导数在高中数学的应用

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1、导数与中学数学的联系及其应用前言导数是联系高等数学与初等数学的纽带，中学阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题导数在现行的中学数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是中学数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题

2、和解决问题的能力一、 导数在中学数学新课程中的地位和联系普通中学数学课程标准(实验)指出：中学数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的必修课程是整个中学数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成在系列1和系列2中都选择了导数及其应用显然，导数的重要性不言而喻（一）有利于学生更好地理解函数的性态在中学阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数

3、的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如，等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面（二）有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利

4、用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题（三）有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道在点的切线斜率，正是割线斜率在时的极限，即由导数的定义，所以曲线在点的切线方程是这就是说：函数在点的导数

5、是曲线在点处的切线斜率1从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线及上的一点，在点外另取曲线上一点，作割线，当点沿曲线趋向点时，如果割线绕点旋转而趋向极限位置，那么直线就称为曲线在点处的切线（四）有利于学生学好其他学科中学的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为基础作为微积分的一个重要的分支微分学，主要涉及变量的“变化率”问题，对于，导数可以解释为关于的变化率在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：，算出物体的

6、瞬时速度：、瞬时加速度：；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了（五）有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了他们的学习负担而普通中学数学课程标准(实验)就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在中学阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力2再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导

7、数，再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的2总之，通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力二、 导数在解题中的应用导数作为中学新教材的新增内容之一，它给中学数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风

8、景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义下面举例探讨导数的应用（一）利用导数解决函数问题利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了例1 设函数的图像与轴交点为点，且曲线在点处的切线方程为，若函数在处取得极值，试确定函数的解析式解 因为函数的图像与轴交点为点，所以点的坐标为，又曲线在点处的切线方程为，点坐标适合方程，从而，

9、又切线斜率，故在处的导数，而，从而，又函数在处取得极值，所以解得，所以所求函数解析式为利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行例2 求函数的值域分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断的正负，进而求出函数的值域解 显然，定义域为，由于，又，可见当时，所以在上是增函数而，所以函数的值域是利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是中学数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的

10、性态一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法：(1) 求函数在上的极值点；(2) 计算在极值点和端点的函数值；(3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值例3 求函数在上的最大值和最小值分析 先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值解 由于，则当或时，所以，为函数的单调增区间；当时，所以为函数的单调减区间又因为，所以，当时，取得最小值；当时，取得最大值利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义

11、，只需考虑的正负即可，当时，单调递增；当时，单调递减此方法简单快捷而且适用面广例4 求的单调区间分析 应先确定函数的定义域，再利用导数讨论其单调区间解 显然，定义域为，又，由，得或；又由，得或，所以的增区间为和，减区间为和（二）利用导数解决切线问题求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，过点的切线方程为，但应注意点在曲线上，否则易错例5 求曲线在原点处的切线方程分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程解 显然点不在曲线上，由于，则设切点坐标为，所以，则过点

12、的切线方程为因为点在切线上，所以，即，所以，故切线方程为，即求两曲线切线方程例6 已知抛物线和，如果直线同时是和的切线，称是和的公切线，求公切线的方程分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解解 由，得，所以曲线在点的切线方程是，即 (1)由，得，所以曲线在点的切线方程是，即 (2)若是过与的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以消去，得，由题意知，所以，则，即点与重合，此时曲线和有且仅有一条公切线，且公切线方程为（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及

13、到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题例7 求证：不等式在上成立分析 通过作差，构造函数，和，再通过对和求导来判断证明 构造函数，则得知在上单调递增，又因为，所以，即成立又构造函数，则得知在上单调递增，又因为，所以，即成立综上所述，原命题成立（四）利用导数解决数列问题数列是中学数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数

14、，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题例8 求和：(其中，)解 注意到是的导数，即，可先求数列的前和，然后等式两边同时对求导，有例9 求和：解 因为上式两边对求导，有，再令，可以得到（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边处，乙村位于离河岸的处，乙村到河岸的垂足与相距两

15、村要在岸边合建一个供水站，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为、，问供水站建在何处才能使水管费用最省？(图1)图1分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题解 如图1，设点距点，则，总的水管费用为()又，令，则在上，只有一个极值点，根据实际问题的意义，知处取得最小值，此时所以供水站建在距甲村处才能使水管费用最省三、 结束语导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础因此，在中学阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义参考文献1华东师范大学数学系数学分析（上册）第三版北京：高等教育出版社，2001912祁丽娟谈在中学数学课程中开设导数及其应用的必要性甘肃教育，2006（4）483李秋凤导数在函数问题中的应用中国科技信息，2006（3）1331534陈斌弹好用导数证不等式的前奏数理化学习（中学版），2006（4）13155邓亚轩利用导数巧求和数理化学习（中学版），2006（4）24