圆锥曲线的几何性质
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1、圆锥曲线的几何性质xyoF11F2AB一、椭圆的几何性质(以+=1(ab0)为例)1、ABF2的周长为4a(定值)证明:由椭圆的定义xyoF1F22P即2、焦点PF1F2中:(1)SPF1F2=(2)(SPF1F2)max= bc(3)当P在短轴上时,F1PF2最大证明:(1)在中 (2)(SPF1F2)max =(3 当=0时 有最小值 即F1PF2最大xyoF1F2PM3、 过点F1作PF1F2的P的外角平分线的垂线,垂足为M ,则M 的轨迹是x2+y2=a2证明:延长交于,连接由已知有 为中点 =所以M的轨迹方程为 。xyoF1F2P 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x2+y2=
2、a2内切证明:取的中点,连接。令圆的直径,半径为 = 圆与圆内切 以椭圆的任意焦半径为直径的圆,都与圆x2+y2=a2内切。xyoF1F2PIIIR5、任一焦点PF1F2的内切圆圆心为I,连结PI延长交长轴于R,则 IR:IP=e证明:证明:连接由三角形内角角平分线性质有 yxoF1F2AB6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明:令到准线的距离为以为直径的圆的圆心为到准线的距离为。 ,以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离xyoF1F2PPA7、A为椭圆内一定点,P在椭圆上,则:(PA+PF2)max =2a+AF1(PA+PF2)min =2a-AF1证明:连接 (PA+PF2)max
3、 =2a+AF1(PA+PF2)min =2a-AF1xyoFA8、A 为椭圆内一定点,P是椭圆上的动点,则(PA+)min = A到右准线的距离证明:设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有(PA+)min = = A到右准线的距离.xyoF1F2PNIIA2IM9、焦点PF1F2的旁心在直线 x=a 上。证明:令I与PF1F2三边所在的直线相切于M、N、A , , , , , 即为椭圆顶点。 焦点PF1F2的旁心在直线x=a上。10、P是椭圆上任意一点,PF2的延长线交右准线于E,K是准线上另一任意点,连结PK交椭圆于Q,则KF2平分EF2QxyoF1F2EKQP证明:令P,Q到准线的距离为
4、由三角形外角平分线性质定理有KF2平分EF2QxyoFBA11、证明:令当的斜率存在时,设直线方程为 = 当的斜率存在时,。12、AB是椭圆的任意一弦,P是AB中点,xyoFBAP则(定值)证明:令 ,则 , , , 。13、椭圆的短轴端点为B1、B2,P是椭圆上任一点,连结B1P、B2P分别xyoNMB2PB1交长轴于N、M两点,则有OM*ON=a2证明: 由于、共线 由于、N共线, , xyoFNA2PA1M , 。14、椭圆的长轴端点为A1、A 2,P是椭圆上任一点,连结A1P、A2P并延长,交一准线于N、M两点,则M、N与对应准线的焦点张角为900证明:令, 由于、共线 , 由于共线
5、, , , , M、N与对应准线的焦点张角为900yxoM1F2AB15、过椭圆准线上任一点作椭圆和切线,切点弦AB过该准线对应的焦点。证明:设,则的方程为即 必过点16、椭圆的光学性质:过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。证明:设,则过点的切线:,直线的法线交轴于yxoF1F2Plm直线的法向量为:同理 , 同理, , ,即过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。二、双曲线的几何性质(均以 为例)(1)焦点三角形面积: (2) 过作F1PF2的内角平行线的重线垂足M的轨迹是(3) 以焦半径为直径作圆长的焦半径为直径作圆与内切,小的圆与外切。(1)F1F2PF1F2PMxy(2)F1F2P
6、yx(3) (4)以焦点为直径作圆与该焦点对应准线相交 (5)焦点PF1F2的内切圆心横生标为a即与实轴的切点一定是实轴端点F1F2Byx(6)CAMNF1F2Pyx(5)I(6)焦点弦为直径的圆被相应准线截得圆弧所对的圆心角为定值MCN2arccosF1F2Ayx(4)B(7) A为双曲线内一定点P为双曲线上动点=+2a (8) 如图:A为双曲线内一定点,P是双曲线上的动点,等于A到右准线的距离F1F2Pyx(9)(9)焦点到渐近线的距离等于bF1F2Pyx(8)ABF1F2Pyx(7)A (10)双曲线上的任上点到两渐近线的距离之积等于定值(11)P是弦AB中点KK定值(12)P为双线上任
7、一点过P点作两渐近线的平行线与渐近线围成的平行四边形面积等于定值abF1F2Pyx(12)MONF1F2Pyx(11)ABOF1F2Pyx(10)AB (13) 过P的切线平分F1PF2(光学性质)即经过一焦点的光线被双曲线反射,反射光线的下长线过另一焦点(14)双曲线与渐近线把平面分成5部分F1F2yx(14)yF1F2PMx(13)12双曲线上的点 渐近线上的点区域的点 区域的点区域的点F1F2yx(15)ABDC过渐近线上的点(除中心)只能作一条切线,过中心无切线,没有与两支都相切的切线过区域的点作切线分别在两支上,过区域的点作切线切点在同一支上,过区域的点没切线,双曲线的切线斜率,区域
8、、的点可作弦的中点,中心是任意过中心的弦的中点,渐近线上(除中心),双曲线上,区域的点不可能是弦中点。(15)直线L与双曲线的渐近线交于A、B两点,与双曲线交于C、D两点,则AC=BDX=-P/2FyxAP三、抛物线的几何性质均以抛物线为例(1) 如图:A为抛物线内一定点,P是抛物线上的动点,等于A到准线的距离。 (2) 过抛物线焦点F作弦AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2)则有:X=-P/2FyxAB 以AB为直径的圆与准线相切yxAB(3)过抛物线顶点作任意互相垂直的弦OA、OB,则弦AB必过定点(2p,0);反之亦成立,即过定点(2p,0)作直线交抛物线于A、B两点,则有OA垂直OBFyxPQR(4)过抛物线焦点F作直线交抛物线于P、Q两点,弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R,则(5)过抛物线H上任一点P(X0,Y0)的切线方程为11
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