华师大版九年级数学上册全册教案用

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1、第22章 一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+xc(0).2在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题,把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一

2、元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入，初步认识问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间,开辟面积为90平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多0米，那么绿地的长和宽各为多少？【分析】 设长方形绿地的宽为x米,不难列出方程x(0）=00,整理可得x21x-900=.(1）问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解:设这两年的年平均增长率为，我们知道,去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是(1+x）万册，同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍，即（+x）(+x）=5（1+）2万册.可列得方

3、程5(1)2=72，整理可得5x2+10-2.2=0（2）【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题.二、思考探究,获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程（1）和(2）.显然，这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?共同特点:(1)都是整式方程(2）只含有一个未知数（3)未知数的最高次数是2【归纳总结】 上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：a2+x+=0(a、b、c是已知数，a0).其中a2叫做二次项，a叫做二次项系数,bx叫做一次项系数，c叫做常数项

4、例1判断下列方程是否为一元二次方程：解：是;不是；是;不是;不是；是.【教学说明】()一元二次方程为整式方程;（2）类似这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程（8-）（5-x)=8化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13+1=0;,13，11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正,化分为整.三、运用新知，深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.(1）5x2-1=4(2)x2=8(3)4（+2)=25（4)（3x-2)(x+1）x-3解：（1)5x-=0;，-4，-1

5、；(2)x81=0；4,0，-1（3）4x+8-25;4，,-5（4)x2-7x+1=0;3，-7,1根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.（1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;（）一个长方形的长比宽多,面积是1,求长方形的长x；（3）把长为的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.解:（1)42=2；x2-25=0；(2)x(x2）0;x22x-100=0；（3）x（1-x）；x2-3x+1=0.3.若x2是方程a2-5=的一个根，求a的值.解：2是方程ax2+x-=0的一个根.+8-5=0解得:a

6、=-四、师生互动，课堂小结.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程2.一元二次方程的一般形式为x2+x+c0(a0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业：从教材相应练习和“习题2.”中选取2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.2 一元二次方程的解法1直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(-k)2=b（a0,ab0)的方程.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学

7、生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境,综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望,体验求知的成功,增强学习的兴趣和自信心【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问：怎样解方程(x+1)2=256？解：方法1：直接开平方，得+1=16所以原方程的解是x=5，x2=-17方法：原方程可变形为:(x+1)226，方程左边分解因式，得(x+1+1)(x+-16)=0即(+17）（x1

8、5)=0所以+7=0或x-15=0原方程的解1=15,2=-1【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书.二、思考探究，获取新知例 用直接开平方法解下列方程（1)(3x+1）2;(2)y2+21=24;(3)n224n+6=1.【教学说明】运用开平方法解形如（+m)2=n（n0）的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程：（1)5x24=0（2)(2x+1)(3)(+）2=x+【教学说明】解这里的(2）(3)题时,注意整体划归的思想.三、运用新知,深化理解1.用直接开平方法解下列方程（）3(-1）2=0（2）2-4x+45（3)（x+5)2=25（4)x22x1=42

9、.用因式分解法解下列方程:3.把小圆形场地的半径增加m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2x2=(x+5)2.解得x1=+5,x2=-5(舍去）.答:小圆形场地的半径为(55）.【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果,教师点评.四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤2对于形如a（x-）2=(a,b0)的方程，只要把（x-k)看作一个整体，就可转化为x2n（0)的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法解.布置作业

10、:从教材相应练习和“习题2.2”中选取.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值,增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为(x+

11、6)m，根据矩形面积为6m2,得到方程x(x+6)=16,整理得到+6-1=0.【教学说明】创设实际问题情境,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习,我们现在会解什么样的一元二次方程?举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负常数,即(x+m)2n（n0）,运用直接开平方法可求解.问题你会用直接开平方法解下列方程吗？(1)（x+3)=25（）x2+6x+25（3)x+6x=16（4)x2+6x-16=0【教学说明】教

12、师启发学生逆向思考问题的思维方式,将2+6x10转化为(+）=5的形式，从而求得方程的解解：移项得:x2x=16,两边都加上即（）2,使左边配成x2+b+(b2）2的形式,得:x2+6x+9=16，左边写成完全平方形式,得：(x3)2=25，开平方,得：+=5,（降次）即x+3=或x+3=-5解一次方程得:x12，=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空:(1）x28x+16(x4)2(2)2-x+=（x-）（）4x24+1（x+1）2例 列方程:（)26x+5= ()2x+x+=0

13、（3）(1+x)2+2(+x)-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题,小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式axbx+=0;（)把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；()此时方程的左边是一个完全平方形式,然后利用直接开平方法来解.三、运用新知,深化理解1.用配方法解下列方程：()x2-4x=(2)2-4x0(3)x2-x-1=02如果x2-4x+y2+y+130,求(y）z的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结.用配方法解

14、一元二次方程的步骤2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题2.2”中选取2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力,渗透辩证唯物主义观点【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入，初步认识用配方法解方程:(）x2+3x+=0 (2）2x23x

