1利用对角线法则计算下列三阶行列式

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1、第一章 行列式201abc(1)1-4-1;(2)bca；(3)-183cab201解(1)1-4-1=2工（4）疋3 +0 -1831.利用对角线法则计算下列三阶行列式:= -248 16 4 = 41 1 1xy x+ya b c；(4)y x + y x2 .2 2a b cx + yxy(-1)1 1 8-0 1 3-2 (-1) 8-1 (-4) (-1)3 215 2 , 5 43 2#5 2 , 5 4a b c333(2) b c a = acb + bac+cbabbbaaa -ccc = 3abca b c cab1(3) a2abb21c2 c2 2 2 2 2 2=be

2、 +ca + ab -ac -ba -cb = (ab)(bc)(c a)(4) y x+yx + yx =x(x + y)y + yx(x + y) + (x+ y)yx - y3 _ (x + y)3 _x3y= 3xy(x + y) _ y3 _3x2y _3y2x_ x3 _ y3 _x3 -2(x3 y3)(1)12 3 4;(2) 4 1 3 2;(3)34 2 1;(4) 2 4 1 3;(5)13(2n-1)2 4(2n)；(6)13(2n-1)(2n)(2n -2)2.2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:解（1）逆序数为0(2)逆序数为4: 41 ,43 ,

3、 42 ,3 2(3)逆序数为5: 32 ,31 , 42 ,4 1,2 1(4)逆序数为3: 21 ,41 , 43(5)逆序数为n(n T):232152 , 5 427 2，7 4 ，7 63(2n -1) 2 , (2n -1) 4 , (2n -1) 6 ,-(6)逆序数为n(n -1)(2n -1) 2 , (2n -1) 4 , (2n -1) 6，,(2n -1) (2n-2)(n-1)个个2个(2n -1) (2n-2)(n-1)个3 2#5 2 , 5 4=0c3 _ 4c2c4 -9c2(n -1)个(2n) 2 , (2n) 4 , (2n) 6，(2n) (2n-2)

4、3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.由于p1 =1, p2 =3已固定，p1 p2p3p4只能形如13 口,0010=1 或 0002 = 2-an a23 a32 a44 禾口 ana23a34 a42 为所求.解 由定义知，四阶行列式的一般项为1)ta1p1a2p2 a3p3a4p4，其中t为pi P2 P3 P4的逆序数.即1324或1342.对应的t分别为4.计算下列各行列式:(1)|4110_0(1)4110012512021125141100c12 C31-1204236-12302021-abacae(3)bdcdde1bfcf-ef4-1-10(廿=122X103-1

5、441101122-102-140-1239017901710-214=0a-10_010-2141b-10c-1001d=0c3 _ 4c2c4 -9c2=0c3 _ 4c2c4 -9c221412140214021403-121C4 -C231223122E r13-12212321230123012305062506221400000=0a-1001b10c-1001dA ar?0-1001 abb10c-1001d=(-1)(-1)211 +abaad,八，八3七1 + ab ad-1c1 +cd=(-1)(-1)-11+cd0-10=abcd1 ab-10c-1ab cdad 1-a

6、b ac ae-b c e-1 1 1bd - cd de=adfb - c e=adfbce1 -1 1bfcf -efb c -e1 1 -1= 4abcdef2 aabb2ax +byay +bzaz+ bxxyz5.证明：(1)2aa +b2b= (a-b)3；(2)ay +bzaz + bxax+ by= (a3 + b3)yzx111az + bxax +byay+ bzzxyx ay + bz zy z az + bx分别再分 3x y z3y z xy az + bx x十0 +0 + bz x ax 十 byay z x+ bz x yz ax + by yx y ay 十

7、bzz x yx y z(-1)2=右边证明(1)左边左边2 a b22 c d2a2 a4 a(a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 (d 1)21b b2 b4c2 c4 c(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)21dd2d4(a 3)2(b 3)2(c 3)2 (d 3)2二(a _ b)(a _ c)(a _ d )(b _ c)(b _d) (c_d)(a b c d)；x-10 000x-100000 x-1anan J.an_2 a2x + 322 a=乂+&必心+anx + an. c2 Gc3 一 G= (a-b)32a1ab - a b - a 0=右边.2 2b

