第四章第12节一元一次方程模型解一元一次方程的算法

《第四章第12节一元一次方程模型解一元一次方程的算法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章第12节一元一次方程模型解一元一次方程的算法（30页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、【教学知识要点】 1. “等式”是用等号“”来表示相等关系的式子，而“方程”是含有未知数的等式。 2. 方程5x78中，5，7，8这些是有明确数值的数，它们都叫作“已知数”，字母x，它的值是未知的，叫作“未知数”。 3. 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作这个方程的“解”，只含有一个未知数的方程的解，也叫作方程的“根”。 4. 求方程的解的过程叫作解方程。 5. 只含有一个未知数的方程叫“一元方程”，未知数的次数（即指数）是1的方程叫“一次方程”，一元一次方程指的是方程中只含有一个未知数，且未知项的次数最高为1的方程，并且分母中不含未知数。 6. 方程axb（a0），其中x是未知数，a

2、、b都是已知数，这个方程是一元一次方程的最简形式或标准形式。 7. 解一元一次方程的一般步骤是：去分母，在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。去括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。移项，把含未知数的项移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边，并把方程化为axb（a0）的形式。 8. 解方程的过程要注意以下几点：移项必变号。用分配律去括号时，不要漏乘括号里的项。去分母时，若两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项。xb不是方程的解，必须把x的系数化为1，得xb才算完成解方程的过程。【典型例题】 例1. 建立下面问题的方程模型，并检验（2）中所给数据哪个是方程的解：分析：设

3、某数为x，它的2倍与1的差表示为（2x1），它的5倍与1的和表示为（5x1），可以根据题意建立模型。第（2）小题把所给数据依次代入方程两边，使左右两边的式子相等的数即为方程的解。解：（1）设某数为x，则（2）把x1代入方程因为左边右边，所以x1不是方程的解。 例2. 如图两个正方形的边长分别为8cm，10cm，求图中阴影部分的面积。分析：要求阴影部分的面积，阴影部分是三角形，求三角形面积必须知道一个底和这个底上的高的长，这里BC可作阴影的底为8cm，CH作BC上的高未知的，可设CHxcm，列出关于x的一个方程，求出x，就可求出阴影的面积，可找到一个等量关系为：SBFESBCHS梯形CHFE解：

4、设CH长为xcm，依题可得答： 例3. 在某企业生产一种产品，每件成本价为400元，销售价为510元，本季度销售了m件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使销售利润保持不变，该产品每件的成本价应降价多少元？（只列方程，不求解）分析：设产品每件成本降价x元，则可得以下关系：解：设该产品每件的成本价应降x元，依题得说明：这是一道创新应用题，要正确设出未知数，理解题意，找出相等关系是列出方程的关键所在。 例4. 用适当的数或代数式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的？（1）

5、若2x521，则2x21_（2）若15x60，则x_分析：在把握等式基本性质时，一定要注意几点：（1）是“同时”，“同一个”，如果不同时，将得不到等式，如果所加减乘除的数或代数式不是同一个也无法得到等式。（2）是等式两边同时乘以（或除以）同一个数或代数式时，一定要确保这个数或代数式不为0，否则变形将出现问题。（3）所谓“所得结果仍为等式”不是指变形后方程左边右边的结果与变形前的原方程的左边右边相比保持不变，而是指方程左右两边同时变化后，变形后的方程左边与右边是相等的。回忆一下，等式的两个基本性质可解答这道题。解：（1）2x21 5 ，根据等式的基本性质1，等式两边都加上5。（2）x 4 ，根据

6、等式的基本性质2，等式两边都除以15。 例5. 解方程：分析：简易方程如（1）、（2）通过移项、化简、化系数为1就可求解，但如（3）、（4）是解含有分母与括号的一元一次方程，要注意：去括号时，可按小括号到中括号到大括号的顺序逐步去掉。括号前是“”号，去括号，括号里的每项变号，去分母时，通常用各个分母的最小公倍数去乘以方程的每一项，不能漏乘，有时要把分子用括号括起来。解答如下：（1）8x37x6解：移项得：8x7x63化简得：x3解：方程两边同乘以2得（即化系数为1）：y4解：去括号得：解：方程两边同时乘以12，得说明：解方程前，注意分析方程特点，因题制宜，灵活运用解题技巧，使运算简化。 例6.

