圆锥曲线的几何性质

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1、圆锥曲线的几何性质xyoF11F2AB一、椭圆的几何性质（以+=1（ab0）为例）1、ABF2的周长为4a(定值)证明：由椭圆的定义xyoF1F22P即2、焦点PF1F2中：（1）SPF1F2=（2）（SPF1F2）max= bc（3）当P在短轴上时，F1PF2最大证明：（1）在中 （2）（SPF1F2）max =（3 当=0时 有最小值 即F1PF2最大xyoF1F2PM3、 过点F1作PF1F2的P的外角平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹是x2+y2=a2证明：延长交于，连接由已知有 为中点 =所以M的轨迹方程为 。xyoF1F2P 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=

2、a2内切证明：取的中点，连接。令圆的直径，半径为 = 圆与圆内切 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切。xyoF1F2PIIIR5、任一焦点PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，则 IR：IP=e证明：证明：连接由三角形内角角平分线性质有 yxoF1F2AB6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令到准线的距离为以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。 ，以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离xyoF1F2PPA7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：（PA+PF2）max =2a+AF1（PA+PF2）min =2a-AF1证明：连接 （PA+PF2）max

3、 =2a+AF1（PA+PF2）min =2a-AF1xyoFA8、A 为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则（PA+）min = A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有（PA+）min = = A到右准线的距离.xyoF1F2PNIIA2IM9、焦点PF1F2的旁心在直线 x=a 上。证明：令I与PF1F2三边所在的直线相切于M、N、A ， ， ， ， ， 即为椭圆顶点。 焦点PF1F2的旁心在直线x=a上。10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分EF2QxyoF1F2EKQP证明：令P,Q到准线的距离为

4、由三角形外角平分线性质定理有KF2平分EF2QxyoFBA11、证明：令当的斜率存在时，设直线方程为 = 当的斜率存在时，。12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，xyoFBAP则（定值）证明：令 ，则 ， ， ， 。13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别xyoNMB2PB1交长轴于N、M两点，则有OM*ON=a2证明： 由于、共线 由于、N共线， ， xyoFNA2PA1M ， 。14、椭圆的长轴端点为A1、A 2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，则M、N与对应准线的焦点张角为900证明：令， 由于、共线 ， 由于共线

5、， ， ， ， M、N与对应准线的焦点张角为900yxoM1F2AB15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点。证明：设，则的方程为即 必过点16、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明：设，则过点的切线：，直线的法线交轴于yxoF1F2Plm直线的法向量为：同理 ， 同理， ， ，即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。二、双曲线的几何性质（均以 为例）（1）焦点三角形面积： (2) 过作F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是(3) 以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切，小的圆与外切。（1）F1F2PF1F2PMxy（2）F1F2P

6、yx(3) (4)以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交 (5)焦点PF1F2的内切圆心横生标为a即与实轴的切点一定是实轴端点F1F2Byx(6)CAMNF1F2Pyx(5)I（6）焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值MCN2arccosF1F2Ayx(4)B(7) A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+2a (8) 如图：A为双曲线内一定点，P是双曲线上的动点，等于A到右准线的距离F1F2Pyx(9)（9）焦点到渐近线的距离等于bF1F2Pyx(8)ABF1F2Pyx(7)A (10)双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值（11）P是弦AB中点KK定值（12）P为双线上任

7、一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值abF1F2Pyx(12)MONF1F2Pyx(11)ABOF1F2Pyx(10)AB (13) 过P的切线平分F1PF2（光学性质）即经过一焦点的光线被双曲线反射，反射光线的下长线过另一焦点（14）双曲线与渐近线把平面分成5部分F1F2yx(14)yF1F2PMx（13）12双曲线上的点 渐近线上的点区域的点 区域的点区域的点F1F2yx(15)ABDC过渐近线上的点（除中心）只能作一条切线，过中心无切线，没有与两支都相切的切线过区域的点作切线分别在两支上，过区域的点作切线切点在同一支上，过区域的点没切线，双曲线的切线斜率，区域

8、、的点可作弦的中点，中心是任意过中心的弦的中点，渐近线上（除中心），双曲线上，区域的点不可能是弦中点。（15）直线L与双曲线的渐近线交于A、B两点，与双曲线交于C、D两点，则AC=BDX=-P/2FyxAP三、抛物线的几何性质均以抛物线为例(1) 如图：A为抛物线内一定点，P是抛物线上的动点，等于A到准线的距离。 (2) 过抛物线焦点F作弦AB，其中A（x1,y1）,B（x2,y2）则有：X=-P/2FyxAB 以AB为直径的圆与准线相切yxAB（3）过抛物线顶点作任意互相垂直的弦OA、OB，则弦AB必过定点（2p,0）；反之亦成立，即过定点（2p,0）作直线交抛物线于A、B两点，则有OA垂直OBFyxPQR（4）过抛物线焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R，则（5）过抛物线H上任一点P（X0,Y0）的切线方程为11