8、 -a2b-2a0十1)2.2 2 b - a2b-2a=(bxay + bzaz + bxyay +bzaz +bxyaz +bxax + by+ bzaz +bxax + byzax +byay +bzxax +byay +bz分开按第一列axyzxyz3 ayzx+ b3yzxzxyzxy分别再分 2a第一项；3第二项a2 a 4 92a 1 4a 6ab2 b 4 9+b2 1 4b 6bc2 c 4 9c2 1 4c 6cd2 d 4 9d2 1 4d 6d-4c?-6c22 a2 a+ (2a +1)(a+2)2(a+3)2a22a+14a十46a + 9b2b2+ (2b +1)

9、(b+2)2(b + 3)2C2 - Gb：2b + 14b十46b + 92 c2 c+ (2c+1)(c+2)2(c + 3)2C3 -Gc22c+ 14c + 46c+ 9d2d2+ (2d +1)(d+2)2(d +3)2C4 Gd22d +14d +46d +9左边=2 aa4a +46a+92 a14a +46a+9b2b4b +46b+ 9+b214b+46b + 92 cc4c十46c+ 92 c14c +46c+ 9d2d4d +46d +9d214d +46d +9分成二项按第二列2=0c3 _ 4c2c4 -9c21000b _ ac 一 ad _aab-ac-ada.2

10、 22 2.2 22.2222.22=b - ac - ad -aab-ac-ad-a.2 zi22、4,4444,44b (b -a )c (c -a )d (d -a )ab-ac-ad-a左边=(b a)(c a)(d a)=(b _a)(c _a)(d -a)1b ab2(b + a)1b ab2(b +a)1c a2 (c a)1d +ad 2(d + a)0c -b0d -bc2(c+a) 一b2(b+a) d2(d+a) 一b2(b + a)=(b _a)(c _a)(d _ a)(c _b)(d -b)1 1(c2 +bc +b2) + a(c+b) (d2 +bd +b2)a

11、(d b)=(a _b)(a _c)(a _d)(b _c)(b _d) (c _d)(a b cd) (5)用数学归纳法证明xa2当 n = 2时,D2 =-1a1=x2a1x - a2,命题成立.= (-1)2(-1)z(1)a1nann假设对于(n-1)阶行列式命题成立，即an”an，Dn:L =xna1xn则Dn按第1列展开：= (-1)2(-1)z(1)a1nann-1n1Dn =XDnd +an(-1)0-1an二右边所以，对于-1n阶行列式命题成立.= (-1)2(-1)z(1)a1nann= (-1)2(-1)z(1)a1nann6.设n阶行列式证明Dr D2an1anna1n

12、annanna1 nD1 =:-，D2 =- :，D3 =:-a11a1na11an1an1a11D二det(aj),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转，依次得5二 D.十1)D,D3n(n 4.)2二 det)= (-1)2(-1)z(1)a1nann= (-1)2(-1)z(1)a1nannan1annD1/ 八n 4 = (T)a1na nn(-1严(-1严ana21an1a1na2nannana1 na21a2na31a3na11a1 nn(n 二)=( _1)12g)(2)D 十 1) 2 Dan1a nnn(n 4)同理可证D2 =(-1)2a11an1n(n -4)

13、2 T十1) 2 D十1)n(n 二)2 D= (-1)2(-1)z(1)a1nannn(n 丄)n(n J)n(n J)D3 =(-1) 2D2 =(-1) 2 (-1) 2D =(_1)n(n)D = d7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）:(1)Dn,其中对角线上元素都是a ,未写出的元素都是 0；Dnn an丄 a(a-1)n (a-1)心(a -n)n(a -n)(3) Dn+ = B aa_1a n11 1aaxanbn提示：利用范德蒙德行列式的结果.0a bg d10dnDn二 det ),其中 a”ija1Dn11*2,其中aan-0(1)a00010a00000a0000

14、0a01000aDnan按最后一行展开00001a00000a000000a0(n -1) (n -1)(W/ 八2n+ (T)a(T(n 书（再按第一行展开）= (_1)【(一1)nn _2 a= an(a2-1)#a00x aa -x 000 从第n 1行开始，第n行经过n次相邻对换,换到第1行，第n行经（n -1）次对换换到第2行,（2）将第一行乘（一1）分别加到其余各行，得x a aa x x a 0Dn = a x 0 x a 再将各列都加到第一列上，得x + (n -1)aaa a0x a0 0Dn =00x _a0000 0x an_1=x (n - 1)a(x-a)#经n（n-