7、 （探究开放型决策性问题）一牛奶制品厂现有鲜奶9吨，若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1吨鲜奶可获利1200元，若制成奶粉销售，则加工1吨鲜奶可获利2000元，该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天用去鲜奶3吨，若专门生产奶粉，则每天用去鲜奶一吨，由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两种产品不能同时生产，为保证产品质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全加工完毕，假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？分析：本题考查阅读分析能力，综合应用能力，应把各种可行的方案罗列出来，依次计算利润，最后比较可知方案的优劣。解：生产方案设计：将9吨鲜奶全部制成酸奶，则可获利：12

8、00910800（元）4天内全部生产奶粉，则有5吨鲜奶浪费，则利润为：200048000（元）4天中，用x天生产酸奶，用（4x）天生产奶粉，并保证鲜奶不浪费，得方程：3x（4x）19解之x2.5（天），则4x1.5（天）即2.5天生产酸奶，1.5天生产奶粉，则利润为：2.5312001.51200012000（元）显然按第三种方案生产能使工厂获利最大，最大利润为12000元。【模拟试题】（答题时间：30分钟）一、填空题 1. 在方程，中是一元一次方程的有_。 2. 方程是关于x的一元一次方程，则m、n应满足_。 3. x3_（填是或不是）方程的解。 4. 某数x比它的8倍小21，可列出方程：_

9、。 5. 一种药品涨价25%后的价格为40元，那涨价前价格为x元，可列方程是_。 6. 由8x12，则x12_ 由2x3x5，则2x3x_ 7. 方程可把_看作整体移项化简较简便。 8. 与相等，则y_ 9. ，则_二、解方程（1）（2）（3）三、列方程不求解（1）天平的A、B两个盘内分别盛有51g、45g盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到B盘内，才能使天平平衡？（2）某文具按现价出售，每件可盈利2元，为了支援山区，按现售价的70%售给一山区小学，结果每件仍盈利0.2元，问该文具进价为多少元？（3）国家规定个人发表文章，出版著作所获稿费应纳税，其计算方法如下：稿费不高于800元不纳税；稿费高于8

10、00元，但不高于4000元应缴纳超过800元的那一部分的14%的税；稿费高于4000元应缴纳全部稿费的11%的税，今知王教授出版一本著作获得一笔稿费，他缴了550元的税，王教授稿费多少元？【试题答案】一、填空 1. 2. 3. 不是 4. 5. 或 6. 7. 8. 或2.5 9. 二、解方程（1）解：移项得：化简得：化系数为1：（2）解：变形得：去分母得：去括号得：移项化简得：两边同除以90，得：（3）解：去中括号得：去小括号得：移项化简得：化系数为1得：三、只列方程不求解：（1）设从A盘内拿出xg盐放到B盘内，使天平平衡，则依题意得：（2）设该文具进价为x元，则依题意得：（3）假如稿费40

11、00元，应交税为（4000800）14%448元，因为550448，所以稿费一定大于4000元，设王教授稿费为x元，则依题得：11%x550 教学知识要点： 1. 收集数据的过程 第一步：明确调查问题 第二步：确定调查对象 第三步：选择调查方法 第四步：展开调查 第五步：记录结果 第六步：得出结论 2. 统计活动 （1）统计活动就是对调查的结果进行登记、汇总，得出结论的过程，它是数据收集的一个重要的步骤。 （2）统计活动的过程一般可分为分组登记、分组汇总、总体汇总、得出结论四个基本过程。 3. 频数与频率的定义 （1）频数：指一组数据中个别数据重复出现的次数或一组数据在某个确定的范围内出现的数

12、据的个数。 （2）频率：是频数与数据组中所含数据的个数的比。 （3）频数与频率的联系：频数具体地反映了数据分布的情况，频率反映了不同的数据或在不同的范围内出现的数据在整个数据组中所占的比例。它们都反映了一组数据的分布情况。 （4）频数与频率的关系： 各试验结果的频数之和等于试验的总次数。 各试验结果的频率之和等于1 频数/总次数频率 4. 频率的意义 在一定程度上，频率的大小反映了事件发生的可能性的大小。频率大，发生的可能性就大；反之频率小，发生的可能性小。 5. 频率与权数的关系： 在用加权平均数计算平均数时，频率就是权数。 6. 频数的应用 通过统计活动所获得的一些数据，能根据稳定变化的数

13、据作简单的判断和预测。【典型例题】 基础知识题（一）频数与频率 例1. 李明和张健站在罚球处进行定点投篮比赛其结果如下表所示： 上表数据显示，李明投中的频数是_；投中的频率是_；张健投中的频数是_，投中的频率是_，两人中投中率更优秀的是_。 分析：本题已经给出数据，根据该数据可以判断两人在投中率上谁更优秀一些。 从频数上看：李明投50个中30个，而张健投40个中25个，还不太容易看出谁的投中率更优秀一些。 从频率上看：李明为30/5060，而张健为25/4062.5%，故高于李明。 所以张健的投中率更优秀一些。 解：李明投中的频数是30，频率是30/5060 张健投中的频数是25，频率是25/

