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1、2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分 一、选择题 （2013年高考湖北卷（理）已知为常数,函数有两个极值点,则（）AB CD【答案】D （2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知函数,下列结论中错误的是（）AR,B函数的图像是中心对称图形C若是的极小值点,则在区间上单调递减D若是的极值点,则【答案】C （2013年高考江西卷（理）若则的大小关系为（）AB CD【答案】B （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）设函数（）A有极大值,无极小值B有极小值,无极大值 C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值【答案
2、】D （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）设函数的定义域为R,是的极大值点,以下结论一定正确的是（）AB是的极小值点 C是的极小值点D是的极小值点 【答案】D （2013年高考北京卷（理）直线l过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于（）AB2CD【答案】C （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）已知为自然对数的底数,设函数,则（）A当时,在处取得极小值B当时,在处取得极大值 C当时,在处取得极小值D当时,在处取得极大值 【答案】C 二、填空题 （2013年高考江西卷（理）设函数在内可导,且,则
3、_【答案】2 （2013年高考湖南卷（理）若_.【答案】3 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）若曲线在点处的切线平行于轴,则_.【答案】 三、解答题（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯WORD版含答案）已知函数.()设是的极值点,求,并讨论的单调性;()当时,证明.【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知函数(I)求证: (II)若恒成立,求实数取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【答
4、案】 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题）本小题满分16分.设函数,其中为实数. (1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.卷 附加题部分答案word版选做题第21题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】解:(1)由即对恒成立, 而由知<1 由令则 当<时<0,当>时>0, 在上有最小值 >1 > 综上所述:的取值范
5、围为 (2)证明:在上是单调增函数 即对恒成立, 而当时,> 分三种情况: ()当时, >0 f(x)在上为单调增函数 f(x)存在唯一零点 ()当<0时,>0 f(x)在上为单调增函数 <0且>0 f(x)存在唯一零点 ()当0<时,令得 当0<<时,>0;>时,<0 为最大值点,最大值为 当时,有唯一零点 当>0时,0<,有两个零点 实际上,对于0<,由于<0,>0 且函数在上的图像不间断 函数在上有存在零点 另外,当,>0,故在上单调增,在只有一个零点 下面考虑在的情况,先证<
6、;0 为此我们要证明:当>时,>,设 ,则,再设 当>1时,>-2>0,在上是单调增函数 故当>2时,>>0 从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0 即当>时,>, 当0<<时,即>e时,<0 又>0 且函数在上的图像不间断, 函数在上有存在零点,又当>时,<0故在上是单调减函数函数在只有一个零点 综合()()()知:当时,的零点个数为1;当0<<时,的零点个数为2 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版）设函数(其中).() 当时
7、,求函数的单调区间;() 当时,求函数在上的最大值.【答案】() 当时, , 令,得, 当变化时,的变化如下表:极大值极小值 右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,. () ,令,得, 令,则,所以在上递增, 所以,从而,所以 所以当时,;当时,; 所以 令,则,令,则 所以在上递减,而 所以存在使得,且当时,当时, 所以在上单调递增,在上单调递减. 因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”. 综上,函数在上的最大值. （2013年高考江西卷（理）已知函数,为常数且.(1)证明:函数的图像关于直线对称;(2)若满足,但,则称为函数的二阶周期点,如果有两个二阶周期点试确定的取值范围;(3)对于
8、(2)中的和, 设x3为函数f(f(x)的最大值点,A(x1,f(f(x1),B(x2,f(f(x2),C(x3,0),记ABC的面积为S(a),讨论S(a)的单调性.【答案】(1)证明:因为,有, 所以函数的图像关于直线对称. (2)解:当时,有 所以只有一个解,又,故0不是二阶周期点. 当时,有 所以有解集,又当时,故中的所有点都不是二阶周期点. 当时,有 所以有四个解,又, ,故只有是的二阶周期点.综上所述,所求 的取值范围为. (3)由(2)得, 因为为函数的最大值点,所以或. 当时,.求导得:, 所以当时,单调递增,当时单调递减; 当时,求导得:, 因,从而有, 所以当时单调递增.
