高考数学三角函数大题综合训练

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1、2017三角函数大题综合训练一解答题（共30小题）1（2016白山一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使ABC面积最大时a，b的值2（2016广州模拟）在ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A（I）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值3（2016成都模拟）已知函数f（x）=cos2xsinxcosxsin2x（）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=，求sinA

2、的值4（2016台州模拟）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2ab（1）求角C的值；（2）若b=2，ABC的面积，求a的值5（2016惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，D=2B，且AD=1，CD=3，cosB=（）求ACD的面积；（）若BC=2，求AB的长6（2015山东）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值7（2015新课标I）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90°，且a=，求ABC

3、的面积8（2015湖南）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C9（2015新课标II）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长10（2015湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范围11（2015四川）已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若

4、AB=3，AC=，求p的值12（2015河西区二模）设ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C13（2015浙江）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值14（2015陕西）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积15（2015江苏）在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°（1）求BC的长；（2）求sin2C的

5、值16（2015天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值17（2015怀化一模）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinCccosA（1）求角A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c18（2015甘肃一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosBccosB（）求cosB的值；（）若，且，求a和c的值19（2015衡水四模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（xA）+sinA（xR

6、）在x=处取得最大值（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求ABC的面积20（2015潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（xR）（）当x0，时，求函数f（x）的单调递增区间；（）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值21（2015济南二模）已知向量=（cos（2x），cosx+sinx），=（1，cosxsinx），函数f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a

7、=2，B=，求ABC的面积S22（2015和平区校级三模）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值23（2015洛阳三模）在锐角ABC中，=（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围24（2015河北区一模）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC（）求B的大小；（）若，求ABC的面积25（2015云南一模）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinCsinA），若（1

8、）求A的大小；（2）设为ABC的面积，求的最大值及此时B的值26（2015历下区校级四模）已知向量，若（） 求函数f（x）的最小正周期；（） 已知ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值27（2015高安市校级模拟）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小； （2）若a=6，求b+c的取值范围28（2015威海一模）ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（BA）=cosC（）求A，B，C；（）若SABC=3+，求a，c29（2015新津县校级

9、模拟）已知向量，函数f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求ABC的面积30（2015和平区二模）在ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5（）求AC的长；（）设D为AB的中点，求CD的长三角函数大题综合训练参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2016白山一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使ABC面积最大时a，b的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（1）已知等式左边利用正弦

10、定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可【解答】解：（1）A+C=B，即cos（A+C）=cosB，由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，sinA0，cosC=，C为三角形内角，C=；（）c=2，cosC=，由余弦

11、定理得：c2=a2+b22abcosC，即4=a2+b2+ab2ab+ab=3ab，ab，（当且仅当a=b时成立），S=absinC=ab，当a=b时，ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，ABC的面积最大为【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键2（2016广州模拟）在ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A（I）求角A的大小；（）若ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（I）利用两角和与

12、差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA2=0，（2分）即（2cosA1）（cosA+2）=0解得cosA=或cosA=2（舍去）（4分）因为0A，所以A=（6分）（II）由S=bcsinA=bc=bc=5，得bc=20又b=5，所以c=4（8分）由余弦定理，得a2=b2+c22bccosA=25+1620=21，故a=（10分）又由正弦定理，得

13、sinBsinC=sinAsinA=sin2A=×=（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力3（2016成都模拟）已知函数f（x）=cos2xsinxcosxsin2x（）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=，求sinA的值【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用【专题】转化思想；综合法；解三角形【分析】（）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合（）由条件求得cos（2C+）=，C=，求出sinB

14、的值，再根据sinA=sin（B+C）求得它的值【解答】解：（）函数f（x）=cos2xsinxcosxsin2x=cos2xsinxcosx+（cos2xsin2x ）=sin2x+cos2x=+cos（2x+），故函数取得最大值为，此时，2x+=2k时，即x的集合为 x|x=k，kZ（）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=，cos（2C+）=，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，2C+=，C=cosB=，sinB=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同

15、角三角函数的基本关系，属于中档题4（2016台州模拟）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2ab（1）求角C的值；（2）若b=2，ABC的面积，求a的值【考点】余弦定理；三角形的面积公式【专题】解三角形【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；（2）利用三角形的面积公式，可求a的值【解答】解：（1）c2=a2+b2ab，cosC=，0°C180°，C=60°；（2）b=2，ABC的面积，=，解得a=3【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键5（2016惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，D=2

16、B，且AD=1，CD=3，cosB=（）求ACD的面积；（）若BC=2，求AB的长【考点】余弦定理的应用；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求ACD的面积；（）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长【解答】（共13分）解：（）因为D=2B，所以 （3分）因为D（0，），所以 （5分）因为 AD=1，CD=3，所以ACD的面积（7分）（）在ACD中，AC2=AD2+DC22ADDCcosD=12所以 （9分）因为 ，（11分）所以 所以 AB=4（13分）【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查6（2015山东）AB