14、4062.5% 张健更优秀一些。 小结：频数和频率是统计中两个重要的数字特征，它们反映了各个对象出现的频繁程度。 例2. 已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是（ ） A. 0.10B. 0.12C. 0.15D. 0.18 分析：可由已知条件得到第一组到第四组数据的频率分别为0.25，0.125，0.175，0.15，这六组的频率之和是1，因此，第六组的频率为10.250.1250.1750.150.200.10 解：根据上述分析可知，此题应选A。 小结：此题利用各组的频率之和等于1这个性质。 例3. 有五条线

15、段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任取三条，一定能构成三角形吗？通过动手操作，估计能构成三角形的频率有多大？ 解：从中任取三条共有10种取法，但不一定能构成三角形，能构成三角形的有：3，5，7；3，7，9；5，7，9共3种，所以频率3/100.3。（二）频数与权数的关系 例4. 某校初一某班数学测试成绩如下： 100分6人，99分5人，98分6人，95分4人，88分5人，85分5人，80分8人，79分2人，78分4人，65分3人，50分2人 （1）如85分以上（含85分）为优秀，则成绩为优秀的人的频率是多少？ （2）利用计算加权平均数的方法，求出这次考试的平均成绩。 分析：85分以上的人数

16、与总人数的比值为优秀的人的频率即优秀率：每种分数的频率即为相应分数的权数。 解：（1） （2） 小结：此题是利用频数就是计算加权平均数的权数。（三）频数的应用 例5. 据统计，2002年10月1日至10月5日，省内外几个主要旅游景点客流量如下表： 如果你是旅行社老板，在明年的国庆长假中，你将如何安排你旅行社的导游、车辆和食宿。 分析：由表中数据可知四个景点的日客流量变化不大，只要按日平均客流量的比例来安排导游，车辆和食宿即可。 解：张家界日平均客流量： 凤凰日平均客流量： 昆明日平均客流量： 北京日平均客流量： 日平均客流量之比：1.96：1.16：2.56：3.087：4：9：11 应按照7

17、：4：9：11的比例安排导游，车辆和食宿。 小结：日客流量变化较为稳定时，才能用频数知识来进行简单预测。 能力拓展题： 例6. 某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、C、D、E五位老师为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表所示： 表1：演讲答辩得分表（单位：分） 表2：民主测评票数统计表（单位：张） 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定： 民主测评得分“好”票数2分“较好”票数1分“一般”票数0分 综合得分演讲答辩得分（1a）民主测评得分a（0.5a0.8） （1）当a0.6时，甲的综合得

18、分是多少？ （2）当a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？ 分析：（1）先计算出甲的演讲答辩得分，再计算出甲的民主测评得分，这样代入公式后就可计算出甲的综合得分。 （2）可列不等式求解。 解： 当a0.6时，甲的综合得分92（10.6）870.636.852.289（分） 乙的民主测评得分422414088（分） 甲的综合得分92（1a）87a 乙的综合得分89（1a）88a 当甲的综合分高时，即 0.5a0.75时，甲的综合得分高 当乙的综合分高时，即 又0.5a0.8 0.75a0.8时，乙的综合得分高。 小结：本题将统计、求代数式的值、列代数式、解不等式知识融为

19、一体，体现了应用性和综合性。【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 填空题 1. 已知一个容量为40的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为5，6，7，10，第五组的频率为0.2，那么第六组的频数是_，频率是_。 2. 对60名学生的身高检测数据整理后，得出落在167171cm之间的频率是0.3，那么落在这个区间的学生数是_人。 3. 把容量是50的样本分成6组，其中有1组的频数是14，有2组的频数是10，有2组的频率是0.14，则另一组的频数是_，频率是_。 4. 一组数据中，一个数据的频数是_，频率是_。 5. 一组数据含有三个不同的数3，8，7，它们的频数分别是3，5，2，则这组

20、数据的平均数是_。 6. 已知一组数据 那么频率为0.2的范围是_。 A. 5.57.5B. 7.59.5 C. 9.511.5D. 11.513.5二. 选择题 1. 抛掷3枚各不相同的硬币有（ ）情形。 A. 3种B. 4种C. 6种D. 8种 2. 当五个正整数从小到大排列后，其中位数为4，如果这组数的唯一的众数是6，那么这5个数和的最大值最可能是（ ） A. 21B. 22C. 23D. 24 3. 抛掷一枚普通的骰子，出现“点数是奇数”的频率约为（ ） A. B. C. D. 4. 在一次选举中，某同学的选票没有超过半数，那么其频率为（ ） A. 等于B. 小于C. 小于或等于D.

