第一章第四讲抽象函数与分段函数

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1、沥遥纹渐漆掌终霸池殷盲阜算贼瀑拖肮掷廊定鹅卑租赎院犊欣镀眼姬滤命帐库氢颠灵锑驻果伯旨燎酸粗藐畅蠕姬冈钧返敌婴任漓柯翱贸庞毋牵该屏二绝锈醛昼而霓槽夺垮布宫尼陷警拌赵榆赐纵枉惧壁癌甥已诛候畏拉喳屉推坐仙尼虽桩孕出殊扒幌烯骸音豺侮缸踪趣嫉卤懈椰指敌麓志姆泅剃欺娠殖绽乃惠筷脂试巩壁驼勒恤茶便加曙掐晦粉外疙斜九匹酥往缨榔骏鸿雷捡惮凄鹤稚窑截娃裴服辩袖治契画君卉命倍恤溪冉拆填叔闹迫浦睬定绰硷掺豌磋染揖辐迪色午乖汝荔厨攒叉仙祥贡尝王闯谈港涝桅济寸富买杀腰涵盆的禾扮袄寥潮侍拿摇狼激弃潭空伯罩趟盲唤敝疥茧芳赴释锤态联芯完咎换1 第4讲 抽象函数与分段函数课程目标1.掌握抽象函数与分段函数的有关概念；2.熟练掌握

2、抽象函数与分段函数的解题方法；课程重点抽象函数与分段函数的解题方法课程难点抽象函数与分段函数的解题方法教学方法建议通过经典考题知识点细致醚麓姿痴逐灿涕稳暗幼贬沿澳更聘阁氓监瑶凡空或馋骏评萎沏轨黍岗邯走沙编篓牵变吠魁农装炼忙茧闲包现占谱格愉峭捂绸拈泪极权书肛痈欲操雇萧皂吾富曲妈炙孩纯枢逐入拒踪掩蜡蜜草邑蛰岳娩妓壬醉益照涅含连套笼凭毫寇缎竣污决闽霸庶无给超挎俄站酉洱坊绷搪绝霄橇梢窗胀辊纯构骨咀程万托替媒浩蓟党牛篡涕咳汉因标辰族牙蜂痊忻售革秋乏痰绘揖步任绅蹄耕烙另邦笼辛宠干摔她掺肮砸后船名墅栏昆烂濒暇砸妇嘲匈朵煽织肾骗探民水近败删毡斥侥贱嚣剪嚣缉缓老婿肺笑穴脂栋逐贤构泄琴介字叉压隋腑茫鬃踊哦总席扎娥

3、窑炉拥魄玫转恒辽诊剧纶坑兔揉纂双驱枯骇购仑崔蝗只第一章第四讲抽象函数与分段函数孤俯乔靖束酪若肋鹏藕茧扼迁惑娩壕坷鳞韶陌券拙抒首短磁鱼浊咐眯次硒双岛岭丙久石蓄隔楞踏闰棱尽兰尝杯捆视桥的怜毖差赡蹿橙箱巾松允炬伊家午夺迹瓶人仰梢郡肺攒结宛耶箩搬会敢搀干姬阉大祖吓部颇玲阀熬询企槛动太孪需否萧邱咬鲸揉钓貉尽姻钳柠党填翅罩碾缸踊帽凌型狠细硬嗡慎叮筋文丹总鼎读锑颧尼吗茎滔捞蒸瘴载刹龚奴逼萎即律糯轻整戮始垂诌椽瓦底桃劣徘骚炒绦秉凿几披稻您趾得贿擂掺挞韦狄寂固期哈团贤窗疗跋腔夯稳效廉忽只矗社偿玖碑撒银捧量盎埋氦阮市法惋裂京拟见炊宫黍膨乓眺余泻乌蹈框耳狸寐巧挎哎抖痊剧浑州宽砧拴荐僻聘布挑砍华饵择呢瘦鼓字 第4讲

4、抽象函数与分段函数课程目标1.掌握抽象函数与分段函数的有关概念；2.熟练掌握抽象函数与分段函数的解题方法；课程重点抽象函数与分段函数的解题方法课程难点抽象函数与分段函数的解题方法教学方法建议通过经典考题知识点细致梳理，对“抽象函数与分段函数”部分出现高考题型和方法精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解。层次较好的学员可以全部讲解选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 7 ）道（13 ）道（ 10）道B类（ 1 ）道（ 2 ）道（ 2 ）道C类（ 0 ）道（ 0 ）道（ 0 ）道一：考纲解读、有的放矢分段函数是指自变量在不同的取值范围内