15、+=解:（1）1，2=-2 (）无解二、思考探究，获取新知如果这个一元二次方程是一般形式2+bx+c0(a),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知abxc=0（a)，试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多,现在不妨把a,b，c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去探究 一元二次方程ax2+bx+c=()的根由方程的系数a,b,c而定,因此:（)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式x2bx+c=0,当-ac0时，将a,b，c代入式子就得到方程的根，当b2-4ac.【教学说明】注意（1）中的m+10这一条件.三、运用新知，深化理解1.方程2-4x+=

16、0的根的情况是（ )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x+m-没有实数根，求证:x+mx1-m必有两个不相等的实数根.【答案】B2.证明:x2+2xm+1=0没有实数根，4（1-）0时,一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)=0时,一元二次方程有两个相等的实数根.（3）0时,一元二次方程无实数根.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论,回忆整理,再由小组代表陈述.布置作业：从教材相应练习和“习题2.2”中选取.2完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5一元二次方程的根与系数的关系【

17、知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系,及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动,经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系,培养学生观察分析和综合判断的能力,激发学生发现规律的积极性,鼓励学生勇于探索的精神【情感态度】在积极参与数学活动的同时,初步体验发现问题，总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入，初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律？用语言叙述你发现的规律:（两根之和为一

18、次项系数的相反数;两根之积为常数项）设方程2+x+q=0的两根为1,，用式子表示你发现的规律.(+2p，x2q)2完成下列表格问题 上面发现的结论在这里成立吗?（不成立)请完善规律：用语言叙述发现的规律:（两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比）设方程ax2+bx+c=的两根为x1,用式子表示你发现的规律（x1+x2=-,x1x2=)二、思考探究，获取新知通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程a2bx+c=0（a)这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明ax2+bx+=的两根，,x1x=-，x1x2=.【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推

19、导出根与系数之间的关系,体会知识形成的过程，加深对知识的理解.例1 不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积：(1)2-x15=;（2)32+7-9=0;(3)x-4x2.解：（）1+2=6,x1x2=15；(）x1+x2=-,1x2=-3;（3）x+x2,12=.【教学说明】先将方程化为一般形式,找出对应的系数例2 已知方程2x+x-9=的一个根是-3,求另一根及的值解:另一根为,=3.【教学说明】本题有两种解法,一种是根据根的定义，将x=代入方程先求，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知,是方程x2-3x-5=的两根，不解方程，求下列代数式的值.三、运用新知，深化理解1.

20、不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:（）x23x15(2)521=42（）x2-3+2=1(4)42-14=0（5）3x（x-1）=（x-1）（6)(2x1）2=（3-x）.两根均为负数的一元二次方程是（ ）72-12x5=0B.2-3-=04x2+25=0D+5x-80【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数【答案】1.(）1x2=,1x215（）x+x20,x1x2=-1()x1x23,x1x2=-8（）1+2=0,x12-36（5）1+x2=,xx2=(6）x12-,x12=-2.C【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评.四、师生互

21、动,课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.布置作业：从教材相应练习和“习题22”中选取2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分22. 实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题,学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程,领悟数学建模思想,体会如何寻找实际问题中的等量关系【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值,培养学生的创新意识和实践能力,通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题

22、中的等量关系.一、情境导入,初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m，宽0m的矩形试验田,为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？问题 某药品经过两次降价,每瓶零售价由5元降为1.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.二、思考探究，获取新知问题【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为540m2来列方程,设小道的宽为xm,如何来表示种植面积？方法一:如图，由题意得，3220-32x-x+x2=54方法二:如图，采用平移的方法更简便.由题意可得：(0-x）（32-)=40解得x1=50，x2=2由题意可得x

23、20,x【教学说明】引导学生学会一题多解，同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了,即原价56元经过两次降价降为31元，设每次降价的百分率为x，由题意得56(1-x)2=3.解得 x10.25,x2=1.75（舍去)三、运用新知,深化理解1青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为00kg,013年平均每公顷产量为845kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40c的铁丝围成一个长方形,要求长方形的面积为5m2.(1）求此长方形的宽.()能围成一个面积为101c的长方形吗?如能，说明围法.（)若设围成一个长方形的面积为S(cm2

24、）,长方形的宽为x（cm），求S与x的函数关系式，并求出当x为何值时,S的值最大,最大面积为多少.【答案】1.解:设年平均增长率为x，则有200(1+x）850，解得x0.08,x2=-2.0(舍去).即年平均增长率为8答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.解：（1）设此长方形的宽为cm，则长为（0-）cm.根据题意，得x(20x)=75解得:x1=5,x=15(舍去）答:此长方形的宽是5cm()不能.由x(20-x)=101，即x-20+11=0，知=202-101=-40，方程无解,故不能围成一个面积为01cm2的长方形（3）S=x（2-x）=-x2+20x.由x2+20x=-（-10)200可知，当x10时,的值最大，最大面积为00c2【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第（2）、（3)问中的应用四、师生互动,课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时,通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程.若平均增长(降低)率为x，增长（或降低)前的基数是a,增长（或降低）n次后的量是b,则有:a(x)n=b（常见=2).1布置作业:从教材相应练习和“习题2.3”中选取2完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习