一阶系统的时间响应

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1、3.2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应线性定常系统时间响应的性质线性定常系统时间响应的性质3.2.1 一阶系统的数学模型（一阶系统的数学模型（1）定义定义n能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。n系统传递函数中分母多项式中系统传递函数中分母多项式中s的最高幂数为的最高幂数为1的系统称为一阶系统。的系统称为一阶系统。n一阶系统的典型形式是惯性环节。一阶系统的典型形式是惯性环节。数学模

2、型数学模型n一阶系统的数学模型为一阶系统的数学模型为传递函数传递函数n传递函数的一般形式为传递函数的一般形式为 ，式中，式中K为放大系数，为放大系数，T为时间常数。为时间常数。 trtbcdttdca 1TsKSRsCsG3.2.1 一阶系统的数学模型（一阶系统的数学模型（2）系统框图系统框图n当当K=1时，典型一阶系统的系统框图及化简形式如图所示。时，典型一阶系统的系统框图及化简形式如图所示。3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换，求给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换，求

3、出微分方程的解出微分方程的解c(t)，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（单，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（单位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号c(t)。 因为输入信号是单位阶跃信号，所以因为输入信号是单位阶跃信号，所以 又因为又因为 所以，输出信号的拉氏变换为所以，输出信号的拉氏变换为 查拉氏变换对照表得查拉氏变换对照表得 此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中T称为系统的时间常数，具有时间量纲，是称为系统的时间常数，具有时间量纲，是一阶系统的重要特征参数

4、，表征了系统过渡过程的品质，一阶系统的重要特征参数，表征了系统过渡过程的品质，T越小，系统响应越快。越小，系统响应越快。 ssR1 11TsSRsCsG TsssTsSRsGsC111111 Ttetc1一阶系统的单位阶跃响应曲线一阶系统的单位阶跃响应曲线结论结论n一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。n时间常数时间常数T可以定义为系统的响应时可以定义为系统的响应时间达到稳态值的间达到稳态值的63.2所需的时间。所需的时间。反之，可以用实验的方法测出响应反之，可以用实验的方法测出响应曲线达到稳态值的曲线达到稳态值的63.2高度时所需高度时所需时间，即为惯性环节的时间常

5、数时间，即为惯性环节的时间常数T。n经过时间经过时间3T4T，响应曲线已达到稳，响应曲线已达到稳态值的态值的95 98 ，可认为其调整，可认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间过程已经完成，故一般取调整时间ts=(34)T。n在在t=0时，响应曲线的切线斜率为时，响应曲线的切线斜率为1/T。n时间常数决定于系统参数，与输入时间常数决定于系统参数，与输入信号无关。信号无关。3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应 因为输入信号是单位斜坡函数，所以因为输入信号是单位斜坡函数，所以 又因为又因为 所以，输出信号的拉氏变换为所以，输出信号的拉氏变换为 查拉氏变换对照表得一阶系统的单位

6、斜坡响应为查拉氏变换对照表得一阶系统的单位斜坡响应为 21ssR 11TsSRsCsG TsTsTssTsSRsGsC1221111 0tTeTttcTt，一阶系统的单位斜坡响应曲线一阶系统的单位斜坡响应曲线 如图所示，该响应系统存在误差信号如图所示，该响应系统存在误差信号e(t)，误差信号，误差信号 当当t时，时， ，此时，此时e(t)=T。 所以可得以下结论：所以可得以下结论：n当当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信号输入的稳态误差为时间常数号输入的稳态误差为时间常数T；时间；时间常数常数T越小，该环节的稳态误差越小。越小，该环节的稳态误差越小。 TtTte

7、TTeTtttctrte10Tte3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 因为输入信号是单位脉冲信号，所以因为输入信号是单位脉冲信号，所以 又又 所以所以 对其进行拉氏反变换得一阶系统的单位脉冲响应为对其进行拉氏反变换得一阶系统的单位脉冲响应为 其时间响应曲线如右图所示。其时间响应曲线如右图所示。 1sR 11TsSRsCsG TTsTsSRsGsC1111 01tetcTtT，3.2.5 线性定常系统时间响应的性质线性定常系统时间响应的性质（1） 单位阶跃函数的定义为单位阶跃函数的定义为 单位脉冲函数的定义为单位脉冲函数的定义为 单位斜坡函数的定义为单位斜坡函数的定义为 现

8、在对单位斜坡函数求导，得现在对单位斜坡函数求导，得 即单位阶跃函数是单位斜坡函数的导数。即单位阶跃函数是单位斜坡函数的导数。 对单位阶跃函数求导，得对单位阶跃函数求导，得 即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。 0100tttI 1000dttttt 000ttttt tIdtttd1 tdttId 0 现在分析三个典型输入信号的时间现在分析三个典型输入信号的时间响应。响应。一阶单位斜坡信号的时间响应为一阶单位斜坡信号的时间响应为一阶单位阶跃信号的时间响应为一阶单位阶跃信号的时间响应为 一阶单位脉冲信号的时间响应为一阶单位脉冲信号的时间响应为 显然，显然， 即

9、单位阶跃响应是单位斜坡响即单位阶跃响应是单位斜坡响应的导数，单位脉冲响应是单应的导数，单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数。位阶跃响应的导数。 0tTeTttcTtt， TtetcI1 01tetcTtT， tcedttcdItTt1 tceTdttcdTtI13.2.5 线性定常系统时间响应的性质线性定常系统时间响应的性质（2）由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）：由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）：n系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出；系统对输系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出；系统对输入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分，其积分常数由零初始条入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分，其积分常数由零初始条件确定。件确定。线性时变系统和非线性系统不具备该特征。线性时变系统和非线性系统不具备该特征。3.2.5 线性定常系统时间响应的性质线性定常系统时间响应的性质（2）