17、C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】解三角形【分析】利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；利用正弦定理解之【解答】解：因为ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，得27sin2A6sinA16=0，解得sinA=或者sinA=（舍去）；由正弦定理，由可知sin（A+B）=sinC=，sinA

18、=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识7（2015新课标I）已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC（）若a=b，求cosB；（）设B=90°，且a=，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【专题】解三角形【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得

19、：0，代入可得（bk）2=2akck，b2=2ac，a=b，a=2c，由余弦定理可得：cosB=（II）由（I）可得：b2=2ac，B=90°，且a=，a2+c2=2ac，解得a=c=SABC=1【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（2015湖南）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由正弦定理及已知可得=，由sinA0，即可证明sinB=cosA（）由两角和的正

20、弦函数公式化简已知可得sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C【解答】解：（）证明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，sin2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【点评】本题主要考查了正

21、弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题9（2015新课标II）ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长【考点】正弦定理；三角形中的几何计算【专题】解三角形【分析】（1）如图，过A作AEBC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分BAC及正弦定理可得sinB=，sinC=，从而得解（2）由（1）可求BD=过D作DMAB于M，作DNAC于N，由AD平分BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长【解答】解：（1）如图，过A作AEBC于E，=

22、2BD=2DC，AD平分BACBAD=DAC在ABD中，=，sinB=在ADC中，=，sinC=；=6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=过D作DMAB于M，作DNAC于N，AD平分BAC，DM=DN，=2，AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，BAD=DAC，cosBAD=cosDAC，由余弦定理可得：=，x=1，AC=1，BD的长为，AC的长为1【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查10（2015湖南）设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角（）证明：BA=；（）求sinA+sinC的取值范

23、围【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】（）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（）由题意可得A（0，），可得0sinA，化简可得sinA+sinC=2（sinA）2+，由二次函数区间的最值可得【解答】解：（）由a=btanA和正弦定理可得=，sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，+A（，），B=+A，BA=；（）由（）知C=（A+B）=（A+A）=2A0，A（0，），sinA+sinC=sinA+sin（2A）=sinA+cos2A=sinA+12sin2A=2（sinA）2+，A（0，），0sinA，由二次函数可知2（sinA）2+sin

24、A+sinC的取值范围为（，【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题11（2015四川）已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+pxp+1=0（pR）两个实根（）求C的大小（）若AB=3，AC=，求p的值【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数【专题】函数的性质及应用；解三角形【分析】（）由判别式=3p2+4p40，可得p2，或p，由韦达定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p，由两角和的正切函数公式可求tanC=tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值（）由正弦定理可求sinB=，解得B，A，由两角和的正切函

25、数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=（tanA+tanB）的值【解答】解：（）由已知，方程x2+pxp+1=0的判别式：=（p）24（p+1）=3p2+4p40，所以p2，或p由韦达定理，有tanA+tanB=p，tanAtanB=1p所以，1tanAtanB=1（1p）=p0，从而tan（A+B）=所以tanC=tan（A+B）=，所以C=60°（）由正弦定理，可得sinB=，解得B=45°，或B=135°（舍去）于是，A=180°BC=75°则tanA=tan75°=tan（45°+30°）

26、=2+所以p=（tanA+tanB）=（2+）=1【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题12（2015河西区二模）设ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（ab+c）=ac（）求B（）若sinAsinC=，求C【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】解三角形【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）

27、得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（AC），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（AC）的值，利用特殊角的三角函数值求出AC的值，与A+C的值联立即可求出C的度数【解答】解：（I）（a+b+c）（ab+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2

28、15;=，AC=30°或AC=30°，则C=15°或C=45°【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键13（2015浙江）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2a2=c2（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2a2=c2可得，a=利用余弦定理可得cosC可得sinC=，即可得出tanC=（2）由=×=3，可得c，即可得出b【解答】解：（1）A=，由余弦定理可得：，

29、b2a2=bcc2，又b2a2=c2bcc2=c2b=c可得，a2=b2=，即a=cosC=C（0，），sinC=tanC=2（2）=×=3，解得c=2=3【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（2015陕西）ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行（）求A；（）若a=，b=2，求ABC的面积【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示【专题】解三角形【分析】（）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（）利用A，以及a=，b=2，通过余