21、大于或等于 5. 已知数据：8，9，10，14，9，7，12，11，10，13，10，8，11，10，9，12，9，13，11，9，则这组数据在6.510.5内的频率应该是（ ） A. 0.4B. 0.7C. 0.6D. 0.5三. 下面两幅统计图，反映了某市甲、乙两所中学生参加课外活动的情况，请你通过图中信息回答下面的问题。甲、乙两校参加课外活动的学生人数统计图甲校 -乙校2005年甲、乙两校学生参加课外活动情况统计图甲校 乙校 （1）通过对上面第一个图的分析，写出一条你认为正确的结论。 （2）通过对上面第二个图的分析，写出一条你认为正确的结论。 （3）2003年甲、乙两所中学参加科技活动的

22、学生人数共有多少？四. 老师常说：“不会做的选择题不要放弃，至少你有四分之一的机会”你能设计一个实验去验证老师的话吗？五. 从2001年2月21日零时起，中国电信执行新的电话收费标准，其中本地网营业区内通话费是：前3分钟为0.2元（不足3分钟的按3分钟计），以后每分钟加收0.1元（不足1分钟的按1分钟计算）。上星期天，一位学生调查了A、B、C、D、E五位同学某天打本地网营业区内电话的通话时间情况，原始数据如表1： 表1： 表2： （1）问D同学这天的通话费用是多少？ （2）设通话时间为t（分），试根据表1填写频数（落在某一时间段上的通话次数）分布数（表2） （3）调整前执行的原电话收费标准是：

23、每分钟为0.2元（不是3分钟的按3分钟计算），问：这五位同学这天的实际平均通话费，与原电话收费标准算出的平均通话费相比，是增多了，还是减少了？若增多，多多少？若减少，少多少？【试题答案】一. 1. 4，0.1 2. 18 3. 2，0.04 4. 该数据出现的次数，该数据的次数占频数总数的比例 5. 6.3 6. D二. 1. D2. A3. C4. C5. C三. （1）1997年至2003年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长快 （2）甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动的人数多 （3）2000381105601423 2003年两所中学的学生参加科技活动的总人数是1423人。四. 4

24、个无区别的纸团，写上“A”“B”“C”“D”搓好放入文具盒里摇动，再打开随便拆一个看是写的哪个字母，记录下来，又搓好放回文具盒，再摇又随便拆一个，如此反复次数越多越能看出A、B、C、D的频率接近。五. （1）（元） D同学这天通话费是0.9元。 （2）表2： （3）设这五位同学这天的实际平均通话费为元，按原电话收费标准算出的平均通话费为，则 （元） 这五位同学这天的实际平均通话费比按原电话标准算出的平均通话费减少了0.08元。三. 知识要点： 1. 数据组的频数分布和频率分布频数分布表与频率分布表能全面刻画一组数据中各数据的分布情况。 2. 统计数据的整理通过设计频数（率）分布表对数据进行整理

25、，全面、系统地获取多方面的信息。 3. 编制频数分布表的步骤（1）计算最大值与最小值的差。（2）决定组距和组数。（3）决定分点。（4）列表画记。（5）编制频数分布表。3）频数分布表由两部分组成：第一栏是分组，标明每组的上限和下限，第二栏为频数。 4. 频数分布直方图的组成直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成。横轴：表示数据的分组情况。纵轴：表示频数。条形图：直方图的主体部分，是由每一条立于横轴之上的小矩形组成，小矩形的底边之长等于这组的组距，矩形的高等于对应于这组的频数。 5. 作直方图的步骤（1）作两根互相垂直的轴：横轴和纵轴。（2）在横轴上划分一些要互相衔接的线段，每条线段表示一组，在线段

26、的左端点标明这组的下限，在线段的右端点标明其上限。（3）在纵轴上划分刻度，并用自然数标记。（4）以横轴上的每条线段为底各作一矩形立于横轴之上，使各矩形的高等于相应的频数。【典型例题】基础知识题 例1. 某班同学进行数学测验，将所得成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图，请结合直方图提供的信息，回答下列问题？（1）该班共有多少名学生？（2）80.590.5这一分数段的频数、频率分别是多少？（3）从左到右各小组的频率比是多少？解：（1）从直方图提供的信息，这个班学生的数学测验成绩分成的5组中每组的人数分别为4人，10人，18人，12人，6人。所以该班共有4101812650人