15、1） 1 = n（n 次行交换，得2此行列式为范德蒙德行列式Dn 1Dn 1n(n 1)n(n 1)珂一1）11 1aa_1a nn4 a(a-1严(a- n)nan a(a-1)n (a- n)nn(ai +1)(aj+1)n(rnH)十1) 2n 1 J. j 一1n(n 1)2n (n-1(-1)2(i - j)n 1 .j _1#二丨丨(i-j)n 1 L j .1an0bn*dD2na bG d10dnan A.*0bnj00an_l+0bn 二按第一行0ai b0t,八2 n0ai bi0展开anCidi+ (-i)bnJCidi+Cn A.0dn_L06/d n_|0.B0dnC

16、n00都按最后一行展开and n D2n_2bn Gi D2n _2由此得递推公式:D2n= (andn - bnCn)D2n/D2n(嗣-bjCjD?D2aiCibidi=aidi _ biC|9#(aidi -biCi)Dn 二det)0123i0122i0i32i0Dnn i-3n -4C4Ci,aiiia2-i-i-i-i0-2-2-200-2-2000-22n -32n -42n -5C3 一 C4i an-iiii-i-l-iiiiri -r2-i-i-iiiD -3,l-i-i-iin-in - 2 n-3n 4 00000=(-i)n(ni)2n，n-10000ia2000i_

17、 aa300i0-a400i0000an0an_ anii +ann _000n - i n _2n _ 3ai-a200#=142511151111-5-1-91-5-1-9-22-140509050901211-2-3-1-5-2-3-1-50-13-3-230509012110121101211013-3-23D1按取后一列展开（由下往上）丁 6八“电n .17 _00 0032320 00033a300+-B000-3nA an000 0_an=(1 +an)a2 3n）+ aQ2a.an _23n =(时2 )(1)i 4 ai8.用克莱姆法则解下列方程组:治 X2 X3 X4 =

18、5,x +2x2 _x3 +4x4 = -2, 23 42x| 一3x2 一X3 5X4 = 2,3xi X2 2x3 IIX4 =0;(1) D111112-142 -3 -1 -53 1211a10000 032a20 00 00-333300 000a400 0000 一 an_23n/0000 00- 3n-32320 000333300十+00-3400000 3n3n000 0 -3n.+aza?an5捲 +6x2= 1,Xi + 5 X2 + 6 X3= 0,(2)X2+5X3+6X4=0,X3 + 5X4+ 6X5 = 0, X4 5X5 = 1 .111101-230 -5

19、-3 -70 -2 -1 811110 1-230 0 -13 80 0-5 141 1 1 10 1-230 0 -1-54000142一 1421-5-1-91-5-1-9012110121100-104600-1380023120000142二-142#=142#=142151115111-2-140-7-232-2-1-50-12-3-7302110-15-18D2151115110-1320-13200231100-1-19003931000-284-284#=142#=1421151111512-2412-1-2= 426 ；D4 =2-3-2-52-3-1-2310113120D

20、aD4Di*D2cD3门X11, X22, X33, X4 ：DDDD按最后一行5D -展开=5D -6D= 5(5D -6D ) -6D =19D -30D 二 65D -114D =65 19 -114 5 = 665（D为行列式D中an的余子式,D为D中的余子式,D ,D类推）D1 =D2Da0D5110600060051-65 1080 - -1145按第三列=D 64 =19D - 30；r 64 二 1507-5 63展开=196 114 二 703按第四列D4D5展开二-3950150650010010D =1211 =21211=14215071145703-395212二为=

21、；X2 = ； X3 =；X4 =； X4 =665665665665665x1 x2 x3 = 09问 , 取何值时，齐次线性方程组捲x2 x3 = 0有非零解？捲 + 2 Px2 + x3 = 0Z 11解 D3 = 1 A 1=4,齐次线性方程组有非零解，贝yD3 = 01 2卩1即-0得 - - 0或 =1不难验证，当4 = 0或乙=11时,该齐次线性方程组确有非零解(1 -，冈 - 2x2 4x3 = 010.问取何值时,齐次线性方程组有非零解? 2捲 + (3 丸)x2 + x3 = 0“ + x2 + (1 - 扎)x3 = 01-几241 一扎 一3 +乙 4D =23_k 1=21 -人1111 一扎101 一扎=(1 -)3( -3) -4(1 -)- 2(1 -)(-3 - ) = (1 -，)32(1 -)2 -3齐次线性方程组有非零解，则D =0得 =0 = 2或，=3不难验证，当=0, =2或=3时，该齐次线性方程组确有非零解13