可作的两条切线（3）方程有三个相异的实数根，当且仅当即 通过与（1）类似的分析（或参见文1）知：满足上述不等式组的点位于C和所夹的左、右两个区域内（边界除外）综上，定理获证参考文献：1 贺斌，黄福过哪些点可以作三次函数图像的三条切线数学通讯，2007(21)2 管宏斌三次函数对称中心初探数学通讯，2004(15)3 刘国杰三次函数图像对称性的探索数学通讯，2006(20) （发表于数学通讯2008年第3期）4
过一点所作三次函数图象切线条数的完备结论数学通讯第3期