27、（2）从直方图可以看出80.590.5这一分数段的频数为12，所以频率为（3）从左到右各小组的频数分别为4，10，18，12，6，所以频率之比为4：10：18：12：62：5：9：6：3 例2. （1）已知频数分布直方图中各矩形的高之比是2：4：3：1，总数据有30个，问第一小组的频数是_，第四小组的频率是_。（2）在样本的频数分布直方图中，共有9个长方形，已知中间一个长方形的面积_。解：（1）直方图中各矩形的底边长相同，而矩形高表示频数，因此，高之比就是（2）各长方形的底边长相等，设为1，设中间一个长方形的频数为x，即此长方形的高是x，设其他8个小长方形的频数和为y，即8个小长方形的高之和为

28、y，根据题因此此题空应填为25。 例3. 已知：一个样本：25，21，23，25，27，29，25，28，30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28以2为组距，列出频数分布表，并编制频数分布直方图。解：（1）计算最大值与最小值的差，最大值是30，最小值是21，它们的差是（3）决定分点（4）列频数分布表（5）画频数分布直方图创新拓展题 例4. 我省某城镇邮政局对甲、乙两个支局的报刊发行部2002年度报纸的发行量进行统计，并绘制统计图，请根据下面统计图反映的信息，回答问题：（1）哪个支局发行齐鲁晚报 的份数多？多多少？（2）分别写出上面两个统计图中提供的6个统计数据的中

29、位数。（3）已知甲、乙两个支局所服务的居民区住户分别是11280户，8600户，哪个居民区平均每户订阅报纸的份数多？试说明理由。分析：直方图在统计中应用非常广泛，采用这种条形图的形式，更能直观地反映数据的分布情况，更能清晰地获取有关数据的信息。解：（1）通过比较甲、乙两条形图中齐鲁晚报的频数可知：甲支局发行840份，乙支局发行880份，所以乙支局比甲支局多发行40份。（2）分别将甲、乙两图中的频数由小到大排列：甲：2.0，2.4，3.5，5.5，6.4，8.4乙：1.3，1.5，2.1，5.1，7.0，8.8所以不难求得甲的中位数为4.5，乙的中位数为3.6。（3）由统计图知，甲支局订阅报纸共

30、2820份，平均每户订阅报纸的份数是乙支局订阅报纸2580份，平均每户订阅报纸的份数是所以乙支局所服务的居民区住户比甲支局所服务的居民区住户平均每户多订阅报纸 例5. 100名儿童的智商测试结果如下：（1）画出频数分布直方图；（2）利用频数分布直方图求中位数（精确到0.01）。解：（1）根据题中给出的测试结果表，可画出如下的频数分布直方图。（2）最左边的三个矩形的面积为34（即2725）个单位，差16个单位才50个单位，第四个矩形的面积为34个单位，因此，所求的垂直线（即分布图分成面积相等的两部分的垂直于横轴的直线，与横轴的交点的横坐标，就是中位数之值）在第四个矩形中，把第四个矩形分成16：1

31、8两部分。 小结：该中位线也可按下列方法由作图求得：（1）作水平线AB，使得AC16；（2）连结对角线CD，交AB于M；（3）点M的横坐标即为所求的中位数。若过M作EF垂直于横轴，则EF把直方图分成面积相等的两部分。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 填空题。 1. 为了考察某地里大麦穗长的情况，从中抽取100个穗，量出各穗长度，有28个穗的长度在5.756.05cm之间，则这个组的频数是_，频率是_，于是可以估计，在这块地里，长度在5.756.05cm之间的麦穗约占_%。 2. 某校八年级的四个班，每班有50名学生，体检时，身高在1.651.68m之间的学生各班分别为8，8，10，10，

32、若以八年级全体学生的身高为数据，作频数分布表，落在1.651.68m之间的频率为_。 3. 如图是某班50名学生身高（精确到1cm）的频数分布直方图，从左起第一、二、三、四个小长方形的高之比为1：3：5：1，那么身高160cm及160cm以上的人数有_人。 4. 已知50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别是2、8、15、20、5，则第四组的频率是_。二. 选择题。 1. 一组数据的最小值是12.5，那么这个数据所在小组的起点为（ ）A. 12B. 12.55C. 12.45D. 12.05 2. 一组数据最大值与最小值的差是20，组距取2，那么应分成的组数是（ ）A.