30、弦定理求出c，然后求解ABC的面积【解答】解：（）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB=0，由正弦定理可知：sinAsinBsinBcosA=0，因为sinB0，所以tanA=，可得A=；（）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA，可得7=4+c22c，解得c=3，ABC的面积为：=【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力15（2015江苏）在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°（1）求BC的长；（2）求sin2C的值【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦【专题】解三角形【分析】（1）直接利

31、用余弦定理求解即可（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+92×2×3×=7，所以BC=（2）由正弦定理可得：，则sinC=，ABBC，C为锐角，则cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2×=【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键16（2015天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=（）求a和sinC的值；（）求cos（2A+）的值【

32、考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用【专题】解三角形【分析】（）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可【解答】解：（）在三角形ABC中，由cosA=，可得sinA=，ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c22bccosA，可得a=8，解得sinC=；（）cos（2A+）=cos2Acossin2Asin=【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力17（2015怀化一模）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，

33、C的对边，c=asinCccosA（1）求角A；（2）若a=2，ABC的面积为，求b，c【考点】正弦定理；余弦定理的应用【专题】计算题【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作，联立即可求出b与c的值【解答】解：（1）由正弦定理=化简已知的等式得：sin

34、C=sinAsinCsinCcosA，C为三角形的内角，sinC0，sinAcosA=1，整理得：2sin（A）=1，即sin（A）=，A=或A=，解得：A=或A=（舍去），则A=；（2）a=2，sinA=，cosA=，ABC的面积为，bcsinA=bc=，即bc=4；由余弦定理a2=b2+c22bccosA得：4=b2+c2bc=（b+c）23bc=（b+c）212，整理得：b+c=4，联立解得：b=c=2【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（2015甘肃一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

35、且bcosC=3acosBccosB（）求cosB的值；（）若，且，求a和c的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理【专题】计算题；转化思想【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB2RsinC

36、cosB，故sinBcosC=3sinAcosBsinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB又sinA0，因此（6分）（II）解：由，可得accosB=2，由b2=a2+c22accosB，可得a2+c2=12，所以（ac）2=0，即a=c，所以（13分）【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力19（2015衡水四模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（xA）+sinA

37、（xR）在x=处取得最大值（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求ABC的面积【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域【专题】解三角形【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2xA），由于函数在处取得最大值令，其中kz，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由ABC的面积等于，算出即可【解答】解：函数f（x）=2cosxsin（xA）+sinA=2cosxsinxcosA2cosxcosxsinA+sinA=sin2

38、xcosAcos2xsinA=sin（2xA）又函数f（x）=2cosxsin（xA）+sinA（xR）在处取得最大值，其中kz，即，其中kz，（1）A（0，），A=，2xA，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc2bccosA即49=1693bc，bc=40故ABC的面积为：S=【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题20（2015潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（xR）（）当x0，时，求函数f（x）

39、的单调递增区间；（）设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算【专题】解三角形【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为令，kz，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间（）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得 ，故有= ，再由余弦定理得9=a2+b2ab ，由求得a、b的值【解答】解：（I）=令，解得，即，f（x）的递增区间为（）由，得而C（

40、0，），可得向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，由正弦定理得：= 由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即9=a2+b2ab ，由、解得【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题21（2015济南二模）已知向量=（cos（2x），cosx+sinx），=（1，cosxsinx），函数f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求ABC的面积S【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【专题】

41、三角函数的图像与性质【分析】（）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；（）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=确定出A的度数，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC的值，利用三角形面积公式即可求出S【解答】解：（）向量=（cos（2x），cosx+sinx），=（1，cosxsinx），函数f（x）=cos（2x）+cos2xsin2x=cos（2x

42、）+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），令+2k2x+2k（kZ），得+kx+k（kZ），则函数f（x）的单调递增区间为+k，+k（kZ）；（）由f（A）=sin（2A+）=，得sin（2A+）=，A为ABC的内角，由题意知0A，2A+，2A+=，解得：A=，又a=2，B=，由正弦定理=，得b=，A=，B=，sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=×+×=，则ABC的面积S=absinC=×2××=【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦

43、函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键22（2015和平区校级三模）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到【解答】解（1），cosB=cos（+A）=sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得 ，所以=，所以3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2

44、B+cos2B=1，所以，而，所以（2），2A=2B，sin2A=sin（2B）=sin2B=又A+B+C=，sinC=cos2B=12cos2B=【点评】本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题23（2015洛阳三模）在锐角ABC中，=（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围【考点】正弦定理；余弦定理【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形【分析】（1）由余弦定理可得：a2+c2b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求

45、得bc的取值范围【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2b2=2accosB，sin2A=1且，（2），又，b=2sinB，c=2sinC，bc=2sin（135°C）2sinC=，【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题24（2015河北区一模）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC（）求B的大小；（）若，求ABC的面积【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理【专题】解三角形【分析】（）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 化简求得，求得，可得B的值（）由余弦定理，可得，把、

