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1、第 2课时： 3.2一元二次不等式（ 1）【三维目标】 ：一、知识与技能1. 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；2. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；3. 掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；4. 培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象” 、“从特殊到一般”的归纳概括能力。二、过程与方法经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式
2、的解法；三、情感、态度与价值观1. 激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.2. 创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。【教学重点与难点】 ：重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。【学法与教学用具】 ：1. 学法 ：2. 教学方法 ：诱思引探教学法3. 教学用具 ：多媒体、实物投影仪 .【授课类型】 ：新授课【课时安排】 ： 1 课时【教
3、学思路】 ：一、创设情景，揭示课题观察函数 y5x210 x4.8 的图象，可以看出，一元二次不等式5x210x4.80 的解集就是二次函数 y5x210x4.8 的图象（抛物线）位于x 轴下方的点所对应的x 值的集合因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集第一步：解方程5x210x4.80 ，得 x10.8, x21.2 ；第二步：画出抛物线y5x210x4.8 的草图；第三步：根据抛物线的图象，可知5x210x4.80 的解集为 x | 0.8x1.2 二、研探新知求解一元二次不等式ax2bxc0( a0) 的过程，可用
4、下图所示和流程图来描述：开始输入 a,b, cb 24ac0x1bb, x22a输出“解集为”2a输出“解集 x | x1x x2 ”结束一 元 二 次 不 等 式 ax2bx c 0(a0) 与 相 应 的 函 数 yax 2bx c(a 0) 、 相 应 的 方 程ax2bx c0(a0) 之间的关系：判别式000b24ac二次函数yax2bxc（ a0 ）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx c0b无实根x1 , x2 (x1x2 )x1a0 的根x22aax2bx c0x x x1或 x x2b(a0)的解集x xR2aax 2bx c0x x1 xx2(a0)的解集
5、三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例 1 解下列不等式：（ 1） x27 x120 ； （2）x22x30 ；（ 3） x22 x10 ； （ 4） x22 x20 解：（ 1）方程 x27x120 的解为 x13, x2 4 根据 yx27 x12 的图象，可得原不等式x27x 120 的解集是 x | x3或 x4 （ 2 ） 不 等 式 两 边 同 乘 以 1 ， 原 不 等 式 可 化 为 x22x3 0 方 程 x22x 30 的 解 为x13, x2 1根据 yx22x3 的图象，可得原不等式x22x30 的解集是 x | 3x 1 （ 3）方程 x22x10 有两个相同的解x1x2
6、 1根据 yx22x1 的图象，可得原不等式x22x 1 0的解集为（ 4）因为0，所以方程x22x20 无实数解，根据yx22x2 的图象，可得原不等式x22x 2 0 的解集为思考 ：（ 1）求解一元二次不等式ax 2bxc0(a 0) 的过程，怎样用流程图来描述？（ 2）求解一元二次不等式ax2bxc0(a0) 的过程，怎样用流程图来描述？（ 3）不等式 ax2bxc 0( a0)和ax2bxc 0( a0)的解法？结论：1. 一元二次不等式的解集：（ 1）不等式（ 2）不等式a( xx )( xx)0(a0) 的解集为 x | xx x1212a( xx1)( xx2 )0(a0) 的
7、解集为 x | xx1 或 xx2 （其中 x1x2 ）2. 归纳解一元二次不等式的步骤：（ 1）二次项系数化为正数；（ 2）解对应的一元二次方程；（ 3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图； （ 4）写出不等式的解集即：一化正二算三求根四写解集例 2已知关于 x 的不等式x2mxn 0 的解集是 x | 5x1 ，求实数 m,n 之值解： Q 不等式 x2mx n0 的解集是 x |5 x 1 ，x15, x2 1是 x2mx n0 的两个实数根，由韦达定理知：51mm451nn5例 3 已知不等式ax2bxc0 的解集为 x | 2x3 求不等式 cx2bxa0 的解集23bab5
8、a解：由题意23c ， 即 c6a 代入不等式 cx2bx a 0 得：6ax25ax a 0( a 0) aa0a0即 6x25x10 ， 所求不等式的解集为 x |1x13 2例 4 已知一元二次不等式(m 2) x22( m2) x40 的解集为 R ，求 m 的取值范围解： Q y(m 2) x22( m2) x4 为二次函数，m 2Q 二次函数的值恒大于零，即(m 2) x22( m2) x 40 的解集为 R m20m 2，解得：m 20， 即4(m2)2 16(m2)2 m60m 的取值范围为 m | 2 m6 （ m2 适合）拓展 ： 1已知二次函数y(m2) x22( m 2
9、) x4的值恒大于零，求m 的取值范围2已知一元二次不等式(m 2) x22( m2) x40 的解集为, 求 m 的取值范围3若不等式 (m 2) x22( m2) x40 的解集为, 求 m 的取值范围结论： 一元二次不等式恒成立的情况：（ 1） ax 2bxc0 ( a0) 恒成立a0；（ 2） ax 2 bxc0 (aa 000) 恒成立0例 5若不等式 mx 22x1m0 对满足2m2 的所有 m 都成立，求实数x 的取值范围解：已知不等式可化为( x21)m (1 2x)0 设 f (m)( x21) m(12x) ，这是一个关于 m 的一次函数（或常数函数） ，从图象上看，要使
10、f (m) 0在 2 m 2时恒成立，其等价条件是：f (2)2( x21)(12x)0,即2x22x30,解得1713f ( 2)2( x21)(12x)2x22x10.2x20,所以，实数 x 的取值范围是17 , 1322四、巩固深化，反馈矫正1. 选择题：下列不等式中，解集为实数集的是（）(A)x120（）x0(C)x380（）x 22 x302. 下列命题中正确的有若x1, x2 是方程ax2bxc0 的两个实数根，且x1x2 ，那么不等式ax2bxc0 的解集是 x | x1xx2；当b24ac0 时，二次不等式ax2bxc0的解集是；x2x10 与x2xx1x 的解集相同3. 解下列不等式：x43x2100 ； xx6 ； x22 x30五、归纳整理，整体认识1一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；2掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；3掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解4. 解一元二次不等式的步骤：概括为：一化正二算三求根四写解集六、承上启下，留下悬念七、板书设计 （略）八、课后记：
高中数学一元二次不等式教案