33、 9B. 10C. 11D. 12 3. 已知样本7，10，8，11，8，7，12，11，9，8，12，9，8，11，10，9，12，9，13，11，那么落在8.511.5范围内数据的频率为（ ）A. 0.60B. 0.55C. 0.50D. 0.45 4. 在一组频数分布直方图中共9个小长方形，已知中间一个长方形的高等于其它8个小长方形的高的和的，且这组数据总个数为120，则中间一组的频数为（ ）A. 15B. 0.125C. 14D. 0.143三. 计算题。主题班会：“我长大了吗？”人人都争着上台演讲，演讲用时与人数统计如下表：时间段（分钟）1分钟以下（含1分钟）1.13.03.15.0

34、5.17.0人数（人）810157（1）全班共有多少人？（2）有多少人用时在1.13.0时间段？频率是多少？（3）全班学生每人平均用时多少？整个活动最多需用时多少分钟？（4）绘制频数分布直方图。四. 某班学生一次测试成绩（分数为正整数）的频数分布直方图如下图所示，根据直方图回答：（1）该班共有学生_人。（2）成绩在69.579.5范围内的频数是_。（3）该班及格率是_。（4）_小组的频数最大。五. 调查同班同学的视力情况，通过视力测试得到相关数据，根据这些数据制作你认为合适的统计表和统计图。【试题答案】一. 1. 28，0.28，28 2. 0.18 3. 30 4. 0.4二. 1. C2.

35、 B3. C4. A三. （1）40人（2）10人；0.25（3）平均用时：（分钟）最多用时：（分钟）（4）略四. （1）40（2）7（3）92.5%（4）79.589.5五. 略 2. 列方程解应用题的一般步骤可归纳为： （1）审：审题，分析题中已知什么，未知什么（求什么），明确各数量之间的关系。 （2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （3）设：设未知数，一般求什么就设什么为x，但也可以间接设未知数。 （4）列：列方程，把相等关系左、右两边的量用含有未知数的代数式或数表示出来。 （5）解：解所列方程，求出未知数值。 （6）答：检验所求解是否合题中实际意义，是否是所列方程的解，

36、再写出答案【典型例题】 例1. （数字问题）有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的1/4，求这个两位数。 分析：这类问题是已知各数位上的数字关系，求两位数、三位数等。这类问题一般设间接未知数，本题的数量关系有：十位上的数字=个位数字3；十位上的数字个位上的数字=这个两位数的1/4。设个位数字为x，则十位上的数字为x3，这个两位数为10(x3)x。 解：设个位上的数字为x，依题意得 答：这个两位数为36。 例2. （行程问题）甲、乙两人骑自行车，同时从相距45千米的两地相向而行，2小时 分析：行程问题主要包括相遇问题和追及问题。数量关系为

37、：路程=速度时间。等量关系： 这些等量关系都必须在同时出发的情况下成立。 例2是相遇问题，有a种一样的等量关系，由已知设乙每小时走x千米，则得甲每小时走（x2.5）千米。 解：设乙每小时走x千米，依题意得 答：甲每小时走12.5千米，乙每小时走10千米。 例3. （利润率问题）商品的进价为2000元，标价3000元，商店要求以利润等于5%的售价打折出售，售货员可以打几折出售其商品？ 分析：利润率问题弄清商品利润和利润率的区别和联系。 商品利润=售价进价 另外，打几折就是按原售价的百分之几十出售，或十分之几出售。此题可设打x折出 解：设售货员可以打x折出售其商品，依题意得 答：售货员可以打7折出

38、售其商品。 例4. （工程问题）一项工程，甲单独做要8天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要24天完成。现在甲、乙合作3天后，甲因事离开，由乙丙合作，问乙丙还要做几天才能完成此项工程？ 分析：此类问题的数量关系为：工作量=工作效率工作时间，等量关系为两个或几个工作者完成的工作量之和等于总工作量，常把总工作量看作1，此例中可知甲、乙、丙成工程，则甲共做3天，乙共做（3x）天，丙做x天，甲、乙、丙的工作量分别为。 解：设乙、丙还需x天完成此项工程，根据题意 答：乙、丙还需做3天才能完成此项工程。 例5. （创新题）甲、乙两列火车的长为144m和180m，甲车比乙车每秒多行4m。 （1）两列车相向