9、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点.(1)确定的值; (2)求函数的单调区间与极值.【答案】 （2013年高考四川卷（理）已知函数,其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.()指出函数的单调区间;()若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值;()若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.【答案】解:函数的单调递减区间为,单调递增区间为, 由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有. 当时,对函数求导,得. 因为,所以, 所以. 因此 当且仅当=1,即时等号成
10、立. 所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1 当或时,故. 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ,即 当时,函数的图象在点处的切线方程为 ,即. 两切线重合的充要条件是 由及知,. 由得,. 设, 则. 所以是减函数. 则, 所以. 又当且趋近于时,无限增大,所以的取值范围是. 故当函数的图像在点处的切线重合时,的取值范围是 （2013年高考湖南卷（理）已知,函数.(I)记求的表达式;(II)是否存在,使函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】解: () (II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组
11、成的.因此,若在图像上存在两点满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且. 不妨设 所以,当时,函数在区间内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直. （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.【答案】解:函数的定义域为,. ()当时, , 在点处的切线方程为, 即. ()由可知: 当时,函数为上的增函数,函数无极值; 当时,由,解得; 时,时, 在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上:当时,函数无极值 当时,函数在处取得极小值,无极大值. （2013年高考新课标1（理）(本小题满分共12分)已
12、知函数=,=,若曲线和曲线都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线()求,的值;()若-2时,求的取值范围.【答案】()由已知得, 而=,=,=4,=2,=2,=2; ()由()知, 设函数=(), =, 有题设可得0,即, 令=0得,=,=-2, (1)若,则-2<0,当时,<0,当时,>0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,而=0, 当-2时,0,即恒成立, (2)若,则=, 当-2时,0,在(-2,+)单调递增,而=0, 当-2时,0,即恒成立, (3)若,则=<0, 当-2时,不可能恒成立, 综上所述,的取值范围为1,. （2013年高考湖北卷（理）设
13、是正整数,为正有理数.(I)求函数的最小值;(II)证明:;(III)设,记为不小于的最小整数,例如,.令,求的值.(参考数据:,)【答案】证明:(I) 在上单减,在上单增. (II)由(I)知:当时,(就是伯努利不等式了) 所证不等式即为: 若,则 , ,故式成立. 若,显然成立. , ,故式成立. 综上可得原不等式成立. (III)由(II)可知:当时, （2013年高考陕西卷（理）已知函数. () 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; () 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数. () 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.
14、 【答案】解:() f (x)的反函数. 设直线y=kx+1与相切与点 .所以 () 当 x > 0,m > 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数. 由, 则 h(x)在 h(x). 所以对曲线y=f (x) 与曲线 公共点的个数,讨论如下: 当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点; () 设 令. ,且 . 所以 （2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）设函数(=2.71828是自然对数的底数,).()求的单调区间、最大值; ()讨论关于的方程根的个数.【答案】解:(), 由,解得, 当时,单调递减
15、 所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是, 最大值为 ()令 (1)当时,则, 所以, 因为, 所以 因此在上单调递增. (2)当时,当时,则, 所以, 因为,又 所以 所以 因此在上单调递减. 综合(1)(2)可知 当时, 当,即时,没有零点, 故关于的方程根的个数为0; 当,即时,只有一个零点, 故关于的方程根的个数为1; 当,即时, 当时,由()知 要使,只需使,即; 当时,由()知 ; 要使,只需使,即; 所以当时,有两个零点,故关于的方程根的个数为2; 综上所述: 当时,关于的方程根的个数为0; 当时,关于的方程根的个数为1; 当时,关于的方程根的个数为2. （2013年普通高等
16、学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）已知,函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)当时,求的最大值.【答案】解:()由已知得:,且,所以所求切线方程为:,即为:; ()由已知得到:,其中,当时, (1)当时,所以在上递减,所以,因为; (2)当,即时,恒成立,所以在上递增,所以,因为 ; (3)当,即时, ,且,即2+0-0+递增极大值递减极小值递增所以,且 所以, 所以; 由,所以 ()当时,所以时,递增,时,递减,所以,因为 ,又因为,所以,所以,所以 ()当时,所以,因为,此时,当时,是大于零还是小于零不确定,所以 当时,所以,所以此时; 当时,所以,所以此时 综上所述:.
17、 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对）已知函数(I)若时,求的最小值;(II)设数列【答案】 （2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）已知函数. () 求函数f(x)的单调区间; () 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使. () 设()中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.【答案】 （2013年高考北京卷（理）设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.【答案】解: (I)设,则.所以.所以L的方程为. (II)令,则除切点之外,曲线C在直线的下方等价于. 满足,且. 当时,所以,故单调递减; 当时,所以,故单调递增. 所以,(). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 又解:即变形为,记,则, 所以当时,在(0,1)上单调递减; 当时,在(1,+)上单调递增. 所以.)
全国高考理科数学试题分类汇编14导数与积分
