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1、目 录摘 要.1关键词.1Abstract.1Keywords.10 前 言.11 预备知识.11. 1变量分离方程.21. 2恰当微分方程.21. 3积分因子.22 基本方法.22. 1一般变量分离.32. 2齐次微分方程.32. 2 .1齐次微分方程类型一.32. 2. 2齐次微分方程类型二.42. 3常数变易法.52.3.1常数变易法一.52.3.2常数变易法二.62.4积分因子求解法.72.5恰当微分方程求解法.83 基本方法的应用.83. 1一般变量分离方程应用.83.1.1应用举例.9 3.1.2应用举例.93. 2齐次微分方程应用.10 3.2.1类型一应用举例.10 3.2.2
2、类型一应用举例11 3.2.3类型二应用举例11 3.2.4类型二应用举例.123.3常数变易法应用133.3.1常数变易法应用举例.133.3.2伯努利微分方程应用举例.143. 4利用积分因子求解.14 3. 5 利用恰当微分方程求解.15参考文献.16 一阶常微分方程初等解法摘 要: 本文对一阶微分方程的初等解法进行归纳与总结,同时简要分析了变量分离,积分因子,恰当微分方程等各类初等解法.并且结合例题演示了如何把常微分方程的求解问题化为积分问题,进行求解.关键词: 一阶常微分方程;变量分离;恰当微分方程;积分因子The Fundamental methods of the first-o
3、rder ordinary differential equation Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation of variables, integrating factor and the exact different
4、ial equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems of integration. Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact differential equation; integrating factor0 前言常微分方程在微积分概念出现
5、后即已出现,对常微分方程的研究也可分为几个阶段.发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代.莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理.但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断.加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代.在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等.常微分方程的研究还与其他学科或领域的结合而出现各种新的分支,如控制论、种群
6、分析、种群生态学、分支理论、泛函微分方程、脉冲微分方程等.总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要.因此本文对一阶常微分方程的初等解法进行了简要的分析,同时结合例题,展示了初等解法在解题过程中的应用.1预备知识1. 1 变量分离方程形如 , ()的方程,称为变量分离方程, ,分别是,的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果,我们可将()改写成,这样变量就分离开来了.两边积分,得到,为任意常数.由该式所确定的函数关系式就是常微分方程()的解. 1.2 恰当微分方程将方程,写成微分的形式,得到,或把,平
7、等看待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程 , 如果方程的左端恰好是某个二元函数的全微分,即,则称方程就是恰当微分方程.1.3 积分因子如果存在连续可微函数,使得为一恰当微分方程,即存在函数,使,则称为方程的积分因子.2基本方法2.1一般变量分离, 的方程,称为变量分离方程, ,分别是,的连续函数.这是一类最简单的一阶函数.如果,我们可将改写成,这样,变量就分离开来了.两边积分,得到. 这里我们把积分常数明确写出来,而把,分别理解为,的原函数.常数的取值必须保证有意义,如无特别声明,以后也做这样理解.因式不适合情形.但是如果存在使,则直接验证知也是的解.因此,还必须寻求的解,当不包括在方程的通
8、解中时,必须补上特解2.2齐次微分方程2.2.1齐次微分方程类型一形如,的方程,称为奇次微分方程,这里是的连续函数.作变量变换,即,于是.代入原方程可得,整理后,得到 . 因是一个变量分离方程.则可按照变量分离方法求解,然后代回原来的变量,即可得到原方程的解2.2.2齐次微分方程类型二形如, 的方程不可直接进行变量分离,但是可以经过变量变换后化为变量分离方程,这里, , , , ,均为常数.可分为三种情况来讨论:(常数)的情形这时方程可化为,有通解,其中为任意常数.的情形.令,这时有.是变量分离方程及不全为零的情形因为方程右端分子,分母都是的一次多项式,因此代表平面上两条相交的直线,设交点为,