39、行驶，从相遇时到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ （2）若同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需多少秒钟？ 分析：这是一道涉及相遇与追及问题的创新题，关键是弄清甲、乙两车行程间的关系。 第（1）题中的等量关系是：甲车行程乙车行程=甲车长乙车长 第（2）题中的等量关系为：甲车行程乙车行程=甲车长乙车长 解：（1）设乙车速度为x m/s，则甲车速度为(x+4) m/s 答：甲车速度为20m/s，乙车速度为16m/s。 （2）设同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车需y秒，依题意得： 答：同向行驶，甲车从追及乙车车尾到全部超过乙车需81秒钟。 例6. （决策题

40、）某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种1500元/台，乙种2100元/台，丙种2500元/台。若商场同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你帮助设计一下商场的进货方案。 分析：对于决策性问题，要从已有的数据及相互信息，利用数学知识对事件进行分析，从现象中认识本质，建立恰当的数学模型，变为数学问题加以解决，从而作出正确的决策。 分别计算购甲、乙型号，乙、丙型号，甲、丙型号电视机方案，不合题意的舍去 解：分情况计算： a. 设购甲种电视机x台，乙种电视机（50x）台 b. 设购甲种电视机x台，丙种电视机（50x）台 c.

41、 设购乙种电视机x台，丙种电视机（50x）台 故商场进货方案有两种，购甲种电视机25台，乙种电视机25台；或者购甲种电视机35台，丙种电视机15台。【模拟试题】一. 填空： 1. 母亲今年32岁，女儿5岁，_年后母亲的年龄是女儿的4倍。 2. 商品原价500元，打9折后售价为_元，某商品打8折后售价为480元，该商品原价为_元。 3. 某商品标价800元，现按九折出售，仍可获利20%，该商品进价为_元。 4. 一项工程，甲单独做20小时完成，乙单独做16小时完成，现先由甲单独做5小时，余下的由甲、乙合作x小时完成，则可列一个方程为_，可算出它们合作的时间x=_小时。二. 列方程解应用题： 1.

42、 一个两位数十位上的数比个位上的数小1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/5，求这个两位数。 2. 某机关有A、B、C三个部门，三个部门的公务员人数依次是84人、56人、60人。如果每个部门按相同比例裁员，使这个机关留下公务员150人，那么C部门留下公务员多少人？ 3. 某同学自编了这样一道应用题：小明家离火车站2千米，他的爸爸步行去火车站到北京出差刚走15分钟，小明发现他爸爸忘记带身份证，急忙骑自行车去追。已知爸爸每分钟步行90米，小明每分钟骑240米路程，问小明经过多长时间可追上爸爸？ 请你判断一下，该同学编的应用题是否符合实际，如不符合，请你帮他修改一下？【试题答案】一. 填空 1.

43、 42. 450，6003. 6004. 二. 列方程解应用题 1. 解：设个位上的数为x，则依题意得 答：这个两位数为45。 2. 解：设这个部门按比例x留下公务员，依题意得 答：C部门留下公务员45人。 3. 解：设小明经过x分钟可追上爸爸，则依题意得 但小明9分钟路程米 而小明离火车站只有2千米，在小明家与火车站之间无法追上爸爸，爸爸是否已经坐上火车离开直接关系到最终结论，因此该题不合实际，将小明家到火车站路程改为大于2.16千米即可。 五. 规律与方法： 1. 频数、频率与总数之间的关系是： 频数频率总数 2. 区别众数和频数： 众数是指出现次数最多的那个数，即众数的对象是数据。 频数

44、指的是一个数据出现的次数，即频数的对象是次数而不是数据本身。 3. 各实验数据的频率之和等于1。【典型例题】 例1. 一组数据共50个，分为6组，第14组的频数分别是5，7，8，10，第5组的频率是0.20，则第6组的频数是（ ） A. 10B. 11C. 12D. 15 解：因为第5组的频率是0.20，所以第5组的频数为0.205010，所以第6组的频数为50578101010。 此题选A。 例2. 已知样本容量为30，在样本分布直方图中各小长方形的高的比依次为2：4：3：1，则第二小组的频数为（ ） A. 4B. 12C. 9D. 8 解：因为样本分布直方图中各小长方形的高的比依次为2：4

45、：3：1，所以它们的频数之比为2：4：3：1。又因为样本容量为30，因此设各小组的频数分别为2x，4x，3x，x。 根据题意可得方程：2x4x3xx30 解得x3 第二小组的频数为4312。 故此题选B。 例3. 在样本的频数分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的频率等是（ ） A. 32B. 0.2C. 40D. 0.25 解：设中间一组数据的频率为x，则其它10组的频率为4x，已知样本容量为160 此题选A。 例4. 中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注，某市有关部门对全市4万名初中生的视力状况进行一次抽样调查统计，所得到有关数据绘制成频数分布直方图，如下图，从左至右五个

