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1、 绝密启用前湖南省东部六校20xx届高三联考试题理科数学 总分：150分 时量：120分钟 考试时间：20xx年12月8日 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案）1已知全集U=R，集合，集合，则（ C ） A B（1，2 C D2已知复数满足，则（ D ） A B C D3设为锐角，若cos，则sin的值为（ B ） A B C D 4某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C ) A. B. C.
2、D.5已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 ( C ) A B C D6下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ） A B C D侧视图正视图俯视图227一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D ) A B C D8若，命题直线与圆相交；命题，则 是的 ( A ) A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件9已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（ C ） A B C D 10已知不等式组表示平面区域，过区域中的任
3、意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当的面积最小时，的值为（ B ） AAMBGNC B C D11如上右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别 交于两点，且,则的最小值为（ C ） A2 B C D12设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 (D) A1ln 2 B. (1ln 2) C D.(1ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 21 14函数 () 的单调递增区间是 .15对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：解：由 的解集为，得的解集为，即关于
4、的不等式 的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_16已知椭圆的方程为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同于的动点，直线与直线分别交于两点，若，则过三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程）（一）必做题：17（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，等七组,其频率分布直方图如下图所示。已知之间的参加者有8人.（1）求N和之间的参加者人数N1；（2）已知和之间各有2名数学教师，现从这两个组
5、中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?（3）组织者从之间的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为,求的分布列和均值.解：（1）年龄在之间的概率为0.045=0.2所以总人数，因为所以年龄在之间的志愿者人数为 4分（2）记事件B=从年龄在之间选出的人中至少有2名数学教师因为年龄在之间的人数为12，所以记事件C=从年龄在之间选出的人中至少有1名数学教师因为年龄在之间的人数为8，所以则 P（A）= 8分（3）年龄在之间的人数为6人，其中女教师4人的可能取值为1，2,3; 所以分布列为 均值为
6、 12分18（本小题满分12分）已知的角的对边分别为，其面积，且；等差数列中，且，公差数列的前项和为，且， （1）求数列、的通项公式； （2）设， 求数列的前项和【解析】：（1）， 又 ， ， 从而 故可得：， ， 当n=1时， 当n2时， ， 两式相减， 得 数列为等比数列， 6分 （2） = = 12分19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面梯形中，平面平面，是等边三角形，已知，且.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍.（1）证明：在中，由于, ,故. 又， ，又， 故平面平面 4分（2）法一、如图建立空间直角坐标系，, ，
7、设平面的法向量, 由 令, . 设平面的法向量, 由，令 ， ,二面角的余弦值为 8分 法二、由（1）知平面，所以平面平面 过作交于，则平面 再过作交于，连结， 则就是二面角的平面角 由题设得由勾股定理得： 所以.二面角的余弦值为 8分（3） 12分20（本小题满分12分）如图，已知是椭圆:上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点、.QPMOxy（1）若直线，的斜率存在，并记为，求证：为定值；（2）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解析：（1）因为直线：以及：与圆相切， 所以 , 化简得： 同理：， 所以是方程的两个不相等的实数根， 因为点在椭圆C上，所以，即， 所以
8、5分 （2）是定值，定值为9 理由如下： 法一：（i）当直线、不落在坐标轴上时,设, 联立解得 所以，同理，得， 由， 所以 （ii）当直线、落在坐标轴上时,显然有， 综上： 12分法二：（i）当直线、不落在坐标轴上时,设, 因为，所以， 因为在椭圆C上，所以， 即 ， 所以，整理得， 所以，所以 （ii）当直线、落在坐标轴上时,显然有， 综上： 12分21（本小题满分12分）已知函数，. （1）设. 若函数在处的切线过点，求的值； 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围； （2）设函数，且，求证：当时，.【解析】（1）由题意，得， 所以函数在处的切线斜率， 又，所以函数在处的切线方程， 将点
9、代入，得. 4分（2）当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而. 当时，由，解得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以函数在上有最小值为，令，解得，所以. 综上所述，. 8分（3）由题意，而等价于， 令， 则，且，令，则，因， 所以 所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即. 12分（二）选做题：（考生从以下三题中选做一题）22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲BACDEOF如图，AB是O的直径，C、F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D连接CF交AB于点E（1）求证：DE2=DBDA； （2）若DB=2，DF=4
10、，试求CE的长（1）证明：连接OF 因为DF切O于F，所以OFD=90 所以OFC+CFD=90 因为OC=OF，所以OCF=OFC 因为COAB于O，所以OCF+CEO=90 所以CFD=CEO=DEF，所以DF=DE 因为DF是O的切线，所以DF2=DBDA 所以DE2=DBDA 5分 （2）解：DF2=DBDA，DB=2，DF=4 DA= 8， 从而AB=6， 则又由（1）可知，DE=DF=4， BE=2，OE=1 从而 在中， 10分23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l
11、的参数方程是：（是参数）（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数m值（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围解：（1）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为： 直线的直角坐标方程为： 圆心到直线l的距离（弦心距） 圆心到直线的距离为 ： 或 5分 （2）曲线的方程可化为，其参数方程为： 为曲线上任意一点， 的取值范围是 10分24选修4-5：不等式选讲设函数，（1） 当时，求使的取值范围；（2） 若恒成立，求的取值范围。解：（1）由于是增函数，等价于 当时，则式恒成立， 当时，式化为，即， 当时，式无解 综上，取值范围是 5分 （2） 而由 要恒成立，只需，可得的取值范围是-5，5 10分欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
湖南省东部六校高三12月联考数学理试题及答案
