追及问题的探讨

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1、追及问题的探讨 耿安明追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于vt图象和x-t来分析和求解往往可使解题过程简捷明了. 例：汽车以 1 的加速度启动，同时车后60m远处有一人以一定的速度匀速追赶要车停下。已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问至少要多大？如果

2、以=10的速度追车，人车距离最小值应为多少？ 分析：车人相距s，同时同向运动，车在前面做加速度为a、初速度为零的匀加速运动，人在后面匀速追赶。V追赶者<V被追赶者 则一定不能追上，假设在追赶过程中经时间t后两者能处在同一位置，找位移关系列方程,求解t. 若t有解，说明能处在同一位置，能追上，比较此时的速度，若v1>v2，则会相撞，若v1=v2,则刚好相撞。若t无解,说明两者不能同时处于同一位置，追不上。若追不上，当v1=v2时，两者间距最小。（开始时，速度大的甲在后，在前的乙速度较小，间距越来越小，只有乙速度大于甲速度，间距才能越来越大，故两者速度相等时，间距最小。） 此情景学生不

3、易理解，可用x-t图象帮助理解。有图1可看出二者速度相同时间距最小。此时向前后各1秒间距小于20米即符合题意要求了。前后一秒间距离相同可看v-t图象理解如图2图2。 v/m·s1v0t/sttv汽v自tx图1t/sv/m·s-1汽车O自行车图2解法1：设经t秒人离车20米则t+1秒二者速度相等相距最近 联立60+-t=20和=a（t+1）代入数据解的t=8s = 9m/s解法2：设经t秒人离车20米联立60+-t=20和 联立60+-（t+2）=20解得t=8s和v0=9m/s 解法3： 联立60+-t=20 和2解得t=8s和v0=9m/s 练习：甲、乙两车相距s，同时同

4、向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系.分析 由于两车同时同向运动，如图乙甲图3故有v甲=v0+a2t， v乙=a1t.当a1a2时，a1ta2t，可得两车在运动过程中始终有v甲v乙.由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次.当a1=a2时，a1t=a2t，可得v甲=v0+v乙，同样有v甲v乙，因此甲、乙两车也只能相 遇一次.当a1a2时，a1ta2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时

5、间的增加而发生变化.刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲 v乙；随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大；当a1t-a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t-a2tv0，则有v甲v乙.若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙 时，两车刚好相遇，随后v甲v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙前，甲车已超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v甲v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，则两车能相遇两次.当a1a2时，式t只有一个正解，则相遇一次.当a1=a2时t只有一个解，则相

6、遇一次.当a1a2时，若v022(a1-a2)s，式无解，即不相遇.若v02=2（a1-a2）s，式t只有一个解，即相遇一次.若v022（a1-a2）s.式t有两个正解，即相遇两次. 解2 利用v-t图象求解.当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图4中的和，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次.当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图5中的和，讨论方法同，所以两车也只能相遇一次.当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图6中的和，其中划实斜线部分的面积表示甲车比

7、乙车多发生的位移，划虚斜线部分的面积表示乙车比甲车多发生的位移.若划实斜线部分的面积小于S，说明甲车追不上乙车，则不能相遇；若划实斜线部分的面积等于 S，说明甲车刚追上乙车又被反超.则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于S.如图中0t1内划实斜线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1t时间内，甲车超前乙车的位移为t1t时间内划实斜线部分的面积，随后在tt2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次. 这类问题并不难，需要的是细心.首先把可能的情况想全，然后逐一认真从实际情况出发来分析，以得到正确的结果.总结一、追及相遇问题1追

8、及问题例如：A追赶B时（如图）若VAVB，则AB距离缩小；若VA=VB，则AB距离不变；若VAVB，则AB距离增大；2相遇问题1）同向运动的两物体：相遇问题就是追及问题2）相向运动的两物体：当各自发生的位移的代数和等于开始时两物体间的距离时，即相遇3在两物体同直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件：其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题二、把握的关系1两个关系：即时间关系和位移关系2一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。三、常见的情况 V追赶者> V被追赶者 则一定能追上V追赶者&l

9、t;V被追赶者 则一定不能追上假设在追赶过程中经时间t后两者能处在同一位置，找位移关系列方程,求解t.若t有解，说明能处在同一位置，能追上，比较此时的速度，若v1>v2，则会相撞，若v1=v2,则刚好相撞。若t无解,说明两者不能同时处于同一位置，追不上。   若追不上，当v1=v2时，两者间距最小。（开始时，速度大的甲在后，在前的乙速度较小，间距越来越小，只有乙速度大于甲速度，间距才能越来越大，故两者速度相等时，间距最小。）注意：相遇（或相撞）的临界条件是：两物体处在同一位置时，两物体的速度刚好相等。四、解题思路和方法 1流程图分析两物体运动过程，画运动示意图由示意图找两物体位移关系据物体运动性质列（含有时间）的位移方程2、此类问题常用的解题方法有公式法 图象法 数学方法 相对运动法五、小结解追及相遇问题的思路及步骤两物体的速度满足的条件，确定时间和位移关系。1、抓住关键字眼：刚好、恰好、最多、最小等，看两物体的速度应满足什么条件。2、画草图，设经时间t后两者能相遇，找到两物体的时间关系及位移之间的数量关系，列方程。3、解方程，若t有解，说明能追上，若t无解，说明追不上。4、注意：若有物体做匀减速运动，注意在追上前，该物体是否已停止运动。同时多结合图象法求解。“速度相等”是解题的关键，此时可能是两者间的距离最大或最小。- 5 -