46、 代入求得ac的值，再根据计算求得结果【解答】解：（）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：2（cosAcosCsinAsinC）=1，又0B，（）由余弦定理得：，又，故，【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题25（2015云南一模）在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinCsinA），若（1）求A的大小；（2）设为ABC的面积，求的最大值及此时B的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【专题】计算题；解三角形【分析】（1）共线向量的坐标运算可得（sin

47、A+sinB+sinC）（sinB+sinCsinA）=sinBsinC，再利用正弦定理将角的正弦转化为所对边的边长，再利用余弦定理即可求得A的大小；（2）依题意，利用正弦定理=2，可求得S=bcsinA=sinBsinC，逆用两角差的余弦即可求得S+cosBcosC取最大值及此时B的值【解答】解：（1），（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinCsinA）=sinBsinC根据正弦定理得（a+b+c）（c+ba）=bc，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得cosA=，又A（0，），A=；（2）a=，A=，由正弦定理得=2，b=2sinB，c=2si

48、nC，S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC，S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（BC），当B=C时，即B=C=时，S+cosBcosC取最大值【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查平面共线向量的坐标运算及两角差的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题26（2015历下区校级四模）已知向量，若（） 求函数f（x）的最小正周期；（） 已知ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差

49、的正弦函数；余弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】（）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x），由此求得函数f（x）的最小正周期（） 已知ABC中，由 （A为锐角），求得sinA=，可得 A=由正弦定理可得b=2c，根据 a=3，再由余弦定理求出c、b的值【解答】解：（） =sinxcosxcos2x+=sin（2x），故函数f（x）的最小正周期为（） 已知ABC中，（A为锐角），sinA=，A=2sinC=sinB，由正弦定理可得b=2c，a=3，再由余弦定理可得 9=b2+c22bccos解得 b=2，c=【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式

50、、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题27（2015高安市校级模拟）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小； （2）若a=6，求b+c的取值范围【考点】正弦定理；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数【专题】解三角形【分析】（1）利用两角和公式和诱导公式对原等式整理可求得tanA的值，进而取得A（2）根据正弦定理表示出b和c，求得b+c的表达式，化简整理，根据正弦函数的性质求得其最大值，结合两边之和大于第三边求得范围【解答】解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos+cosAsin=2cosA，整理得sinA=cos

51、A，cosA0，tanA=，0A，A=；（2）由正弦定理得：，=，即6b+c12（当且仅当B=时，等号成立）【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用考查了学生综合运用知识的能力和一定的运算能力28（2015威海一模）ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（BA）=cosC（）求A，B，C；（）若SABC=3+，求a，c【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【专题】解三角形【分析】（）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求A，B，C；（）通过SABC=3+，以及正弦定理即可求a，c【解答】解：（），sinCcosA

52、+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，即 sinCcosAcosCsinA=cosCsinBsinCcosB，得 sin（CA）=sin（BC） CA=BC，或CA=（BC）（不成立） 即 2C=A+B，得，则，或（舍去） （）又，即 ，【点评】本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力29（2015新津县校级模拟）已知向量，函数f（x）=（）求函数f（x）的单调递增区间；（）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求ABC的面积【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【专题】解三角形【分

53、析】（）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（）由f（B）=1，求出B的度数，把sinA=3sinC利用正弦定理化简得到a=3c，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB，a=3c的值代入求出a与c的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积【解答】解：（）=（2cosx，1），=（cosx，2sinxcosx1），f（x）=2cos2x+2sinxcosx1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），2x+2k，+2k（kZ），x+k，+k（kZ），函数f（x）的单

54、调递增区间为+k，+k（kZ）；（）f（B）=2sin（2B+）=1，sin（2B+）=，即2B+=，即B=，sinA=3sinC，a=3c，b=，b2=a2+c22accosB，a=3，c=1，S=acsinB，ABC的面积为【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键30（2015和平区二模）在ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5（）求AC的长；（）设D为AB的中点，求CD的长【考点】正弦定理；余弦定理【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】（）由同角三角函数关系式由cosA=，cosB=，可求sinA，sinB的值，从而由正弦定理得即可求AC的值（）在ABC中，由余弦定理可求AB的值，可求，由余弦定理结合已知即可求得CD的值【解答】（本题13分）文科解：（）在ABC中，（2 分）由正弦定理得，（4 分）即（6 分）（）在ABC中，AC=7，BC=5，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosB，（8 分）即，整理得AB22AB24=0，解得AB=6（10分）在BCD中，BC=5，由余弦定理得CD2=BD2+BC22BDBCcosB，（11分）即（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本知识的考