46、小组的频率之比依次是2：4：9：7：3，第五小组的频数是30。 （1）本次调查共抽测了多少名学生？ （2）本次调查抽测的数据的中位数应在哪个小组？说明理由。 （3）如果视力在4.95.1（含4.9，5.1）均属正常，那么全市初中生视力正常的约有多少人？ 解：（1）解法1： 解法2：因为频率之比等于频数之比，从左至右五个小组的频率之比为2：4：9：7：3，设第一小组的频数为2k，所以各组频数依次为2k，4k，9k，7k，3k 第五组的频数是30， 3k30，k10 2k21020，4k41040 9k91090，7k71070 学生总人数为： 2040907030250人 （2）250个数据的中

47、位数是第125和第126两个数据的平均数，前两个小组的频数之和是204060125。 前三个小组的频数之和是9060150126 中位数应在第三小组。 （3）视力在4.95.1范围内的人有70人 全市初中生视力正常的约有400000.2811200（人）。 例5. 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频数分布直方图（如下图所示），已知从左至右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1，第三组的频数为12，请解答下列问题： （1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数量最多？有多少

48、件？ （3）经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，问这两组哪一组获奖率较高？ 分析：本题主要考查频数分布直方图，涉及到频率与频数等方面的内容，主要依据公式： 解：（1）依题意，第三组的频数为12，分布直方图从左到右的各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1可算出第三组的频率为： （2）根据频数分布直方图，可看出第四组上交的作品数量最多，共有： （3）由公式可求得第四组获奖率为： 由此可知第六组获奖率较高。 小结：此题要读懂题中的信息含义，必须要理解以下概念的含义：频率即是各个小组内数据的个数；每小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。【模拟试题】（答题时间：40分钟）（一）

49、填空题： 1. 一个样本的容量为100，分成若干组，在它的频数分布直方图中，某一组相应的小长方形的高为30，则落在该组的频率为_。 2. 已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、四、五组数据的个数分别为2、8、15、20、5，则第四组的频数和频率分别是_。 3. 若画频数分布直方图时，两个小长方形的高之比是3：5，则落入这两个小组的频数之比是_。 4. 已知样本：15，11，13，15，17，19，15，18，20，19，16，14，15，17，16，12，14，15，16，18，若取组距为2，列频数分布表，则16.518.5，这一小组的频数为_。 5. 把样本容量为40的一

50、个样本分成6组，前4个小组的频数分别是5，6，7，10，第5组的频率是0.10，那么第6组的频率是_。 6. 一个样本容量为100，当样本中5个小组的频率和为0.7时，那么其余各组的频率的和等于_。 7. 数据5，6，6，7，7中，_是众数，_是中位数。 8. 一组数据中的任何一个数x满足365x485，在列频数分布表时，若取组距为10，则应分成_组。 9. 已知样本：8，7，10，8，14，9，7，12，11，10，13，10，8，11，10，9，12，9，13，11，那么这组样本数据落在范围8.511.5内的频数是_，频率是_。 10. 某学校有25名女教师，将她们的年龄分成3组，在384

51、5岁内有8名教师，那么这个小组的频率是_。（二）根据表1所列某校60名同龄男生的体重（单位：kg）填写频率、频数分布表2。表1675958625862545658626062596653596559666058545857696464556369596058666349605763576264665658516165625753465459586157516553表2分组45.548.548.551.551.554.554.557.557.560.560.563.563.566.566.569.5频数累计频数频率合计 （2）画出频数分布直方图。 （3）根据以上数，你认为体重在什么范围内应属正常

52、？（三）已知样本：53，51，50，49，47，51，52，50，49，51，54，55，53，50，54，52，50，48，46，50 （1）填写下面的频率、频数分布表：分组45.547.547.549.549.551.551.553.553.555.5频数累计频数频率 （2）计算样本平均数。 （3）求已知样本的众数。【试题答案】（一）填空题： 1. 0.32. 20，0.4 3. 3：54. 4 5. 0.206. 0.3 7. 6、7；68. 12 9. 10，0.510. 0.32（二） （1）分组45.548.548.551.551.554.554.557.557.560.560.563.563.566.566.569.5频数累计一正一正正正正正正一正正频数13681811103频率0.0170.0500.1000.1330.3000.1830.1670.050合计60601 （2）略 （3）90%以上的学生分布在51.566.5范围内 这个范围应属正常。（三）（1）略 （2） （3）众数为：50