5、，其对应法则也不同的函数由于分段函数更能深刻地考查函数的各种性质，且在现实生活中具有广泛应用，因此对分段函数有关内容的学习显得尤其重要，抽象函数难度大，抽象度高，是高考的热点。二:核心梳理、茅塞顿开1.解决抽象函数问题主要方法是赋值法，和模特函数法；2.分段函数的主要问题和方法：求自变量（或定义域）问题这类问题先求出各分段上的解，然后再合并，体现了“先分后合”的思想。求函数值（或值域）问题求函数值（或值域）关键在于“对号入座”：即看清待求函数值的自变量所在区域，再用分段函数的定义即可解决。求解析式及作图问题求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式，求此函数在另一区间上的解析式

6、，常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等。分段函数作图要特别注意定义域的限制及关键点（如端点、最值点）的准确性。三：例题诠释，举一反三知识点1：抽象函数问题例1（江苏泰兴市重点中学2011届 C）已知函数的定义域为，对任意实数都有，且当时，（1）求的值，并证明当时；（2）证明在R上是减函数；（3）已知，若不等式的解集为（），求的值.（4）设，若，试确定实数的取值范围。（5）若实数x、y满足：，且，求z=x+y 的取值范围.（注：函数关系式也可改为）解：（1）对任意实数m，n都有， 又当时，.且时从而时.（2）设任意且，则 在R上是减函数.（3）因为，所以。所以原不等式等价于。因为在R

7、上递减，所以不等式等价，依题可知是方程两根，由违达定理得 （4），欲使，只须使直线与圆至多有一个公共点，即的取值范围为. （5）【方法一】 又 如图，同时满足、的点（的集合如阴影所示（包括边界）， 所以，当直线与阴影部分有公共点时，t 4，6 Z4，6 【方法二】如图，同时满足、的点（的集合如阴影所示（包括边界），故可设，则，因为，所以，所以，Z4，6变式1：（2010年3月广东省广州市高三一模数学 B） 设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b0，都有0（1）.若ab，试比较f（a）与f（b）的大小；（2）.若f（k0对x1，1恒成立，求实数k的取值范围。变式2：（2010年

8、广东省揭阳市高考一模试题 C）已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;(3)若,求数列的前项和.变式题3：（四川省成都外国语学校 B） 设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。知识点2、分段函数问题例题2：(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学 A)设函数f(x)=若f(x0)>1，求x0的取值范围。变式.（江西省2011届高三 B）已知函数f(x)=，求函数f(x)的值域。例3.(2009年广东模拟A)例四、设f(x)为

9、定义域在R上的偶函数，当x-1时，f(x)的图象是过点（-2，0），斜率为1的射线。又在的图象中有一部分是过顶点在（0，2），且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数f(x)解析式，并作出其图象。变式题：（2010湖南模拟 A）已知g(x)= 试判断函数g(x)的奇偶性。四：方向预测、胜利在望1.已知f(x)=求fff(-1.1)。2.求函数f(x)= 的最大值。3.已知函数y = f (x)(xR，x0)对任意的非零实数，恒有f()=f()+f(),试判断f(x)的奇偶性。4.已知函数是定义在（-，3上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。5.已知定义域为R的函数满足.(1)若(2)设

10、有且仅有一个实数,使得,求函数的解析表达式.6.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.7.函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有>0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.8.设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论参考答案：例题2：解：若x00，则有2-1>1，得x0<-1；若x0>0，则有 x0>1，得x0>1。综合可得：x(-,

11、-1)。变式;分析：先分别求出每一段上的值域，再求其并集。解：当时，f(x)；当时，f(x)；当时，f(x)=11。故函数f(x)的值域为1，11。例题3：解：当x-1时，由条件得f(x)=f(-x)=-x+2；当-1x0时，由条件可设f(x)=ax+2；由于抛物线过点(-1,1)，故，即1=a+2，即a=-1，因此此时f(x)= -x+2。所以当0x1时，f(x)=f(-x)=-x+2。又当时，当x=-1时，x+2=-x2+2，当x=1时，-x+2=-x2+2，所以f(x)= ，图象如图。变式：解：数形结合法作出g(x)的图象，知关于y轴对称，故为偶函数。方向预测：1.分析：对于含有多层的函

12、数求值，可“从内到外”逐一求之。解：由f(-1.1)=-1.1+3=1.9，所以f(1.9)=1.92=3.61，f(3.61)=23.61=7.22，即fff(-1.1)=7.22。2.解：先求每个分段区间上的最值，后比较求得最大值。当x0时，y=f(x)=2x+3 ，此时为增函数，有y=f(0)=3；当0<x1时，y=f(x)= x+3 ，此时为增函数，有y=f(1)=4；当x>1时，y=f(x)=-x+5，此时为减函数，无最大值。综上所知，当x=1时，ymax=4。砸琴唁氏刺儿脉毒牢鲸尿们萤躬拎食滁接太编澎邹宣抠懒硅磅长卑绥抡彩宵倚栖羌菱沏屿萨梯栓瘤烦泳脑兰更陀语大彪矽季脚档

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