9、若令则方程可化为从而方程变为因此,求解上述变量分离方程,最后代回原方程,即可得到原方程的解.的情形此时直接变换即可2.3常数变易法2.3.1常数变易法一一阶线性微分方程其中在考虑的区间上是的连续函数,若,方程变为称其为一阶齐次线性微分方程,若称其为一阶非齐次线性微分方程.变易分离方程,易求得它的通解为这里是任意常数.现在讨论非齐次线性方程的通解的求法.不难看出,是特殊情形,两者既有联系又有差别,因此可以设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别,现试图利用方程的通解的形式去求出方程的通解,显然,如果中恒保持为常数,它们不可能是的解.可以设想在中将常数变易为的待定函数,使它满足方程,从而求出为此,
10、令两边同时微分,得到代入原方程,得到即两边同时积分,得到这里是任意常数,求得到就是方程的通解.这种将常数变为待定函数的方法通常被称之为常数变易法.2.3.2 常数变易法二形如 , 的方程,称为伯努利方程,这里,为的连续函数, ,是常数.利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程.事实上,对于,用乘的两边,得到,引入变量变换,从而.代入方程,得到,这是线性微分方程,可按照前面介绍的方法来求出它的通解,然后代换原来的变量,便得到方程的通解.此外,当时,方程还有解.2.4积分因子求解法函数为积分因子的充要条件是,即.假设原方程存在只与有关的积分因子,则,则为原方程的积分因子的充要条件是,即仅是关
11、于的函数.此时可求得原方程的一个积分因子为.同样有只与有关的积分因子的充要条件是是仅为的函数,此时可求得方程的一个积分因子为2.5恰当微分方程求解对于一阶微分方程,若有,则该方程必为恰当微分方程.下面讨论如何求得该恰当微分方程的解.把看作只关于自变量的函数,对它积分可得由此式可得,由此可得,又因为 ,故等式右边只含有,积分可得,进而可得.则恰当微分方程的通解为,这里是任意常数.3.基本方法的应用3.1 一般变量分离应用举例3.1.1应用举例 例 1 求解方程 解 将变量分离,得到,两边积分,即得 ,因而,通解为.这里是任意正常数,或者解出,写出显函数形式的解 .3.1.2应用举例 例 2 求解
12、方程 , 的通解,其中的连续函数解 将变量分离,得到 ,两边积分,即.这里是任意常数.由对数定义,有,即,令,得到 , 此外,显然也是方程的解,如果允许中允许则也就包括在中,因而的通解为,其中为任意常数.3.2齐次微分方程应用举例3.2.1类型一应用举例 例 3 求解方程 解 这是齐次微分方程,以代入,则原方程变为即 . 将上式分离变量,既有两边积分,得到.这里是任意常数,整理后,得到=得到 . 此外,方程还有解.如果在中允许,则也就包括在中,这就是说,方程的通解为带回原来的变量,得到方程的通解为3.2.2类型一应用举例 例 4 求解方程（） 解 将方程改写为,这是齐次微分方程.以代入,则原方
13、程变为 分离变量,得到两边积分,得到的通解即当时,.这里c时任意常数.此外,方程还有解注意,此解并不包括在通解中.代入原来的变量,即得原方程的通解为3.2.3类型二应用举例例 5 求解方程.解 令,则有,代入所求方程,整理可得,由变量分离得,故所求方程的解为.3.2.4类型二应用举例例 6 求解方程. 解 解方程组得令代入上式方程,则有.再令则上式可化为,两边积分,得,因此,记并带回原变量,得,.此外容易验证,即也是方程的解 ,因此方程的通解为,其中为任意的常数.3.3常数变易法应用3.3.1常数变易法应用举例例 7 求方程的通解解 原方程可改写为,即 , 首先,求出齐次线性微分方程,的通解为
14、.其次,利用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解把看成,将方程两边同时微分得.代入,得到,两边同时积分,即可求得.从而,原方程的通解为,这里是任意常数.3.3.2 伯努利微分方程的求解例 8 求方程的通解解 这是时的伯努利微分方程.令,算得,这是线性微分方程,求得它的通解为.代入原来的变量,得到,或者,这就是原方程的通解.此外,方程还有解3.4利用积分因子求解例 9 求解方程. 解 这里方程不是恰当的.因为只与有关,故方程有只与的积分因子,以乘方程两边,得到,或者写成,因而通解为.3.5利用恰当微分方程求解例 10 求解方程. 解 因为,故方程是恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到,即,或者写成.于是,方程的通解为,这里是任意常数参考文献1 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程（第三版）M.北京:高等教育出版社;. 3 伍卓群,李勇编,常微分方程（第三版）M,北京：高等教育出版社,2004.4 杨继明,蔡炯辉;常系数非齐次线性微分方程组初值问题的求解公式J.宝鸡文理学院学报（自 5 胡建伟,汤怀民,常微分方程数值解法M,北京：科学出版社.1999.6 周义仓.常微分方程及其应用.M .北京:高等教育出版社,1985.7 尤秉礼.常微分方程补充教程.M .北京:人民教育出版社,1981.
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